Линейная алгебра. ТПУ. Контрольные работы №1 и №2. вариант 8

Контрольная работа 1: 1. определители; 2. решение СЛАУ с помощью обратной матрицы, формул Крамера, метода Гаусса; 3. неопределенная СЛАУ; 4. однородная СЛАУ; 5. векторы; 6. пирамида.
Контрольная работа 2: 1. решение треугольника; 2. взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Подробнее в вкладке Введение. Есть другие варианты этой работы. ...

задание 8.1
задание 8.2
задание 8,3
задание 8.4
задание 18
задание 28
задание 38
задание 48

Контрольная работа №1.
Линейная алгебра.
Задание 8.1.
Вычислить определитель 4-го порядка двумя способами:
а). разложить по какой-либо строке или столбцу;
б). преобразовать определитель, получив нули в какой-либо строке или столбце, используя свойства определителя, а затем разложить его по этой строке или столбцу.

Задание 8.2.
Записать систему линейных алгебраических уравнений и решить ее тремя способами:
а). с помощью обратной матрицы. Сделать две проверки.
б). по правилу Крамера;
в). методом Гаусса.
Задание 8.3.
Исследовать на совместимость и найти общее и какое-либо частное решение системы линейных алгебраических уравнений. Сделать проверку по всем уравнениям, подставив частное решение в каждое уравнение системы.
Задание 8.4.
Найти нетривиальные решения однородной системы линейных ал гебраических уравнений, если они существуют. Сделать проверку по всем уравнениям.

Векторная алгебра.
Задание 18.
Параллелограмм построен на векторах. Найти:
1. длины диагоналей параллелограмма;
2. косинус угла между диагоналями;
3. Проекцию вектора;
4. площадь параллелограмма.
Задание 28.
Пирамида задана координатами вершин. Найти:
1. координаты и модули векторов;
2. угол между векторами;
3. площадь треугольника;
4. объем пирамиды;
5. длину высоты, опущенной из вершины А на грань.


Контрольная работа №2.
Задание 38.
Даны вершины треугольника АВС. Найти:
1. уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
2. уравнение высоты АD, опущенной из вершины А на сторону ВС;
3. длину высоты АD, проведенной из вершины А;
4. точку пересечения медиан треугольника двумя способами:
а). используя формулу деления отрезка в заданном соотношении;
б). как точку пересечения прямых, заданных общими уравнениями.
Задание 48.
Даны координаты точек и уравнение прямой. Найти:
1. уравнение плоскости, проходящей через точку А3, перпендикулярно а). вектору ; б). прямой l;
2. уравнение плоскости р, проходящей через три точки А1, А2, А3;
3. каноническое и параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку А4, перпендикулярно плоскости р;
4. расстояние от точки А4 до прямой l;
5. расстояние от точки А4 до плоскости р;
6. координаты точки пересечения прямой l и плоскости р;
7. угол между прямой l и плоскостью р.

Тогда общее решение можно записать в следующем виде:Придавая произвольные значения, получим частное решение, подставив которое в исходную систему, проверим правильность решения по всем уравнениям.В частности, при получаем:.Выполним проверку:Векторная алгебра.Задание 18.Параллелограмм построен на векторах и . Найти:длины диагоналей параллелограмма;косинус угла между диагоналями;;площадь параллелограмма., ; ; ; .Решение.1. По правилу параллелограмма (рис. 1) суммарный вектор направлен по диагонали параллелограмма, выходящей из той же точки, что и векторы и , а разностный вектор направлен по второй диагонали, соединяющий концы векторов и . Находим:;.Следовательно, длины диагоналей равны: Рис. 1. 2. При определении угла между диагоналями используем понятие скалярного произведения векторов..3. Проекция одного вектора на другой равна произведению его модуля на косинус угла между этими векторами. Используя полученные ранее результаты, находим: ед.4. Так как параллелограмм построен на векторах , его площадь найдем по формуле:.В свою очередь,.Далее находим:.Следовательно,Задание 28.Пирамида задана координатами вершин:. Найти:координаты и модули векторов ;угол между векторами и ;площадь треугольника ;объем пирамиды ;длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань .Решение.1. Найдем координаты векторов:;;.Далее находим модули этих векторов: ед; ед; ед.2. При определении угла между векторами А1А2 и А1А3 используем понятие скалярного произведения векторов.Вычисляем косинус угла между векторами:.Тогда искомый угол.3. При определении площади треугольника А1А2А3 используем геометрический смысл векторного произведения. Так для нашего примера получаем:4. При определении объема пирамиды используем смешанное произведение векторов. Возьмем векторы и вычислим смешанное произведение этих векторов:.Так как смешанное произведение отлично от нуля, векторы некомпланарны и объем пирамиды, построенной на этих векторах, как на ребрах, равен:5. Длину искомой высоты найдем как расстояние от точки А4(-10,9,-7) до плоскости А1А2А3. Зная координаты вектора нормали и вершины А1 треугольника А1А2А3, найдем уравнение плоскости: или .Запишем параметры уравнения плоскости: , тогда искомая длина высоты равна:Контрольная работа №2.Задание 38.Даны вершины треугольника АВС. Найти:уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;уравнение высоты АD, опущенной из вершины А на сторону ВС;длину высоты АD, проведенной из вершины А;точку пересечения медиан треугольника двумя способами:а). используя формулу деления отрезка в заданном соотношении;б). как точку пересечения прямых, заданных общими уравнениями..Решение.1. Найдем уравнения сторон АВ и ВС, как уравнения прямой, проходящей через две точки по формуле:,а затем преобразуем эти уравнения к уравнениям с угловыми коэффициентами.Получаем АВ: или , т.е ; ВС: или , т.е. .2. Найдем уравнение высоты АD.. Преобразуем уравнение стороны ВС в общее уравнение прямой:.Имеем нормальный вектор , который перпендикулярен прямой ВС и, следовательно, параллелен прямой АD. Тогда уравнение высоты найдем как уравнение прямой, проходящей через заданную точку А, параллельно направляющему вектору : или .3. Найдем координаты точки D пересечения прямых AD и ВС из системы:.Далее, найдя координаты вектора , находим длину высоты AD как модуль этого вектора:ед.4. Найдем точку пересечения медиан треугольника АВС (рис. 1).а). первый способ. Воспользуемся свойством медиан, а именно: медианы пересекаются в точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1. Рассмотрим любую медиану, АЕВFСОМнапример, AF, тогда . Так как F – середина ВС, то ее координаты равны:.Координаты точки О находим как координаты точки, делящей отрезок AF в отношении 2:1:. Рис. 1. Итак, мы получили .б). второй способ. Найдем точку пересечения медиан, как точку пересечения прямых, заданных общими уравнениями. Ранее были найдены координаты точки F.