Экзамен по дисциплине: «Теория вероятностей»

Билет № 13.
1. Двумерная дискретная случайная величина. Распределение компонент. Числовые характеристики
2. Интегральная функция распределения случайной величины X

Найти коэффициент c, плотность и математическое ожидание Х.

3. В ящике 10 белых и 5 черных шаров. Какова вероятность вытащить 2 шара одного цвета? ...

Билет № 13.
1. Двумерная дискретная случайная величина. Распределение компонент. Числовые характеристики
2. Интегральная функция распределения случайной величины X

Найти коэффициент c, плотность и математическое ожидание Х.

3. В ящике 10 белых и 5 черных шаров. Какова вероятность вытащить 2 шара одного цвета?

Билет № 13.
1. Двумерная дискретная случайная величина. Распределение компонент. Числовые характеристики
2. Интегральная функция распределения случайной величины X

Найти коэффициент c, плотность и математическое ожидание Х.

3. В ящике 10 белых и 5 черных шаров. Какова вероятность вытащить 2 шара одного цвета?

Одномерные законы распределения отдельных компонент случайного вектора выражаются через вероятности совместных значений по формулам:
, ,
где суммирование распространяется на все возможные значения индексов i или j. Уточним, что для получения значения вероятности для некоторого фиксированного значения i, надо сложить вероятности , стоящие в i-ой строке таблицы, а для получения значения вероятности для некоторого фиксированного значения j, надо сложить вероятности , стоящие в j-ом столбце таблицы. При этом удобно одномерные законы распределения отдельных компонент записывать в той же таблице (см. ее последнюю строку и последний столбец). В правом нижнем углу таблицы обязательно должна находиться единица, являющаяся результатом суммирования вероятностей в ее последней строке (последнемстолбце) и соответствующая условию нормировки. С помощью таблицы нетрудно определить функцию распределения
.
Также легко по таблице вычисляется вероятность любого события B, задаваемого в виде произвольной области на плоскости:
.
Числовые характеристики двумерных дискретных случайных величин
Начальным моментом порядка k, s двумерной случайной величины (Х, Y) называется математическое ожидание произведения Xk на Ys:
                                                            αk,s = M (XkYs).                                              
Для дискретных случайных величин .  
Центральным моментом порядка k, s двумерной случайной величины (Х, Y) называется математическое ожидание произведения (X – M(X))k на (Y – M(Y))s:
                                                      μk,s = M((X – M(X))k(Y – M(Y))s).                      
Для дискретных случайных величин .
При этом М(Х) = α1,0,  M(Y) = α0,1,  D(X) = μ2,0,  D(Y) = μ0,2.
Корреляционным моментом системы двух случайных величин называется второй смешанный центральный момент:
                                         Kxy = μ1,1 = M((X – M(X))(Y – M(Y))).                               
Для дискретных случайных величин .                        
Безразмерной характеристикой коррелированности двух случайных величин является коэффициент корреляции
                                                       .                       
Корреляционный момент описывает связь между составляющими двумерной случайной величины. Для независимых Х и Y  Kxy = 0.
Итак, две независимые случайные величины являются и некоррелированными. Однако понятия коррелированности и зависимости не эквивалентны, а именно, величины могут быть зависимыми, но при этом некоррелированными. Дело в том, что коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только линейную. В частности, если  Y = aX + b, то rxy = ±1.            
2. Интегральная функция распределения случайной величины X