Математика в экономике Практическое задание Вариант №8 НИМБ

НИЖЕГОРОДСКИЙ ИНСТИТУТ МЕНЕДЖМЕНТА И БИЗНЕСА



Реферат
Кафедра математики и информатики
Дисциплина:
«Математика в экономике»
Практическое задание
Вариант №8
...

Задача1
Предприятие выпускает два вида продукции, используя три вида ресурсов. Принятые обозначения: А – матрица норм затрат ресурсов, С – прибыль на единицу продукции. С помощью данных, приведенных в таблице, требуется
Задача №2
Составить модель транспортной задачи и с помощью распределительного метода найти оптимальный план перевозок от трех поставщиков с различными мощностями к трем потребителям с разным спросом. Матрица норм затрат на перевоз одной условной единицы продукции « А» - известна
Задача №3
Совет директоров изучает предложения по модернизации k предприятий. Для этих целей выделено S0 миллионов долларов. Рассчитать оптимальное распределение средств в объеме S0 между к предприятиями, при котором суммарная прибыль будет максимальной. Если средства х, выделенные к-му предприятию, приносят прибыль fk(x). Вложенные средства кратны Δх и не превышают Sk для к-ого предприятия.

3 задачи

Тогда Y = C*A-1 = EQ (5, 0, 0) x \b\bc\| (\a \al \co3 \hs3 (1/4;0;0;-1/4;1;0;-1/4;0;1)) = (5/4;0;0)Оптимальный план двойственной задачи равен: y1 = 11/4 y2 = 0 y3 = 0 Z(Y) = 120*11/4+90*0+40*0 = 150 Критерий оптимальности полученного решения. Если существуют такие допустимые решения X и Y прямой и двойственной задач, для которых выполняется равенство целевых функций F(x) = Z(y), то эти решения X и Y являются оптимальными решениями прямой и двойственной задач соответственно. Определение дефицитных и недефицитных (избыточных) ресурсов. Вторая теорема двойственности. Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели: 4*30 + 2*0 = 120 = 120 1*30 + 3*0 = 30 < 90 1*30 + 1*0 = 30 < 40 1-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y1>0). 2-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 2-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y2 = 0. Неиспользованный экономический резерв ресурса 2 составляет 60 (90-30). Этот резерв не может быть использован в оптимальном плане, но указывает на возможность изменений в объекте моделирования (например, резерв ресурса можно продать или сдать в аренду). 3-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 3-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y3 = 0. Неиспользованный экономический резерв ресурса 3 составляет 10 (40-30). Этот резерв не может быть использован в оптимальном плане, но указывает на возможность изменений в объекте моделирования (например, резерв ресурса можно продать или сдать в аренду). Задача №2Составить модель транспортной задачи и с помощью распределительного метода найти оптимальный план перевозок от трех поставщиков с различными мощностями к трем потребителям с разным спросом. Матрица норм затрат на перевоз одной условной единицы продукции « А» - известна.Вариант №Мощности поставщиковСпрос потребителейМатрица «А»8РешениеМатематическая модель транспортной задачи: F = ∑∑cijxij, (1) при условиях: ∑xij = ai, i = 1,2,…, m, (2) ∑xij = bj, j = 1,2,…, n, (3) Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов 123Запасы165650244640353540Потребности604020Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи. ∑a = 50 + 40 + 40 = 130 ∑b = 60 + 40 + 20 = 120 Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения превышает запасы груза на базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) базу с запасом груза, равным 10 (130—120). Тарифы перевозки единицы груза из базы во все магазины полагаем равны нулю. Составим опорный план.1234Запасы1620 520 610 0502 20 4 20 460403 40 535040Потребности60402010В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 6. Следовательно, опорный план является невырожденным. Значение целевой функции для этого опорного плана равно: F(x) = 5*20 + 6*20 + 0*10 + 4*20 + 4*20 + 5*40 = 580 Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0. u1 + v2 = 5; 0 + v2 = 5; v2 = 5 u2 + v2 = 4; 5 + u2 = 4; u2 = -1 u2 + v1 = 4; -1 + v1 = 4; v1 = 5 u3 + v1 = 5; 5 + u3 = 5; u3 = 0 u1 + v3 = 6; 0 + v3 = 6; v3 = 6 u1 + v4 = 0; 0 + v4 = 0; v4 = 0 v1=5v2=5v3=6v4=0u1=0620 520 610 0u2=-120 420 460u3=040 5350Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vi > cij (3;2): 0 + 5 > 3; ∆32 = 0 + 5 - 3 = 2 (3;3): 0 + 6 > 5; ∆33 = 0 + 6 - 5 = 1 max(2,1) = 2 Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;2): 3 Для этого в перспективную клетку (3;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». 1234Запасы1620 520 610 0 50220[+] 420[-] 46040340][-] 5[+] 35040Потребности60402010Цикл приведен в таблице (3,2; 3,1; 2,1; 2,2; ). Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 2) = 20. Прибавляем 20 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 20 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план. 1234Запасы1620 520 610 050240 446040320 520 35040Потребности60402010Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0. u1 + v2 = 5; 0 + v2 = 5; v2 = 5 u3 + v2 = 3; 5 + u3 = 3; u3 = -2 u3 + v1 = 5; -2 + v1 = 5; v1 = 7 u2 + v1 = 4; 7 + u2 = 4; u2 = -3 u1 + v3 = 6; 0 + v3 = 6; v3 = 6 u1 + v4 = 0; 0 + v4 = 0; v4 = 0 v1=7v2=5v3=6v4=0u1=0620 520 610 0u2=-340 4460u3=-220 520 350Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vi > cij (1;1): 0 + 7 > 6; ∆11 = 0 + 7 - 6 = 1 Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;1): 6 Для этого в перспективную клетку (1;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». 1234Запасы1[+] 620[-] 520 610 050240 446040320[-] 520[+] 35040Потребности60402010Цикл приведен в таблице (1,1; 1,2; 3,2; 3,1; ). Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 1) = 20. Прибавляем 20 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 20 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план. 1234Запасы120 60 520 610 050240 4460403540 35040Потребности60402010Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0. u1 + v1 = 6; 0 + v1 = 6; v1 = 6 u2 + v1 = 4; 6 + u2 = 4; u2 = -2 u1 + v2 = 5; 0 + v2 = 5; v2 = 5 u3 + v2 = 3; 5 + u3 = 3; u3 = -2 u1 + v3 = 6; 0 + v3 = 6; v3 = 6 u1 + v4 = 0; 0 + v4 = 0; v4 = 0 v1=6v2=5v3=6v4=0u1=020 60 520 6 10 0u2=-240 4460u3=-2540 350Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vi <= cij. Минимальные затраты составят: F(x) = 6*20 + 6*20 + 0*10 + 4*40 + 3*40 = 520 Анализ оптимального плана.