5 заданий (решение)

Задание 1.
Для следующих задач определите верхнюю и нижнюю цены игры и, если возможно, то и седловую точку.

Задание 2.
Дайте геометрическую интерпретацию решения игры двух игроков. Для проверки геометрического решения проведите также алгебраические расчеты и сравните результаты, с полученными, геометрическим способом.

Задание 3.
Дайте геометрическую интерпретацию решения игры двух игроков. Для проверки геометрического решения проведите также алгебраические расчеты и сравните результаты, с полученными, геометрическим способом.

Задание 4.
Дайте геометрическую интерпретацию решения игры для двух игроков. Для проверки геометрического решения проведите также алгебраические расчеты и сравните результаты с геометрическими.

Задание 5.
Для следующих задач, найдите для двух игроков ре ...

Задание 1.
Для следующих задач определите верхнюю и нижнюю цены игры и, если возможно, то и седловую точку.

Задание 2.
Дайте геометрическую интерпретацию решения игры двух игроков. Для проверки геометрического решения проведите также алгебраические расчеты и сравните результаты, с полученными, геометрическим способом.

Задание 3.
Дайте геометрическую интерпретацию решения игры двух игроков. Для проверки геометрического решения проведите также алгебраические расчеты и сравните результаты, с полученными, геометрическим способом.

Задание 4.
Дайте геометрическую интерпретацию решения игры для двух игроков. Для проверки геометрического решения проведите также алгебраические расчеты и сравните результаты с геометрическими.

Задание 5.
Для следующих задач, найдите для двух игроков решение в смешанных стратегиях.

Задание 1.
Для следующих задач определите верхнюю и нижнюю цены игры и, если возможно, то и седловую точку.

Задание 2.
Дайте геометрическую интерпретацию решения игры двух игроков. Для проверки геометрического решения проведите также алгебраические расчеты и сравните результаты, с полученными, геометрическим способом.

Задание 3.
Дайте геометрическую интерпретацию решения игры двух игроков. Для проверки геометрического решения проведите также алгебраические расчеты и сравните результаты, с полученными, геометрическим способом.

Задание 4.
Дайте геометрическую интерпретацию решения игры для двух игроков. Для проверки геометрического решения проведите также алгебраические расчеты и сравните результаты с геометрическими.

Задание 5.
Для следующих задач, найдите для двух игроков ре шение в смешанных стратегиях.

1,1
0,6
0,9
1,2
1,0
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 0,5, которая указывает на максимальную чистую стратегию A4.
Верхняя цена игры b = min(bj) = 0,6.
Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 0,5 ≤ y ≤ 0,6.
Ответ: верхняя цена игры равна 0,6; нижняя цены игры равна 0,5; седловая точка отсутствует.
Задание 2.
Дайте геометрическую интерпретацию решения игры двух игроков. Для проверки геометрического решения проведите также алгебраические расчеты и сравните результаты, с полученными, геометрическим способом.
Решение:
Геометрическая интерпретация решения игры двух игроков, включает в себя следующие этапы:
1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии A1, правый - стратегии A2 (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = (p1,p2).
2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии A1. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии A2.
Решение игры (2 x n) проводим с позиции игрока A, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.
Максиминной оптимальной стратегии игрока A соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых B1B1 и B2B2, для которых можно записать следующую систему уравнений:
y = 3 + (8 - 3)p2; y = 5 + (2 - 5)p2
Откуда: p1 = 3/4 ; p2 = 1/4
Цена игры, y = 17/4
Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока B, записав соответствующую систему уравнений: 3q1+5q2 = y; 8q1+2q2 = y; q1+q2 = 1
Или 3q1+5q2 = 17/4 ; 8q1+2q2 = 17/4 ; q1+q2 = 1
Решая эту систему методом обратной матрицы, находим: q1 = 3/8 ; q2 = 5/8
Рис.1. Геометрическая интерпретация решения игры двух игроков
Таким образом, цена игры: y = 17/4, векторы стратегии игроков: Q(3/8, 5/8), P(3/4, 1/4).
Для сравнения результатов проведем также алгебраические расчеты. Математические модели пары двойственных задач линейного программирования можно записать так: найти минимум функции F(x) при ограничениях:
3x1+8x2 ≥ 1 ; 5x1+2x2 ≥ 1 ; F(x) = x1+x2 = min
найти максимум функции Ф(y) при ограничениях:
3y1+5y2 ≤ 1; 8y1+2y2 ≤ 1; Ф(y) = y1+y2 = max
Создается новая книга в Microsoft Excel.
Создадим форму для ввода условий задачи. Мышкой или с помощью клавиатуры перейдём к ячейке B6, выполним команду Сервис / Поиск решения. В диалоговом окне укажем: в поле Равной: минимальному значению, в поле изменяя ячейки: $А$3:$B$3. В поле Ограничения добавляем заданные ограничения. Поле должно иметь следующее содержание: $A$3:$B$3>=0; $E$14<=1; $E$5<=1.
Нажимаем на кнопку Выполнить (рисунок 1).
Рис. 2. Параметры поиска решения
Получаем данные на рисунке 3.
Рис. 3. Решение задачи
Таким образом, цена игры равна 4,25.
Сравнив результаты решения геометрическим способом 17/4 = алгебраическим 4,25, делаем вывод, что задача решена верно.
Ответ: цена игры равна 4,25.
Задание 3.
Дайте геометрическую интерпретацию решения игры двух игроков. Для проверки геометрического решения проведите также алгебраические расчеты и сравните результаты, с полученными, геометрическим способом.
Решение:
Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:
1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии A1, правый - стратегии A2 (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = (p1,p2).
2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии A1. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии A2.
Решение игры (2 x n) проводим с позиции игрока A, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.
Максиминной оптимальной стратегии игрока A соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых B1B1 и B4B4, для которых можно записать следующую систему уравнений: y = 0,6 + (0,4 – 0,6)p2; y = 0,4 + (0,6 – 0,4)p2
Откуда: p1 = 0,5; p2 = 0,5;
Цена игры, y = 0,5.
Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока B, записав соответствующую систему уравнений, исключив стратегию B2,B3, которая дает явно больший проигрыш игроку B, и, следовательно, q2 = 0,q3 = 0.
0,6q1+0,4q4 = y ; 0,4q1+0,6q4 = y ; q1+q4 = 1
Или 0,6q1+0,4q4 = 0,5 ; 0,4q1+0,6q4 = 0,5 ; q1+q4 = 1
Решив эту систему, находим: q1 = 0,5 ; q4 = 0,5.
Рис.4. Геометрическая интерпретация решения игры двух игроков
Таким образом, цена игры: y = 0,5; векторы стратегии игроков: Q(0,50, 0; 0, 0,5), P(0,5, 0,5)
Решим эту задачу для сравнения результатов другим способом. Математические модели пары двойственных задач линейного программирования можно записать так:
найти минимум функции F(x) при ограничениях: 5x1+3x2 ≥ 1 ; 7x1+2x2 ≥ 1
9x1+x2 ≥ 1 ; 3x1+5x2 ≥ 1 ; F(x) = x1+x2 = min
найти максимум функции Ф(y) при ограничениях: 5y1+7y2+9y3+3y4 ≤ 1;