Экзамен по дисциплине: Математический анализ

Билет № 16

1. Свойства функций, непрерывных на замкнутом отрезке.
2. Монотонность функции. Экстремумы.
3. Вычислить предел.
4. Найти полный дифференциал функции .
5. Найти интеграл
6. Вычислить интеграл
7. Исследовать сходимость интеграла
8. Найти площадь фигуры: . ...

Билет № 16

1. Свойства функций, непрерывных на замкнутом отрезке.
2. Монотонность функции. Экстремумы.
3. Вычислить предел.
4. Найти полный дифференциал функции .
5. Найти интеграл
6. Вычислить интеграл
7. Исследовать сходимость интеграла
8. Найти площадь фигуры: .

Билет № 16

1. Свойства функций, непрерывных на замкнутом отрезке.
2. Монотонность функции. Экстремумы.
3. Вычислить предел.
4. Найти полный дифференциал функции .
5. Найти интеграл
6. Вычислить интеграл
7. Исследовать сходимость интеграла
8. Найти площадь фигуры: .

Если функция непрерывна на замкнутом отрезке , то она имеет наибольшее и наименьшее значение на этом замкнутом отрезке, то есть существуют такие , что .
Теорема 5. (про равномерную непрерывность непрерывной на замкнутом отрезке функции)
Теорема Кантора.
Если функция непрерывна на замкнутом отрезке , то она и равномерно непрерывна на этом замкнутом отрезке.
2. Монотонность функции. Экстремумы.
Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) < f (x2).
Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) > f (x2). Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.
Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D(f(x)), то уравнение f(x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.
Действительно, если x1 < x2 – корни этого уравнения на промежутке D(f(x)), то f(x1) = f(x2) = 0, что противоречит условию монотонности.
Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D).
Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.
Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.
Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.
Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/f убывает.
Если функция f возрастает и неотрицательна, то где , также возрастает.
Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f n также возрастает.
Композиция g(f(x)) возрастающих функций f и g также возрастает.
Точка a называется точкой максимума функции f , если существует такая ε-окрестность точки a , что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f(a) ≥ f(x).