Эконометрика НГУЭиУ (НИНХ)

В задаче 1 рассматриваем парную и множественную линейные регрессии. Оцениваем значимость параметров и уравнения в целом. Находим коэффициенты корреляции (линейной, парные, частные). Вычисляем точечные и интервальные прогнозы для обоих уравнений. Также идет проверка на мультиколлениарность.
В задаче 2 работаем с временным трендом. Помимо нахождения параметров тренда и прогнозов по тренду проводим оценку автокорреляции и наличия сезонных колебаний.
Подробные задания расписаны в пункте Введение. ...

Практическая задача 1
Практическая задача 2
Тестовые задания

Ситуационная (практическая) задача №1
Требуется:
1. Построить корреляционное поле. Выдвинуть гипотезу о тесноте и виде зависимости между показателями Х1 и У.
2. Оценить тесноту линейной связи с надежностью 0,9.
3. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии.
4. Проверить статистическую значимость параметров уравнения регрессии с надежностью 0,9 и построить для них доверительные интервалы.
5. Рассчитать коэффициент детерминации. С помощью F- критерия Фишера оценить статистическую значимость уравнения регрессии с надежностью 0,99.
6. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,99.
7. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.
8. Проанализировать статистическую значимость коэффициентов множественного у равнения с надежностью 0,99 и построить для них доверительные интервалы.
9. Найти коэффициенты парной и частной корреляции. Проанализировать их.
10. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с некорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
11. С помощью F- критерия Фишера оценить адекватность уравнения регрессии с надежностью 0,99.
12. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,99.
13. Проверить построенное уравнение на наличие мультиколлинеарности по: критерию Стьюдента; критерию χ2. Сравнить полученные результаты.

Задание 2.
Требуется:
1. Проверить гипотезу о наличии тренда во временном ряде.
2. Рассчитать коэффициенты автокорреляции. Проверить наличие сезонных колебаний во временном ряде.
3. Оценить параметры линейной трендовой модели, проверить статистическую значимость соответствующего уравнения регрессии с надежностью 0,9.
4. Дать точечный и интервальный прогноз курса акций компании на предстоящий апрель с надежностью 0,9.

Тестовые задания
1. Значение переменной Y для некоторого наблюдения составило 12, прогнозное значение Y в этом наблюдении составило 11,5. Чему равен остаток в этом наблюдении:
2. Известно, что между величинами X и Y существует положительная связь. В каких пределах находится парный коэффициент корреляции?
3. Пусть имеется модель регрессии , построенная по 20 наблюдениям. При построении доверительного интервала для коэффициента регрессии c доверительной вероятностью 0,99 нужно выбрать табличное значение:
4. Мультиколлинеарность – это
5. Тест на значимость отдельных параметров уравнения множественной регрессии называется
6. Какое из условий означает наличие автокорреляции:
7. Какое из следующих утверждений не верно в случае гетероскедастичности остатков?
8. Какая из составляющих временного ряда описывает долговременную, формирующую долгую (в длительной перспективе) тенденцию в изменении анализируемого признака Y.
9. По данным о динамике цен на некоторый товар за 24 месяца получены коэффициенты автокорреляции уровней временного ряда.Охарактеризовать структуру временного ряда.
10. Модель считается идентифицированной, если:

ед.Используя уравнение регрессии, находим:ден. ед.Так как вероятность и коэффициент доверия (по таблице Лапласа), следовательно, предельная ошибка прогноза равна:.Величина доверительного интервала определяется в общем виде по формуле: ,Следовательно, доверительный интервал прогноза имеет вид: или ,Итак, с вероятностью 99% при доходах домохозяйства 50 ден. ед. накопления будут находиться в пределах от 7,89 до 26,73 ден. ед.Рассчитаем коэффициенты линейного уравнения множественной регрессии.По методу наименьших квадратов найдем оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели.Система нормальных уравнений МНК для данной модели имеет вид:Составим расчетную таблицу 4.Таблица 4.137389,413691444347,8357,2140610,882,192732532,353296252357,9807,5182532,300,00321275,7441729119,7153,95675,610,014696519,5476142251345,51267448520,140,415723927,4518415211972,81069280828,240,71635524,912252704171,5254,818206,322,027605917,33600348110381021354017,130,0382824117845763082646729,901,21921275,2441729109,2140,45675,610,1710592925,134818411480,9727,9171124,240,7511733230,6532910242233,8979,2233630,520,0112645918,3409634811171,21080377619,150,711323472,5529220957,5117,510811,550,9114796327,2624139692148,81714497725,682,3015466792116448941460330828,060,8916443515,719361225690,8549,5154015,160,29174622202116484920440101219,470,2818322111,91024441380,8249,967212,670,6019432118,61849441799,8390,690318,210,1520724028,2518416002030,41128288027,990,0421723528,4518412252044,8994252029,260,7422544617,329162116934,2795,8248417,410,01Сумма:1123873385,5651353957923077,41510346664385,5014,43Средн:51,0539,6817,522960,681799,051048,97686,512121,0917,520,66Получаем систему уравнений:Решая систему методом Гаусса, получаем:.Уравнение регрессии примет вид:.Полученное уравнение говорит о том, что при повышении доходов домохозяйства на 1 ден. ед. накопления увеличиваются в среднем на 0,5 ден. ед., а при повышении стоимости имуществ на 1 ден. ед. накопления уменьшаются на 0,25 ден. ед.Проанализируем статистическую значимость коэффициентов множественного уравнения с надежностью 0,99 и построим для них доверительные интервалы.Ранее вычислено значение. Находим далее:.Оценка значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента сводится к вычислению значения,где – средняя квадратическая ошибка параметра регрессии и определяется по формуле.Вычисляем ;; .Так как , можем сделать вывод, что значимым является только первый коэффициент множественной регрессии.Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку для данного параметра:.Доверительный интервал:или .Окончательно получаем:.Итак, мы видим, что доверительный интервал не включает 0, что еще раз подтверждает значимость указанного коэффициента.Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:; ; .Они указывают на очень сильную связь первого фактора с результатом и на отсутствие связи между вторым фактором с результатом, а также умеренную межфакторную зависимость (факторы и не являются коллинеарными, т.к. ).Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:;.Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что при исключении фактора х1 мы также получаем сильную зависимость второго фактора от результата.Найдем скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравним его с некорректированным (общим) коэффициентом детерминации.Рассчитаем общий коэффициент детерминации по формуле:.Вычислим скорректированный коэффициент детерминации R2ск..;;.Итак, скорректированный коэффициент детерминации немного меньше общего коэффициента детерминации.С помощью F- критерия Фишера оценим адекватность уравнения регрессии с надежностью 0,99..Так как , то , и потому уравнение значимо в целом с надежностью 0,99. Вычислим точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,99 величины накопления домохозяйства с доходом 50 ден. ед. и имуществом 20 ден. ед.Согласно уравнению регрессии точечный прогноз цены равен:ден. ед.Доверительный интервал для прогноза y = y(x) определяется границами,;;;;;Получаем границы интервала:.Итак, с надежностью 0,99 величина накоплений домохозяйства с доходом 50 ден. ед. и имуществом 20 ден. ед. будет находиться в пределах от 19,24 до 24,54 ден. ед.Мультиколлинеарная зависимость присутствует, если коэффициент парной корреляции . В данном примере .Вычислим наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента:.Табличное значение критерия равно: .Так как , мультиколлинеарность отсутствует. Находим корреляционную матрицу ; .Определяем значение «хи-квадрат»:.Находим табличное значение при уровне значимости 0,99 и количестве степеней свободы .Так как , мультиколлинеарность отсутствует.Итак, проверка модели на наличие мультиколлинеарности различными способами дала один и тот же результат – мультиколлинеарность отсутствует.Ситуационная (практическая) задача №2В таблице представлена динамика изменений курса акций промышленной компании в течение 14 месяцев (табл. 5).Таблица 5.Тянварьфевральмартапрельмайиюньиюльуt520518515520517516518Tавгустсентябрьоктябрьноябрьдекабрьянварьфевральyt524520519516514511509Требуется:Проверить гипотезу о наличии тренда во временном ряде.Рассчитать коэффициенты автокорреляции. Проверить наличие сезонных колебаний во временном ряде.Оценить параметры линейной трендовой модели, проверить статистическую значимость соответствующего уравнения регрессии с надежностью 0,9.Дать точечный и интервальный прогноз курса акций компании на предстоящий апрель с надежностью 0,9.Решение.Проверяем гипотезу о наличии тренда по критерию Стьюдента.Рассчитаем данные в таблице 6:Таблица 6.МесяцМесяц15202,295,2285247,8661,7325180,290,0895203,8614,883515-2,717,37105192,868,1645202,295,2211516-0,140,025517-0,710,5112514-2,144,596516-1,712,9413511-5,1426,4575180,290,0814509-7,1451,02Сумма:3624021,43 36130166,9Предварительно вычисляем:, , .Вычисляем величину по формуле:.Подставив значения, получаем:.По таблице находим . Так как , нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве средних первой и второй половины ряда, ряд случаен, и временной тренд не существует.Вычисляем коэффициенты автокорреляции по формуле:,где , , - средние значения, - средние квадратические отклонения рядов и .Составим расчетные таблицы. В последнем столбце каждой таблицы вычислено среднее значение. Также в этих таблицах рассчитаем данные для нахождения дисперсий. Таблица 7.5205182693602,466,061,311,715185152667700,460,21-1,692,86515520267800-2,546,443,3110,945205172688402,466,060,310,09517516266772-0,540,29-0,690,48516518267288-1,542,371,311,715185242714320,460,217,3153,405245202724806,4641,753,3110,945205192698802,466,062,315,335195162678041,462,14-0,690,48516514265224-1,542,37-2,697,25514511262654-3,5412,52-5,6932,40511509260099-6,5442,75-7,6959,176728671734764030,00129,230,00186,77517,54516,69267415,620,009,940,0014,37Коэффициент корреляции равен:. Таблица 8.5205152678001,923,69-1,582,50518520269360-0,080,013,4211,70515517266255-3,089,490,420,185205162683201,923,69-0,580,34517518267806-1,081,171,422,02516524270384-2,084,337,4255,06518520269360-0,080,013,4211,705245192719565,9235,052,425,865205162683201,923,69-0,580,345195142667660,920,85-2,586,66516511263676-2,084,33-5,5831,14514509261626-4,0816,65-7,5857,466217619932116290,0482,920,04184,92518,08516,58267635,750,006,910,0015,41. Таблица 9.5205202704001,552,403,2710,69518517267806-0,450,200,270,07515516265740-3,4511,90-0,730,535205182693601,552,401,271,61517524270908-1,452,107,2752,85516520268320-2,456,003,2710,69518519268842-0,450,202,275,155245162703845,5530,80-0,730,535205142672801,552,40-2,737,455195112652090,550,30-5,7332,83516509262644-2,456,00-7,7359,755703568429468930,0564,73-0,03182,18518,45516,73267899,360,005,880,0016,56. Таблица 10.