Анализ данных. Элементы теории вероятностей

Анализ данных.
ДЗ1_2.
Тема 2: «Элементы теории вероятностей».
Подробное решение
Текст задач в содержании
Работа сдана на отлично ...

2.1. По прошлым результатам известно, что около 20% изделий, произведенных на данной производственной линии, имеют дефекты. Если из произведенных здесь изделий произвольно выбрать два, то какова будет вероятность, что:
а) оба не имеют дефектов;
б) оба имеют дефекты;
в) только одно имеет дефекты?
2.2. 30% управленцев-стажеров в клинике Св.Иосифа не прошли двухгодичного обучения. Если два стажера приступят к обучению в один и тот же день, то какова вероятность, что:
а) оба стажера окончат курс обучения;
б) только один стажер окончит курс обучения?
2.3. Установлено, что 55% пациентов, поступающих в отделение скорой помощи клиники Св.Иосифа, являются лицами мужского пола. Кроме того, 10% от числа поступивших нуждаются в повторном обращении.
• Найдите вероятность того, что следующий поступившийв отделение пациент:
а) окажется женщиной;
б) не потребует дальнейшего лечения;
в) окажется мужчиной и не потребует дальнейшего лечения;
г) окажется женщиной и не потребует дальнейшего лечения.
• Имеются два произвольно выбранных пациента из числа поступивших в определенный день. Оцените вероятность того, что:
а) они оба мужчины;
б) они оба требуют дальнейшего лечения;
в) только один пациент требует дальнейшего лечения;
г) первый пациент требует дальнейшего лечения, а второй является женщиной;
д) только один пациент – женщина.
2.4. Рассмотрим покупателей, приходящих в магазин компании «Даунбрукс». В зависимости от того, какие изделия они покупают в этом магазине, их можно разбить на несколько групп: 60% покупают «домашние» шоколадные изделия, 20% - кондитерские изделия массового производства, остальные покупают другие изделия. Из общего числа сделавших покупки 30% покупателей снова приходят в магазин в течение следующего месяца (независимо от того, что они покупают). При этом из купивших «домашние» шоколадные изделия и вернувшихся 5% жалуются на качество купленного в прошлый раз товара. Качеством приобретенных изделий массового производства довольны 85% из купивших их и вернувшихся покупателей. Этот же показатель для потребителей других изделий составляет 90%.
Нарисуйте дерево вероятностей, представляющее всех покупателей и используйте его для определения вероятности того, что:
а) покупатель купит «домашние» шоколадные изделия и вернется в течение месяца с жалобой;
б) покупатель купит изделия массового производства и больше не придет;
в) покупатель подаст жалобу.
2.5. Поддержка программного обеспечения – достаточно сложный вид деятельности. Некоторые пользователи звонят, чтобы попросить совета, как работать с программой. Другим необходимо помочь разрешить проблемы, с которыми они столкнулись во время работы. Представьте себе, что в качестве руководителя отдела поддержки вы количественно описали вероятности некоторых характерных звонков пользователей. Именно, вероятность события «пользователь раздражен» составляет 0,2; 15% «раздраженных пользователей» получили помощь, тогда как из «нераздраженных пользователей» помощь получили 70%.
Постройте соответствующее дерево вероятностей и найдите вероятности того, что:
а) пользователь получил помощь;
б) пользователь раздражен при условии, что он получил помощь;
в) нераздраженный пользователь не получил помощи;
г) пользователь был раздражен или получил помощь.
2.6. Представьте себе, что ваша фирма собирается провести обязательную проверку всех сотрудников на предмет употребления ими наркотиков. Чтобы оценить требуемые затраты (необходимые для тестирования средства и возможные психологические проблемы) и ожидаемый выигрыш (повышение производительности труда), принято решение исследовать различные результаты на основе рассмотрения ситуации для одного работника. Процедура тестирования не идеальна. Сотрудники лаборатории сообщили, что если человек употребляет наркотики, тест будет положительным с вероятностью 90%. Вместе с тем, если человек наркотики не употребляет, тест будет отрицательным в 95% случаев. На основании неофициального опроса некоторых работников можно ожидать, что примерно 8% всего персонала употребляет наркотики. Найдите вероятности того, что:
а) работник употребляет наркотики и тест положителен;
б) работник не употребляет наркотики, но тест положителен;
в) тест положителен;
г) тест положителен при условии, что работник не употребляет наркотики;
д) работник употребляет наркотики при условии, что тест положителен.
2.7. Допустим, что ваша фирма собирается выпустить на рынок новый товар и на вас лежит ответственность за адекватную подачу описания соответствующих возможностей высшему руководству. В данном случае существует два основных вопроса: во-первых, следует ли вообще работать над данным проектом и, во-вторых, есть ли смысл сначала сделать вложение в пилотный проект для проработки его на тестируемом рынке: такой проект потребует меньших затрат и даст возможность получить некоторую информацию относительно того, велика ли вероятность успеха нового товара. Предположим, что при этом представляются разумными следующие оценки:
• вероятность того, что выпуск товара на рынок окажется успешным составляет 0,6;
• вероятность успешного выполнения пилотного проекта составляет 0,7 (это значение несколько выше, поскольку в случае пилотного проекта рынок оказывается более восприимчивым);
• вероятность того, что успешным окажется либо пилотный проект, либо выпуск товара на рынок (либо оба) составляет 0,75.
С целью принятия решения о том, есть ли смысл делать пилотный проект, найдите:
а) условную вероятность того, что выпуск товара на рынок будет успешным при условии достижения успеха в выполнении пилотного проекта;
б) условную вероятность того, что выпуск товара на рынок будет успешным даже при отсутствии успеха в выполнении пилотного проекта.
Кроме того, для полноты картины найдите:
в) вероятность того, что успешными будут и выпуск товара на рынок, и выполнение пилотного проекта;
г) вероятность провала обоих.
2.8. Представьте себе, что вы участвуете в игровом телевизионном шоу. Вас ждет приз, о котором вы мечтаете (путешествие на Гавайи, отличная оценка на коллоквиуме, один день с любимой поп-звездой и т.п.). Эта награда спрятана за одной из дверей – дверью номер 1, дверью номер 2 или дверью номер 3. За другими двумя дверьми нет ничего интересного. Вы оцениваете ситуацию, собираетесь с мыслями и сообщаете присутствующим о своем выборе. Однако прежде чем открыть выбранную вами дверь, вам говорят, что сначала откроют другую, за которой приза нет. После этого вам дается возможность изменить свой выбор. Будете ли вы менять свой выбор? Постройте соответствующее дерево вероятностей и используйте его для выбора наиболее выгодной стратегии поведения.
2.9. Следующий год ожидается удачным с вероятностью 0,7. При условии того, что год удачный, с вероятностью 0,9 ожидается выплата дивидендов. Однако если год окажется неудачным, выплата дивидендов произойдет с вероятностью 0,2. Постройте дерево вероятностей для данного случая и найдите:
а) вероятность того, что год удачный и дивиденды выплачиваются;
б) вероятность того, что дивиденды выплачиваются;
в) условную вероятность того, что год удачный при условии, что дивиденды выплачиваются.
2.10. Фирма рассматривает вопрос о выпуске новой зубной пасты. При обсуждении стратегии сделан вывод о том, что результат маркетингового исследования будет положительным с вероятностью 0,65. Достигнуто также согласие по вопросу о том, что вероятность успешного выпуска товара на рынок составляет 0,4. При условии положительного результата маркетингового исследования вероятность успешного выпуска товара на рынок составляет 0,55. Постройте соответствующее данной ситуации дерево вероятностей и найдите:
а) вероятность того, что маркетинговое исследование дает положительный результат и выпуск товара на рынок оказывается успешным;
б) условную вероятность того, что при условии успешного выпуска товара на рынок, маркетинговое исследование дало благоприятный результат;
в) условную вероятность того, что выпуск товара на рынок оказывается успешным при условии отрицательного результата маркетингового исследования;
г) являются ли два события: «положительный результат маркетингового исследования» и «успешный выпуск товара на рынок» независимыми? Из чего это следует?
2.11. Вы подали заявку на создание крупной коммуникационной сети. В соответствии с доступной информацией существует вероятность в 35%, что предпочтение будет отдано заявкам конкурентов. Если это произойдет, вы считаете, что все равно с вероятностью 10% вы сможете заключить контракт, найдя для этого существенную аргументацию. Однако в случае, если предпочтение будет отдано вашей заявке, существует вероятность в 5%, что вы потеряете контракт в результате действий конкурентов. Постройте дерево вероятностей для данной ситуации и найдите:
а) вероятность того, что контракт удастся заключить;
б) вероятность того, что предпочтение будет отдано вашей заявке, и вы сможете заключить контракт;
в) условную вероятность того, что предпочтение будет отдано вашей заявке при условии, что заключите контракт;
г) являются ли события «вам не удалось заключить контракт» и «предпочтение отдано вашей заявке» несовместимыми? Обоснуйте свой ответ.
2.12. Существует такое высказывание относительно первого выпуска акций в продажу: «Если они вам нужны, их невозможно достать; если вы можете их достать, значит, они вам не нужны». Подобное мнение связано с тем, что оказывается сложным получить впервые поступающие в продажу акции новой привлекательной компании. Большинству инвесторов приходится ждать начала свободной торговли такими акциями на бирже, часто по завышенным ценам. Предположим, что при условии возможности приобретения акций первого выпуска, вероятность высокой доходности таких акций составляет 0,35. Однако если такой возможности нет, то условная вероятность высокой доходности равна 0,8. Предположим также, что возможность приобретения акций первого выпуска составляет для вас 15%. Постройте дерево вероятностей для данной ситуации и найдите:
а) вероятность того, что вы можете приобрести акции первого выпуска и они окажутся высокодоходными;
б) насколько велик ваш доступ к имеющим высокую доходность акциям первого выпуска? Ответ на этот вопрос можно получить, найдя условную вероятность того, что вы можете купить акции первого выпуска при условии, что они имеют высокую доходность.
в) процент случаев, в которых купленные вами акции первого выпуска высокодоходны (низкодоходны).
2.13. Начальник отдела маркетинга компании «Даунбрукс» рассматривает возможность запуска нового продукта. Необходимо принять ряд решений, связанных со сбытом этого продукта. Сначала необходимо решить, попытаться ли сразу приступить к сбыту, предварить его исследованием рынка или же полностью отказаться от проекта. Проведение маркетингового исследования обойдется приблизительно в 50тыс.ф.ст. (50К, 1тыс.ф.ст. = К). Сбыт товара обойдется в 100К (закупка дополнительного оборудования, затраты по его монтажу и наладке и др.). Отказ от проекта, в конечном счете, сэкономит компании 250К (100К на сбыт + 150К на содержание персонала).
Если компания решится на проведение маркетингового исследования, то вопрос, продавать новый товар или отказаться от него, все еще останется открытым. Оценка объемов продаж будет зависеть от того, проводилось ли маркетинговое исследование, а также от его результатов. По прошлому опыту сходных компаний для аналогичных товаров маркетинговое исследование давало отрицательный ответ в среднем в 3 случаях из 10. В компании полагают, что высокий объем продаж даст валовой доход в размере 1000К, средний – 500К, а низкий – только 200К. Оценка вероятности того или иного объема продаж дана в таблице:
Объем продаж Без маркетингового исследования С проведением маркетингового исследования
Положительный ответ Отрицательный ответ
Высокий 0,2 0,4 0,1
Средний 0,4 0,4 0,1
Низкий 0,4 0,2 0,8
Постройте дерево решений с целью нахождения стратегии компании, максимизирующей ожидаемую прибыль. Какова ее величина?
2.14. На предприятии необходимо принять решение относительно того, какой из двух товаров (А или Б) производить. Средств имеется только для производства одного товара. Затраты на наладку производства товара А составляют 10К, а для товара Б – 15К. Другие расходы, включая издержки по содержанию персонала и стоимость материалов, аналогичны. Оценки вероятности высокого (50К) и низкого (20К) валового дохода указанных товаров даны в таблице:

Валовой доход Товар А Товар Б
Высокий (50К) 0,7 0,8
Низкий (20К) 0,3 0,2

При помощи дерева решений определите, какой товар следует начать выпускать с целью максимизации ожидаемой прибыли. Изменится ли решение, если прогноз высокой прибыли составит 70К?
2.15. Крупная консультационная компания по вопросам управления, находящаяся в Лондоне, должна принять решение об установке новой компьютерной системы. Компания предварительно отобрала 3 системы ( А, Б, В), которые ей подходят. Эти системы существенно различаются по возможностям и ценам: система А стоит 1,5 млн.ф.ст., система Б – 2 млн.ф.ст., система В – 4 млн.ф.ст. Известно также, что отдача в течение 5 лет для системы А составляет 3 млн.ф.ст., для системы Б – 5 млн.ф.ст., а для системы В – 6,5 млн.ф.ст. Некоторые компании уже установили у себя систему В, и она считается полностью надежной. Вероятность полной надежности системы А – 60%, системы Б – 80%. Если компания установит систему А либо систему Б, и такая система сломается, то необходимо будет принять решение относительно либо починки и модификации имеющейся системы, либо покупки новой системы более высокого уровня надежности. Именно, если ломается система А, то альтернативой ее модификации является покупка новой системы Б, а если ломается система Б, то альтернативой ее модификации является система В. Стоимость ремонта и модификации системы А составляет 1 млн.ф.ст., а системы Б – 2 млн.ф.ст. В результате такой модификации получается полностью надежная система прежнего класса. Если вновь купленная система ломается во второй раз, то необходимо принять решение относительно либо ее модификации, либо установки полностью надежной, но дорогой системы В. С помощью дерева решений проиллюстрируйте ситуацию и дайте компании рекомендации, какие действия лучше всего предпринять.
2.16. Компания «Зендалл» производит и сбывает товары для дома, в том числе различные моющие порошки. Недавно компания разработала новое моющее средство и теперь хочет организовать его продвижение на рынок. По оценкам рекламная кампания товара приблизительной стоимостью в 2 млн.ф.ст. обеспечит ему 80% шансов на успех. По результатам маркетингового исследования компания решает, что с такой рекламной поддержкой товар может принести доход в размере 6 млн.ф.ст.; если же товар провалится, то доход составит только 1,5 млн.ф.ст. Результаты исследования, а также опыт запуска аналогичных товаров говорят о том, что без такой рекламной поддержки вероятность успеха составит только 40%. Без рекламной кампании товар даже в случае успеха на рынке принесет доход равный 4,5 млн.ф.ст., а в случае провала – 0,7 млн.ф.ст. При помощи дерева решений дайте компании обоснованный совет относительно того, следует ли ей проводить рекламную кампанию товара.
2.17. Для финансирования проекта бизнесмену нужно занять сроком на один год 15000 ф.ст. Банк может одолжить ему эти деньги под 15% годовых или вложить в другое дело с гарантированным возвратом суммы, но под 9% годовых. Из прошлого опыта банкиру известно, что 4% таких клиентов ссуду не возвращают. Дайте банкиру обоснованную рекомендацию по поводу того, давать ли ссуду. Критерий – максимальная ожидаемая прибыль в результате сделки.
2.18. Рассматривается следующее усложнение предыдущей задачи: на первом этапе банк решает, проводить ли аудиторскую проверку платежеспособности заемщика. Аудиторская фирма берет с банка за такую проверку 80 ф.ст. На втором этапе, с учетом рекомендации
аудиторской фирмы, банк принимает решение о выдаче ссуды. Решая первую проблему, банк проверяет соответствие рекомендаций аудиторской фирмы реальной картине возврата или невозврата ссуд клиентами. Для этого выбирается 1000 человек, кредитные истории которых были проверены аудиторской фирмой и которым впоследствии выдавались ссуды. Данные сведены в таблицу:
Рекомендация аудиторской фирмы после проверки платежеспособности клиента Фактический результат Всего
Выдать ссуду 735 15 750
Не выдавать ссуду 225 25 250
Всего 960 40 1000

Какое решение должен принять банк, если он исходит из прежнего критерия максимизации ожидаемой прибыли от сделки?

2.19. Посредническая фирма еженедельно закупает и распространяет химические реактивы для фотолабораторий (упакованы в ящики). Стоимость покупки одного ящика – 50 у.е., доход от продажи одного ящика – 80 у.е. Ситуация на рынке стабильная, спрос носит устойчивый характер и статистические данные о его величине приведены в нижеследующей таблице:
Недельный спрос (ящиков) Вероятность
11 0,4
12 0,4
13 0,2

Если купленный ящик оказался непроданным, фирма несет дополнительный убыток в размере 50 у.е. Определите оптимальный по критерию максимальной ожидаемой прибыли размер недельного запаса реактивов, который следует создать фирме. Выясните, как изменится ответ, если неудовлетворенный спрос оценивается примерно в 35 у.е. за один ящик?
2.20. Обладая определенным количеством денег, инвестор желает вложить их в акции. У него есть три варианта выбора – приобрести акции компаний А, В или С. Прибыли (убытки) от вложения капитала в акции той или иной компании зависят от характера развития общей экономической ситуации, которая сложится после покупки акций. Соответствующая информация приведена в нижеследующей таблице:
Ситуация в экономике Прибыли (убытки) от инвестиций (у.е.)
В акции компании А В акции компании В В акции компании С
Экономический спад 500 -2000 -7000
Без изменений 1000 2000 -1000
Экономический рост 2000 5000 20000

Учитывая прошлый опыт, инвестор полагает, что вероятности каждого из вариантов развития экономической ситуации распределены, так:
Состояние экономики Вероятность
Экономический спад 0,3
Без изменений 0,5
Экономический рост 0,2

Сделайте оптимальный выбор стратегии капиталовложения, руководствуясь критерием максимизации ожидаемой прибыли.
Предположим, что перед принятием решения инвестор обратился за консультацией к своему биржевому брокеру, который дал ему пессимистический прогноз относительно развития экономической ситуации в целом, то есть предсказал спад экономики на протяжении интересующего инвестора промежутка времени после покупки акций. В прошлом, если экономика находилась в упадке, радужные прогнозы брокера (спада не будет) сбывались в 20% случаев. Если экономика пребывала в застое, такие прогнозы сбывались в 40% случаев. Если же экономика переживала подъем, то они сбывались в 70% случаев. На основании полученной дополнительной информации вычислите заново вероятности, на основании которых должно приниматься решение о стратегии капиталовложений и выясните, изменится ли это решение.
2.21. Сегодня на фондовой бирже неудачный день, стоимость 80% ценных бумаг падает. Вы оцениваете портфель, содержащий 15 ценных бумаг. Предполагается биномиальное распределение количества понижающихся в цене бумаг.
а) Какие допущения делаются для возможности использования в данном случае биномиального распределения?
б) Для какого количества ценных бумаг, входящих в портфель ожидается снижение стоимости?
в) Чему равно стандартное отклонение количества входящих в портфель ценных бумаг, стоимость которых снижается?
г) Найдите вероятность падения в цене менее 3-х ценных бумаг.
д) Найдите вероятность падения в цене точно 10-ти ценных бумаг.
е) Найдите вероятность падения в цене 13-ти или более ценных бумаг.

2.22. В соответствии со спецификациями срок службы кинескопа телевизора составляет 50000 часов. Предполагается, что время до выхода кинескопа из строя подчиняется экспоненциальному распределению.
а) Симметрично ли это распределение? Если нет, то опишите характер ассиметрии.
б) Чему равно стандартное отклонение срока службы кинескопа?
в) Кинескоп работал непрерывно в течение 8500 часов и все еще находится в рабочем состоянии. Чему равно ожидаемое время работы кинескопа с настоящего момента до выхода из строя?
г) Чему равна вероятность работы кинескопа в течение 100 000 часов и более? (Этот промежуток времени, как видно, превышает номинальное значение срока службы вдвое).
д) Гарантия на кинескоп дается на 5000 часов работы. Какой процент кинескопов, как ожидается, выходит из строя в течение гарантийного периода?
2.23. Для получения достаточного дохода, который позволит выплатить в этом году долги фирмы, необходимо заключить, по меньшей мере, два контракта. Обычно это не составляет больших проблем, поскольку в среднем фирма заключает 5,1 контрактов в год. Можно предположить, что количество заключенных контрактов, описывается распределением Пуассона.
а) Найдите вероятность того, что доход будет достаточным для оплаты долговых обязательств фирмы в этом году.
б) Найдите вероятность заключения 3-х контрактов.
в) Найдите вероятность заключения менее 5-ти контрактов.
2.24. В обычных условиях нефтеперегонный завод может перерабатывать в среднем 135000 баррелей сырой нефти в день со стандартным отклонением 6000 баррелей в день. Можно предположить, что объем обрабатываемой нефти подчиняется нормальному распределению.
а) Найдите вероятность того, что за один день будет переработано более чем 135000 баррелей нефти.
б) Найдите вероятность того, что за один день будет переработано более чем 130000 баррелей нефти.
в) Найдите вероятность того, что за один день будет переработано более чем 150000 баррелей нефти.
г) Найдите вероятность того, что за один день будет переработано менее чем 125000 баррелей нефти.
д) Найдите вероятность того, что за один день будет переработано менее чем 100000 баррелей нефти.
2.25. Предположим, что сегодня в момент закрытия биржи значение индекса активности было равно 9246 пунктам. Завтра ожидается подъем в среднем на 4 пункта со стандартным отклонением 115 пунктов. Предполагая, что распределение индекса активности нормальное:
а) найдите вероятность завтрашнего понижения фондового рынка.
б) найдите вероятность того, что завтра на фондовом рынке будет наблюдаться повышение более чем на 50 пунктов.
в) найдите вероятность того, что завтра на фондовом рынке будет наблюдаться повышение более чем на 100 пунктов.
г) найдите вероятность того, что завтра на фондовом рынке будет наблюдаться понижение более чем на 150 пунктов.
е) найдите вероятность того, что завтра на фондовом рынке будет наблюдаться колебание, превышающее 200 пунктов в любую сторону.

Анализ данных.
ДЗ1_2.
Тема 2: «Элементы теории вероятностей».
Подробное решение
Текст задач в содержании
Работа сдана на отлично

1) Для того, чтобы найти словную вероятность того, что выпуск товара на рынок будет успешным при условии достижения успеха в выполнении пилотного проекта (Р(М/А)), нужно определить совместную их вероятность. Исходя из формулы: Р(А+М) = Р(А) + Р(М) – Р(АМ), получим формулу для нахождения совместной вероятность этих двух событий: Р(АМ) = Р(А) + Р(М) – Р(А+М) = 0,7+0,6 – 0,75 = 0,55. Тогда исходя из следующей формулы: Р(АМ) = Р(А)*Р(М/А), получаем нужную нам формулу для нахождения условной вероятности: Р(М/А) =  =  = 0,785.
2) Для того чтобы найти словную вероятность того, что выпуск товара на рынок будет успешным даже при отсутствии успеха в выполнении пилотного проекта, необходимо найти совместную вероятность этих событий. Используем следующую формулу: Р(М) = Р(МВ+МА) = Р(МВ) + Р(МА) –Р(МВМА) = Р(МВ) + Р(МА) – Р() = Р(МВ) + Р(МА) – 0. Последнее слагаемое равно 0, так как АВ – невозможное событие. Из этой формулы получаем: Р(МВ) = Р(М) – Р(МА) = 0,6 – 0,55 = 0,05. Тогда из формулы: Р(МВ) = Р(В)*Р(М/В), получаем нужную нам формулу: Р(М/В) =  = 0,166.
3) Вероятность того, что успешными будут и выпуск товара на рынок, и выполнение пилотного проекта (Р(МА)). Мы уже нашли ранее следующим образом. Исходя из формулы: Р(А+М) = Р(А) + Р(М) – Р(АМ), получим формулу для нахождения совместной вероятность этих двух событий: Р(АМ) = Р(А) + Р(М) – Р(А+М) = 0,7+0,6 – 0,75 = 0,55.
4) Вероятность провала обоих, то есть Р(ВН), найдем следующим образом. Исходя из формулы: Р(В) = Р(МВ+НВ) = Р(МВ) + Р(НВ) – Р(МВНВ) = Р(МВ) + Р(НВ) – Р(ø) = Р(МВ) + Р(НВ) – 0 . Последнее слагаемое равно о, так как МН – невозможное событие. Тогда из этой формулы мы можем вывести нужную нам вероятность: Р(НВ) = Р(В) – Р(МВ) = 0,3 – 0,05 = 0,25.
2.8. Представьте себе, что вы участвуете в игровом телевизионном шоу. Вас ждет приз, о котором вы мечтаете (путешествие на Гавайи, отличная оценка на коллоквиуме, один день с любимой поп-звездой и т.п.). Эта награда спрятана за одной из дверей – дверью номер 1, дверью номер 2 или дверью номер 3. За другими двумя дверьми нет ничего интересного. Вы оцениваете ситуацию, собираетесь с мыслями и сообщаете присутствующим о своем выборе. Однако прежде чем открыть выбранную вами дверь, вам говорят, что сначала откроют другую, за которой приза нет. После этого вам дается возможность изменить свой выбор. Будете ли вы менять свой выбор? Постройте соответствующее дерево вероятностей и используйте его для выбора наиболее выгодной стратегии поведения.
Решение.
В данной задача данные представлены в виде значений вероятностей, следовательно, данные относительного количественного (числового) типа. Обозначения: с.с. - приз за 1 дверью, с.с. – приз за 2 дверью, с.с. – приз за 3 дверью, с.с. – отгадывающий говорит: «Приз за 1 дверью», с.с. - отгадывающий говорит: «Приз за 2 дверью», с.с.отгадывающий говорит: «Приз за 3 дверью», «+» - выигрыш, если высказанную догадку не менять, «-» - проигрыш, если высказанную догадку не менять.
Вывод. Как мы видим по дереву вероятностей, выгоднее высказанную догадку поменять, тем самым учесть дополнительную информацию, состоящую в том, что становится известна дверь, за которой ничего нет. Если первоначальную догадку не менять, будет полное игнорирование дополнительной информации (из общих соображений такое игнорирование является неправильным), что приведет к проигрышу в 2/3 случаях. На дереве вероятностей мы имеем 9 равновероятных сочетаний первой догадки с фактом, среди которых получение приза соответствует только 3/9 = 1/3 часть, если догадки не менять. Таким образом, без смены выбора мы останемся при своей первоначальной вероятности выигрыша 1/3, а при смене первоначального выбора, мы оборачиваем себе на пользу в два раза большую оставшуюся вероятность того, что в начале мы не угадали.
2.9. Следующий год ожидается удачным с вероятностью 0,7. При условии того, что год удачный, с вероятностью 0,9 ожидается выплата дивидендов. Однако если год окажется неудачным, выплата дивидендов произойдет с вероятностью 0,2. Постройте дерево вероятностей для данного случая и найдите:
1) вероятность того, что год удачный и дивиденды выплачиваются;
2) вероятность того, что дивиденды выплачиваются;
3) условную вероятность того, что год удачный при условии, что дивиденды выплачиваются.
Решение.
В данной задача данные представлены в виде значений вероятностей, следовательно, данные относительного количественного (числового) типа. Обозначения: с.с.А – следующий год удачный; с.с. В – следующий год неудачный; с.с.К – дивиденды выплачиваются; с.с.Н – дивиденды не выплачиваются.
1) Вероятность того, что год удачный и дивиденды выплачиваются, мы можем найти по дереву вероятностей: Р(АК) = 0,63. Таким образом, вероятность составляет 63%.
2) Вероятность, что дивиденды выплачиваются, на дереве вероятностей не видна. Тогда она будет рассчитываться следующим образом: Р(К) = Р(АК+ВК). Согласно правилу сложения вероятностей формула будет иметь вид: Р(АК+ВК) = Р(АК) + Р(ВК) – Р(АКВК). Рассмотрим последнее слагаемое отдельно: Р(АКВК) = Р(К(АВ)) = Р(ø) = 0, так как АВ является невозможным событием. Тогда в данном случае вероятность будет равна: Р(К) = Р(АК)+Р(ВК) = 0,63+0,06 = 0,69. Вероятность выплаты дивидендов составляет 69%.
3) Вероятность, что год удачный при условии, что дивиденды выплачиваются, также не показана на дереве вероятностей. Согласно понятию условной вероятности: Р(АК) = Р(А)*Р(К/А) = Р(К)*Р(А/К). Из этого равенства получаем формулу: Р(А/К) =  =  = 0,91.
2.10. Фирма рассматривает вопрос о выпуске новой зубной пасты. При обсуждении стратегии сделан вывод о том, что результат маркетингового исследования будет положительным с вероятностью 0,65. Достигнуто также согласие по вопросу о том, что вероятность успешного выпуска товара на рынок составляет 0,4. При условии положительного результата маркетингового исследования вероятность успешного выпуска товара на рынок составляет 0,55. Постройте соответствующее данной ситуации дерево вероятностей и найдите:
1) вероятность того, что маркетинговое исследование дает положительный результат и выпуск товара на рынок оказывается успешным;
2) условную вероятность того, что при условии успешного выпуска товара на рынок, маркетинговое исследование дало благоприятный результат;
3) условную вероятность того, что выпуск товара на рынок оказывается успешным при условии отрицательного результата маркетингового исследования;
4) являются ли два события: «положительный результат маркетингового исследования» и «успешный выпуск товара на рынок» независимыми? Из чего это следует?
Решение.
В данной задача данные представлены в виде значений вероятностей, следовательно, данные относительного количественного (числового) типа. Обозначения: с.с.А – положительный результат маркетингового исследования; с.с. В – отрицательный результат маркетингового исследования; с.с.Е – успешный выпуск товара на рынок; с.с.М – неуспешный выпуск товара на рынок. Для того, чтобы заполнить все значения на дереве вероятностей, нужно произвести дополнительные расчеты. По условию вероятность успешного выпуска товара на рынок составляет: Р(Е) = 0,4. Эта вероятность определяется следующей формулой: Р(Е) = Р(АЕ+ВЕ) = Р(АЕ)+Р(ВЕ)-Р(АЕВЕ). Но Р(АЕВЕ) = 0, поскольку АВ является невозможным событием (ø). Тогда Р(Е) = Р(АЕ)+Р(ВЕ). Отсюда найдем Р(ВЕ) = Р(Е)-Р(АЕ) = 0,4-0,3575 = 0,042. Тогда условная вероятность будет выглядеть следующим образом: Р(Е/В) =  =  = 0,12. Остальные показатели считаются стандартным образом.
1) Вероятность того, что маркетинговое исследование дает положительный результат и выпуск товара на рынок оказывается успешным, показана на дереве вероятностей: Р(АЕ) = 0,3575.
2) Условную вероятность того, что при условии успешного выпуска товара на рынок, маркетинговое исследование дало благоприятный результат, на дереве не показана. Поэтому используем следующее равенство: Р(АЕ) = Р(А)*Р(Е/А) = Р(Е)*Р(А/Е). Тогда нужная нам формула будем иметь вид: Р(А/Е) =  =  = 0,89.
3) Условную вероятность того, что выпуск товара на рынок оказывается успешным при условии отрицательного результата маркетингового исследования, мы рассчитывали ранее при заполнении дерева вероятностей. По условию вероятность успешного выпуска товара на рынок составляет: Р(Е) = 0,4. Эта вероятность определяется следующей формулой: Р(Е) = Р(АЕ+ВЕ) = Р(АЕ)+Р(ВЕ)-Р(АЕВЕ). Но Р(АЕВЕ) = 0, поскольку АВ является невозможным событием (ø). Тогда Р(Е) = Р(АЕ)+Р(ВЕ). Отсюда найдем Р(ВЕ) = Р(Е)-Р(АЕ) = 0,4-0,3575 = 0,042. Тогда условная вероятность будет выглядеть следующим образом: Р(Е/В) =  =  = 0,12.
4) Два события: «положительный результат маркетингового исследования» и «успешный выпуск товара на рынок» не являются независимыми. Критерием независимости двух случайных событий является условие необходимости и достаточности. Докажем это следующим образом: Р(АЕ) = Р(А)*Р(Е/А) = 0,65*0,55 = 0,3575; Р(АЕ) = Р(А)*Р(Е) = 0,65*0,4 = 0,26. Таким образом, 0,3575 ≠ 0,26. Следовательно, случайные события не являются независимыми.
2.11. Вы подали заявку на создание крупной коммуникационной сети. В соответствии с доступной информацией существует вероятность в 35%, что предпочтение будет отдано заявкам конкурентов. Если это произойдет, вы считаете, что все равно с вероятностью 10% вы сможете заключить контракт, найдя для этого существенную аргументацию. Однако в случае, если предпочтение будет отдано вашей заявке, существует вероятность в 5%, что вы потеряете контракт в результате действий конкурентов. Постройте дерево вероятностей для данной ситуации и найдите:
1) вероятность того, что контракт удастся заключить;
2) вероятность того, что предпочтение будет отдано вашей заявке, и вы сможете заключить контракт;
3) условную вероятность того, что предпочтение будет отдано вашей заявке при условии, что заключите контракт;
4) являются ли события «вам не удалось заключить контракт» и «предпочтение отдано вашей заявке» несовместимыми? Обоснуйте свой ответ.
Решение.
В данной задача данные представлены в виде значений вероятностей, следовательно, данные относительного количественного (числового) типа. Обозначения: с.с.А – предпочтение отдано конкурентам; с.с.В – предпочтение отдано нашей заявке; с.с. М – контракт заключен нами; с.с.Н – контракт не заключен нами.
1) Вероятность того, что контракт удастся заключить, на дереве вероятностей не показана. Согласно правилу сложения вероятностей: Р(М) = Р(АМ+ВМ) = Р(АМ)+Р(ВМ)-Р(АМВМ). Рассмотрим последнее слагаемое отдельно: Р(АМВМ) = Р(М(АВ)) = Р(ø) = 0, так как АВ является невозможным событием. Тогда Р(М) = Р(АМ)+Р(ВМ) = 0,035+0,6175 = 0,6525. Вероятность заключения контракта составляет 65,25%.
2) Вероятность того, что предпочтение будет отдано нашей заявке, и мы сможем заключить контракт, показана на дереве вероятностей и составляет: Р(ВМ) = 0,6175.
3) Условная вероятность того, что предпочтение будет отдано нашей заявке при условии, что заключим контракт, будет рассчитываться следующим образом: Р(ВМ) = Р(В)*Р(М/В) = Р(М)*Р(В/М). Отсюда получаем, что: Р(В/М) =  =  = 0,946. Вероятность составляет 94,6%.
4) События «вам не удалось заключить контракт» и «предпочтение отдано вашей заявке» не являются несовместимыми. Так как эти события могут наступить одновременно. На нашем дереве вариант совместного наступления этих событий показан как Р(ВМ), равная 61,75%.
2.12. Существует такое высказывание относительно первого выпуска акций в продажу: «Если они вам нужны, их невозможно достать; если вы можете их достать, значит, они вам не нужны». Подобное мнение связано с тем, что оказывается сложным получить впервые поступающие в продажу акции новой привлекательной компании. Большинству инвесторов приходится ждать начала свободной торговли такими акциями на бирже, часто по завышенным ценам. Предположим, что при условии возможности приобретения акций первого выпуска, вероятность высокой доходности таких акций составляет 0,35. Однако если такой возможности нет, то условная вероятность высокой доходности равна 0,8. Предположим также, что возможность приобретения акций первого выпуска составляет для вас 15%. Постройте дерево вероятностей для данной ситуации и найдите:
1) вероятность того, что вы можете приобрести акции первого выпуска и они окажутся высокодоходными;
2) насколько велик ваш доступ к имеющим высокую доходность акциям первого выпуска? Ответ на этот вопрос можно получить, найдя условную вероятность того, что вы можете купить акции первого выпуска при условии, что они имеют высокую доходность.
3) процент случаев, в которых купленные вами акции первого выпуска высокодоходны (низкодоходны).
Решение.
В данной задача данные представлены в виде значений вероятностей, следовательно, данные относительного количественного (числового) типа. Обозначения: с.с.А – возможность приобретения акций первого выпуска; с.с.В – отсутствие возможности приобретения акций первого выпуска; с.с.С – высокая доходность акций; с.с.Е – низкая доходность акций.
1) Вероятность того, что вы можете приобрести акции первого выпуска и они окажутся высокодоходными, показана на дереве вероятностей и составляет: Р(АС) = 0,0525 или 5,25%.
2) Условная вероятность того, что вы можете купить акции первого выпуска при условии, что они имеют высокую доходность, будет рассчитываться следующим образом: Р(АС) = Р(А)*Р(С/А) = Р(С)*Р(А/С). Также нам необходимо найти Р(С). Вероятность того, что акции имеют высокую доходность, на дереве вероятностей не показана. Согласно правилу сложения вероятностей: Р(С) = Р(АС+ВС) = Р(АС)+Р(ВС)-Р(АСВС). Рассмотрим последнее слагаемое отдельно: Р(АСВС) = Р(С(АВ)) = Р(ø) = 0, так как АВ является невозможным событием. Тогда Р(С) = Р(АС)+Р(ВС) = 0,0525+0,68 = 0,7325. Отсюда получаем, что: Р(А/С) =  =  = 0,072. Вероятность составляет 7,2%. Следовательно, наш доступ к имеющим высокую доходность акциям не велик.
3) Процент случаев, в которых купленные нами акции первого выпуска высокодоходны (низкодоходны), мы можем определить по дереву вероятностей. Р(С/А) = 0,35, то есть в 35% случаев покупки нами акций они будут иметь высокую доходность. Р(Е/А) = 0,65, соответственно в оставшихся 65% случаев купленные нами акции будут иметь низкую доходность.
2.13. Начальник отдела маркетинга компании «Даунбрукс» рассматривает возможность запуска нового продукта. Необходимо принять ряд решений, связанных со сбытом этого продукта. Сначала необходимо решить, попытаться ли сразу приступить к сбыту, предварить его исследованием рынка или же полностью отказаться от проекта. Проведение маркетингового исследования обойдется приблизительно в 50тыс.ф.ст. (50К, 1тыс.ф.ст. = К). Сбыт товара обойдется в 100К (закупка дополнительного оборудования, затраты по его монтажу и наладке и др.). Отказ от проекта, в конечном счете, сэкономит компании 250К (100К на сбыт + 150К на содержание персонала).
Если компания решится на проведение маркетингового исследования, то вопрос, продавать новый товар или отказаться от него, все еще останется открытым. Оценка объемов продаж будет зависеть от того, проводилось ли маркетинговое исследование, а также от его результатов. По прошлому опыту сходных компаний для аналогичных товаров маркетинговое исследование давало отрицательный ответ в среднем в 3 случаях из 10. В компании полагают, что высокий объем продаж даст валовой доход в размере 1000К, средний – 500К, а низкий – только 200К. Оценка вероятности того или иного объема продаж дана в таблице:
Объем продаж
Без маркетингового исследования
С проведением маркетингового исследования
Положительный ответ
Отрицательный ответ
Высокий
0,2
0,4
0,1
Средний
0,4
0,4
0,1
Низкий
0,4
0,2
0,8
Постройте дерево решений с целью нахождения стратегии компании, максимизирующей ожидаемую прибыль. Какова ее величина?
Решение.
В данной задача данные представлены в виде значений вероятностей и денежных выражений, следовательно, данные относительного количественного (числового) типа. Дерево решений будет выглядеть следующим образом:
Произведем нужные расчеты. Ожидаемый доход при условии проведения маркетингового исследования и получения положительного результата:  = 1000*0,4 + 500*0,4 + 200*0,2 = 400+200+40 = 640 (К). Ожидаемый доход при условии проведения маркетингового исследования и получения отрицательного результата:  = 1000*0,1 + 500*0,1 + 200*0,8 = 100+50+160 = 310 (К). Ожидаемая прибыль при условии положительного результата маркетингового исследования и начале сбыта товара:  = 640 – 100 = 540 (К). Ожидаемая прибыль при условии положительного результата МИ и отказе от сбыта товара:  = 250 – 0 = 250 (К). Так как 540 К  250 К, первый блок решения на ветви А заполняется значением 540 К. Ожидаемая прибыль при условии отрицательного результата МИ и продаже товара:  = 310 – 100 = 210 (К). Ожидаемая прибыль при условии отрицательного результата МИ и отказе от продажи товара:  = 250 – 0 = 250 (К). Так как 250 К  210 К, то во втором блоке решения на ветви А запишем 250 К. Таким образом, ожидаемая прибыль от выбора стратегии А составляет:  = 540*0,7 + 250*0,3 – 50 = 453 – 50 = 403 (К). Для стратегии В ожидаемая прибыль:  = 1000*0,2 + 500*0,4 + 200*0,4 – 100 = 480 – 100 = 380 (К). И соответственно ожидаемая прибыль от стратегии С:  = 250 – 0 = 250 (К).
Таким образом, max() = max(, , ) =  = 403 (К). Следовательно, для максимизации ожидаемой прибыли нужно: провести МИ и в случае положительного результата продать товар, а в случае отрицательного – отказаться от проекта. Наибольшая ожидаемая прибыль при этом составляет 403 (К).
2.14. На предприятии необходимо принять решение относительно того, какой из двух товаров (А или Б) производить. Средств имеется только для производства одного товара. Затраты на наладку производства товара А составляют 10К, а для товара Б – 15К. Другие расходы, включая издержки по содержанию персонала и стоимость материалов, аналогичны. Оценки вероятности высокого (50К) и низкого (20К) валового дохода указанных товаров даны в таблице:
Валовой доход
Товар А
Товар Б
Высокий (50К)
0,7
0,8
Низкий (20К)
0,3
0,2
При помощи дерева решений определите, какой товар следует начать выпускать с целью максимизации ожидаемой прибыли. Изменится ли решение, если прогноз высокой прибыли составит 70К?
Решение.
В данной задача данные представлены в виде значений вероятностей и денежных выражений, следовательно, данные относительного количественного (числового) типа. Произведем необходимые расчеты. Ожидаемый доход от производства товара А составляет:  = 0,7*50 + 0,3*20 = 35+6 = 41 (К). Ожидаемый доход от производства товара Б:  = 0,8*50 + 0,2*20 = 40+4 = 44 (К). Ожидаемая прибыль от производства товара А:  = 41 – 10 = 31 (К). Ожидаемая прибыль от производства товара Б:  = 44 – 15 = 29 (К). Так как 31 К  29 К, то в блоке решения запишем 31 К. Следовательно, фирме следует производить товар А.
Если прогноз высокой прибыли будет 70 К, то решение может быть и иным, поскольку ожидаемая прибыль от производства товара А и товара Б будет равной. Подтвердим это расчетом. В данном случае ожидаемая прибыль производства товара А:  = 0,7*70 + 0,3*20 – 10 = 55 – 10 = 45 (К). Соответственно ожидаемая прибыль от производства товара Б:  = 0,8*70 + 0,2*20 – 15 = 60 – 15 = 45 (К). 45 К = 45 К. Таким образом, фирме безразлично какой товар производить, поскольку ожидаемая прибыль имеет одинаковые значения.