Задачи Высшая математика

... ...

...Задача 1. Линеаризовать уравнение характеристики элемента умножения y=x1x2 в точке y0=x01x02.

Задача 2. Написать уравнения состояния и построить электронную модель системы, имеющей матрицы состояния:
А = 0000, 1 -5 0 -1, 0 -2 0 -1, 0 0 1 0
В = 0 1 0 0, 0 0 0 1. С = 1 0, 0 0, 0 1, 0 0

Задача 3. Начертить блок-схему и написать уравнения состояния системы, описываемой дифференциальным уравнением у + ау + by = y , где g - входная величина; y - выходная

Задача 4. построить л.а.х. и л.ф.х. системы, описываемой передаточной функцией W(p)=100/(0.1p+1)(0.01p+1).

Задача 5. Определить передаточную функцию минимально-фазового устройства, л.а.х. которого представлена ниже......
Рис. 1. Логарифмическая амплитудночастотная характеристика устройства

Задача 6. Пользуясь правилами структурных преобразований привести представленную на рис.3.4. структурную схему замкнутой многоконтурной системы к одноконтурной и найти передаточные функции.........

Задача 1. Линеаризовать уравнение характеристики элемента умножения y=x1x2 в точке y0=x01x02.

Задача 2. Написать уравнения состояния и построить электронную модель системы, имеющей матрицы состояния:
А = 0000, 1 -5 0 -1, 0 -2 0 -1, 0 0 1 0
В = 0 1 0 0, 0 0 0 1. С = 1 0, 0 0, 0 1, 0 0

Задача 3. Начертить блок-схему и написать уравнения состояния системы, описываемой дифференциальным уравнением у + ау + by = y , где g - входная величина; y - выходная

Задача 4. построить л.а.х. и л.ф.х. системы, описываемой передаточной функцией W(p)=100/(0.1p+1)(0.01p+1).

Задача 5. Определить передаточную функцию минимально-фазового устройства, л.а.х. которого представлена ниже......
Рис. 1. Логарифмическая амплитудночастотная характеристика устройства

Задача 6. Пользуясь правилами структурных преобразований привести представленную на рис.3.4. структурную схему замкнутой многоконтурной системы к одноконтурной и найти передаточные функции.........

. Откуда число положительных корней m = 2.
Задача 9. Определить порядки астатизма по управляющему g(t) и возмущающему f(t) воздействиям САУ, структурная схема которой приведена на рис.5.11.
Рис.5.11. Структурная схема САУ
Р е ш е н и е. Сначала необходимо привести исходную структурную схеме к одноконтурной, как показано на рис.5.12.
Рис.5.12. Приведенная структурная схема
Из рис. 5.12 видно, что при охвате идеального интегратора отрицательной обратной связью получается апериодическое звено 1-го порядка. Поэтому пользуясь правилом определения порядка астатизма, приведенным выше, можно заключить, и по управляющему, и по возмущающему воздействию астатизм равен 1.
Задача 10. Определить предельное значение коэффициента передачи k нелинейного элемента из условия обеспечения абсолютной устойчивости нелинейной системы, передаточная функция линейной части которой
Р е ш е н и е. Амплитудно-фазовая характеристика линейной части
Тогда видоизмененная частотная характеристика
Изменяя частоту от 0 до построим видоизмененную частотную характеристику (рис.7.4).
Рис. 7.4. Видоизмененная частотная характеристика.
Вся характеристика Wлч*(jω) располагается во втором квадранте, поэтому линию (прямую) Попова предельную (наиболее близко подходящую к началу координат) можно провести через начало координат. В этом случае будет выполнятся условие, что вся видоизмененная а.ф.х. W*(jω) будет находится справа от прямой Попова. И предельный коэффициент нелинейного элемента К= находится из условия (1/К)=0, т.е. нелинейность для обеспечения абсолютной устойчивости может располагаться в угле arctg K=90°.
Задача 11. Определить возможную частоту автоколебаний при введении в САУ, имеющей ЛЧХ вида (рис.1), однозначной нелинейности в виде двухпозиционного реле.
Рис.1. ЛЧХ линейной части
Р е ш е н и е. Известно, что характеристика - 1/Wнэ(jω,А) однозначного нелинейного элемента (двухпозиционного реле) полностью располагается на отрицательной действительной полуоси, поэтому а.ф.х. линейной части Wлч(jω) может ее пересечь только при угле -180°. Частота возможных автоколебаний определяется по Wлч(jω), а л.ф.х. (рис.7.8) показывает, что фазовый угол сдвига -180° происходит на частоте ω = 300 рад/с. Это и есть возможная частота автоколебаний при введении в САУ однозначной нелинейности.
Задача 12. Изобразить фазовые траектории для нелинейной системы с тремя различными нелинейностями - двухпозиционное реле, трехпозиционное реле с зоной нечувствительности (±0,2) и двухпозиционное реле с гистерезисом (±0,1), если линейная часть имеет передаточную функцию . Примем для всех нелинейностей величину сигнала на выходе реле ±2.
Р е ш е н и е. В соответствии с заданием модель нелинейной системы можно представить в виде рис.7.10.
Рис.7.10. Модель нелинейной САУ
Тогда уравнения состояния (7.9) запишутся в виде
Разделив второе из уравнений на первое, получим уравнение фазовой траектории
В зависимости от того, с какой стороны от линии переключения реле находится изображающая точка, решения дифференциального уравнения будут следующие [2]:
справа от линии переключения при x1 > 0
x1 = 4 ln |x2 + 10| - 0,4x2 + c1;
cлева от линии переключения при x1 < 0
x1 = 4 ln |x2 - 10| - 0,4x2 + c2;
для трехпозиционного реле движение изображающей точки в пределах зоны нечувствительности -0,2<x1<+0,2 соответствует уравнению
x1 = - 0,4x2+c3,
где с1, с2 и с3 - постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий.
На рис. 7.11 изображены фазовые траектории нелинейной САУ с различными нелинейными элементами. Припасовывание или сшивание участков фазовых траекторий происходит по линиям переключений.
Задача 13. На рис.7.13 представлены АФХ -1/Wнэ(A) и Wлч(jω). Кроме того в нее вводится звено чистого запаздывания. Определить критическое время чистого запаздывания, при котором в нелинейной системе возникают автоколебания.
Рис.7.13. АФХ нелинейности -1/Wнэ(A) и линейной части Wлч(jω)
Р е ш е н и е. Известно, что звено чистого запаздывания меняет только фазовый сдвиг и не меняет амплитуду сигнала. Ближайшее расстояние АФХ обратной передаточной функции нелинейного элемента от начала координат равно (-1). Модуль АФХ линейной части, равный единице, приобретает свое значение на частоте ωср = ωкр = 6,28. Запас по фазе равен φкр= φзап= -90°=-π/2. Тогда τкр = φкр/ωкр = 0,25 c.
Рис. 7.11. Фазовые траектории релейных систем
Анализируя фазовые траектории, можно сделать следующие выводы:
1. при взятых начальных условиях все системы устойчивы. Причем системы с двухпозиционными реле устойчивы "в большом";
2. у систем с двухпозиционными реле наблюдаются устойчивые колебания. Абсцисса предельного цикла определяет амплитуду колебаний Ао, а частота может быть определена из ординаты предельного цикла Аоωо;