КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО КУРСУ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

Контрольная работа ПИЕФ, 1 курс, 8 вариант.
Задание 1. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех видов. Потребное количество единиц каждого вида сырья на изготовление единицы продукции каждого вида продукции даны в таблицах 1 и 2. Составить экономико-математическую модель задачи [составить систему алгебраических уравнений]. Определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья [полученную систему решить: 1) методом Крамера, 2) матричным методом, 3) методом Гаусса].
Задание 2. Выполнить действия над матрицами:
• А + В (выполнить сложение матриц);
• А ∙ В (выполнить умножение матриц);
• А Т (протранспонировать матрицу);
• А -1 (найти матрицу обратную к матрице А);
• А -1 ∙ А = Е (проверить равенство).

Задание 3. Решить системы линейных алгебраичес ...

5 решений и задача

Все задачи решены очень подробно

x1 + x2 + 3 x3 = 21 3 x2 - x3 = 0 - x2 - 2 x3 = - 13 1 1 3 21 0 3 -1 0 0 -1 -2 -13  Исключим переменную x2 из последнего уравнения.Поменяем местами уравнения   2   и   3   (порядок уравнений в системе не имеет значения). x1 + x2 + 3 x3 = 21 - x2 - 2 x3 = - 13 3 x2 - x3 = 0 1 1 3 21 0 -1 -2 -13 0 3 -1 0 К уравнению 3 прибавим уравнение 2, умноженное на 3.x1 + x2 + 3 x3 = 21 - x2 - 2 x3 = - 13 - 7 x3 = - 39 1 1 3 21 0 -1 -2 -13 0 0 -7 -39 Обратный ход. Рассмотрим уравнение 3 последней получившейся системы. - 7 x3 = - 39 x3 = 39/7  Рассмотрим уравнение 2 последней получившейся системы. - x2 - 2 x3 = - 13 Из данного уравнения найдем значение переменной x2. - x2 = 2 x3 - 13 x2 = - 2 x3 + 13 Подставим, ранее найденное, значение переменной x3.x2 = - 2 * 39/7 + 13 x2 = 13/7  Рассмотрим уравнение 1 последней получившейся системы. x1 + x2 + 3 x3 = 21 Из данного уравнения найдем значение переменной x1. x1 = - x2 - 3 x3 + 21 Подставим, ранее найденные, значения переменных x2 , x3 .x1 = - 13/7 - 3 * 39/7 + 21 x1 = 17/7 Ответ : x1 = 17/7 x2 = 13/7 x3 = 39/7 Окончательно, необходимо выпускать 17/7 ед продукции вида 1, 13/7 ед продукции вида 2, 39/7 ед продукции вида 3. Задание 2. Выполнить действия над матрицами:•А + В (выполнить сложение матриц);•А ∙ В (выполнить умножение матриц);•А Т (протранспонировать матрицу);•А -1 (найти матрицу обратную к матрице А);•А -1 ∙ А = Е (проверить равенство).А= ; В= .Решение.1)А+В=2-1312-5311+1-3-23-142-21=3-4141-15-122)А*В=2-1312-5311*1-3-23-142-21=5-11-5-3518-12-13)АТ=213-1213-514)Найдем матрицу A -1, обратную матрице А.A = 2 -1 3 1 2 -5 3 1 1 Будем обозначать элементы матрицы A маленькими буквами а i j .Первый индекс i - номер строки, где находится элемент матрицы а i j .Второй индекс j - номер столбца, где находится элемент матрицы а i j .A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Обратную матрицу A -1 будем искать в следующем виде: A -1 = 1detA* A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33 гдеA i j - алгебраическое дополнение элемента матрицы a i j , то есть число, вычисляемое по определенным правилам. Как именно, рассмотрим позже.det A - определитель матрицы A.План действий: 1. Находим определитель матрицы А. Если определитель равен нулю, то обратная матрица НЕ существует. 2. Для каждого элемента a i j матрицы А находим алгебраическое дополнение A i j . Всего их 9. 3. Записываем обратную матрицу.  Найдем определитель матрицы А. det A =    2-13 = 12-5311К элементам столбца 3 прибавляем соответствующие элементы столбца 2, умноженные на 3. =    2-10 = 121314Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на 4. =    2-10 = 121-1-70Разлагаем определитель по элементам третьего столбца. =   -  2-1 =-1-7= - ( 2 * ( -7) - ( -1) * ( -1) )= = - ( -14 - 1 )= = 15 Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно, обратная матрица A-1 существует.1.Найдем алгебраическое дополнение A11 элемента a11.Элемент a11 находится на пересечении строки 1 и столбца 1.1 + 1 = 2 - число четное   = >   A11 = M11     M 11 = ? В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.A = 2 -1 3 1 2 -5 3 1 1 Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M11 элемента a11.M11 =    2-5   =   2 * 1 - ( -5) * 1   =   2 - ( -5)   =   711A11 = M11 = 7A11 = 7 A12 = A13 = A21 = A22 = A23 = A31 = A32 = A33 = 2.Найдем алгебраическое дополнение A12 элемента a12.Элемент a12 находится на пересечении строки 1 и столбца 2.1 + 2 = 3 - число нечетное   = >   A12 = - M12     M 12 = ? В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.A = 2 -1 3 1 2 -5 3 1 1 Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M12 элемента a12.M12 =    1-5   =   1 * 1 - ( -5) * 3   =   1 - ( -15)   =   1631A12 = - M12 = -16A11 = 7 A12 = -16 A13 = A21 = A22 = A23 = A31 = A32 = A33 = 3.Найдем алгебраическое дополнение A13 элемента a13.Элемент a13 находится на пересечении строки 1 и столбца 3.1 + 3 = 4 - число четное   = >   A13 = M13     M 13 = ? В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 3.A = 2 -1 3 1 2 -5 3 1 1 Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M13 элемента a13.M13 =    12   =   1 * 1 - 2 * 3   =   1 - 6   =   -531A13 = M13 = -5A11 = 7 A12 = -16 A13 = -5 A21 = A22 = A23 = A31 = A32 = A33 = 4.Найдем алгебраическое дополнение A21 элемента a21.Элемент a21 находится на пересечении строки 2 и столбца 1.2 + 1 = 3 - число нечетное   = >   A21 = - M21     M 21 = ? В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1.A = 2 -1 3 1 2 -5 3 1 1 Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M21 элемента a21.M21 =    -13   =   ( -1) * 1 - 3 * 1   =   -1 - 3   =   -411A21 = - M21 = 4A11 = 7 A12 = -16 A13 = -5 A21 = 4 A22 = A23 = A31 = A32 = A33 = 5.Найдем алгебраическое дополнение A22 элемента a22.Элемент a22 находится на пересечении строки 2 и столбца 2.2 + 2 = 4 - число четное   = >   A22 = M22     M 22 = ? В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2.A = 2 -1 3 1 2 -5 3 1 1 Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M22 элемента a22.M22 =    23   =   2 * 1 - 3 * 3   =   2 - 9   =   -731A22 = M22 = -7A11 = 7 A12 = -16 A13 = -5 A21 = 4 A22 = -7 A23 = A31 = A32 = A33 = 6.Найдем алгебраическое дополнение A23 элемента a23.Элемент a23 находится на пересечении строки 2 и столбца 3.2 + 3 = 5 - число нечетное   = >   A23 = - M23     M 23 = ? В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 3.A = 2 -1 3 1 2 -5 3 1 1 Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M23 элемента a23.M23 =    2-1   =   2 * 1 - ( -1) * 3   =   2 - ( -3)   =   531A23 = - M23 = -5A11 = 7 A12 = -16 A13 = -5 A21 = 4 A22 = -7 A23 = -5 A31 = A32 = A33 = 7.Найдем алгебраическое дополнение A31 элемента a31.Элемент a31 находится на пересечении строки 3 и столбца 1.3 + 1 = 4 - число четное   = >   A31 = M31     M 31 = ? В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 1.A = 2 -1 3 1 2 -5 3 1 1 Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M31 элемента a31.M31 =    -13   =   ( -1) * ( -5) - 3 * 2   =   5 - 6   =   -12-5A31 = M31 = -1A11 = 7 A12 = -16 A13 = -5 A21 = 4 A22 = -7 A23 = -5 A31 = -1 A32 = A33 = 8.Найдем алгебраическое дополнение A32 элемента a32.Элемент a32 находится на пересечении строки 3 и столбца 2.3 + 2 = 5 - число нечетное   = >   A32 = - M32     M 32 = ? В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 2.A = 2 -1 3 1 2 -5 3 1 1 Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M32 элемента a32.M32 =    23   =   2 * ( -5) - 3 * 1   =   -10 - 3   =   -131-5A32 = - M32 = 13A11 = 7 A12 = -16 A13 = -5 A21 = 4 A22 = -7 A23 = -5 A31 = -1 A32 = 13 A33 = 9.Найдем алгебраическое дополнение A33 элемента a33.Элемент a33 находится на пересечении строки 3 и столбца 3.3 + 3 = 6 - число четное   = >   A33 = M33     M 33 = ? В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 3.A = 2 -1 3 1 2 -5 3 1 1 Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M33 элемента a33.M33 =    2-1   =   2 * 2 - ( -1) * 1   =   4 - ( -1)   =   512A33 = M33 = 5A11 = 7 A12 = -16 A13 = -5 A21 = 4 A22 = -7 A23 = -5 A31 = -1 A32 = 13 A33 = 5  Теперь можем записать обратную матрицу. A -1 = 1detA* A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33 A -1 = 1 15 * 7 4 -1 -16 -7 13 -5 -5 5 Ответ:A -1 = 7 15 4 15 - 1 15 - 16 15 - 7 15 13 15 - 1 3 - 1 3 1 3 5)Выполним проверкуA -1 * A = 1 15 * 7 4 -1 -16 -7 13 -5 -5 5 * 2 -1 3 1 2 -5 3 1 1 =1 15 * 15 0 0 0 15 0 0 0 15 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = E = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = E Задание 3. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера, методом обратной матрицы. Решение.Решим систему методом Крамера2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 33 7 x1 -5 x2   = 24 4 x1   + 11 x3 = 39 Решние. Найдем det AОпределитель det A состоит из коэффициентов системы.det A =    234 = 7-504011Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 2. =    234 = 7-500-63К элементам столбца 2 прибавляем соответствующие элементы столбца 3, умноженные на 2. =    2114 = 7-50003Разлагаем определитель по элементам третьей строки. =   3 *  211 =7-5= 3 * ( 2 * ( -5) - 11 * 7 )= = 3 * ( -10 - 77 )= = -261  Найдем det A1Определитель det A1 получается из определителя det A , путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.det A1 =    3334 = 24-5039011Из элементов столбца 3 вычитаем соответствующие элементы столбца 2.=    3331 = 24-5539011Из элементов столбца 1 вычитаем соответствующие элементы столбца 2, умноженные на 11. =    031 = 79-5539011Из элементов столбца 2 вычитаем соответствующие элементы столбца 3, умноженные на 3. =    001 = 79-20539-3311Разлагаем определитель по элементам первой строки. =    79-20 =39-33= 79 * ( -33) - ( -20) * 39 = = -2607 + 780 = = -1827  Найдем det A2Определитель det A2 получается из определителя det A , путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.det A2 =    2334 = 724043911Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 2. =    2334 = 72400-273К элементам столбца 2 прибавляем соответствующие элементы столбца 3, умноженные на 9. =    2694 = 7240003Разлагаем определитель по элементам третьей строки. =   3 *  269 =724= 3 * ( 2 * 24 - 69 * 7 )= = 3 * ( 48 - 483 )= = -1305  Найдем det A3Определитель det A3 получается из определителя det A , путем замены третьего столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.det A3 =    2333 = 7-5244039Из элементов столбца 1 вычитаем соответствующие элементы столбца 2. =    -1333 = 12-5244039Из элементов столбца 3 вычитаем соответствующие элементы столбца 2, умноженные на 11. =    -130 = 12-5794039К элементам столбца 2 прибавляем соответствующие элементы столбца 1, умноженные на 3. =    -100 = 12317941239Разлагаем определитель по элементам первой строки =   -  3179 =1239= - ( 31 * 39 - 79 * 12 )= = - ( 1209 - 948 )= = -261 Ответ: (7,5,1)Решим систему уравнений методом обратной матрицы.2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 33 7 x1 -5 x2   = 24 4 x1   + 11 x3 = 39 Решение:Введем обозначения. A= 2 3 4 7 - 5 0 4 0 11 - матрица А состоит из коэффициентов системы.X= x1 x2 x3 - матрица X состоит из переменных, которые нам необходимо найти.B= 33 24 39 - матрица B состоит из столбца свободных членов.Теперь исходное уравнение можно записать следующим образом. A * X= BНам необходимо найти матрицу X. Очевидно, матрица A нам мешает. Исправим данное неудобство. Умножим (слева) левую и правую часть нашего уравнения на A-1 - матрицу обратную матрице A. Матрицу A-1 мы не знаем, но можем найти. A-1 * A * X = A-1 * B Согласно определению обратной матрицы. A-1 * A = E E * X= A-1 * B Согласно определению единичной матрицы. E * X = X X= A-1 * B Теперь мы сможем найти матрицу X. Матрицу В мы знаем, найдем матрицу A-1 айдем матрицу A -1, обратную матрице А.A = 2 3 4 7 -5 0 4 0 11 Будем обозначать элементы матрицы A маленькими буквами а i j .Первый индекс i - номер строки, где находится элемент матрицы а i j .Второй индекс j - номер столбца, где находится элемент матрицы а i j .A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Обратную матрицу A -1 будем искать в следующем виде: A -1 = 1detA* A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33 гдеA i j - алгебраическое дополнение элемента матрицы a i j , то есть число, вычисляемое по определенным правилам. Как именно, рассмотрим позже.det A - определитель матрицы A. Найдем определитель матрицы А. det A =    234 = 7-504011Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 2. =    234 = 7-500-63К элементам столбца 2 прибавляем соответствующие элементы столбца 3, умноженные на 2. =    2114 = 7-50003Разлагаем определитель по элементам третьей строки. =   3 *  211 =7-5= 3 * ( 2 * ( -5) - 11 * 7 )= = 3 * ( -10 - 77 )= = -261 Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно, обратная матрица A-1 существует.1.Найдем алгебраическое дополнение A11 элемента a11.Элемент a11 находится на пересечении строки 1 и столбца 1.1 + 1 = 2 - число четное   = >   A11 = M11     M 11 = ? В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.A = 2 3 4 7 -5 0 4 0 11 Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M11 элемента a11.M11 =    -50   =   ( -5) * 11 - 0 * 0   =   -55 - 0   =   -55011A11 = M11 = -55A11 = -55 A12 = A13 = A21 = A22 = A23 = A31 = A32 = A33 = 2.Найдем алгебраическое дополнение A12 элемента a12.Элемент a12 находится на пересечении строки 1 и столбца 2.1 + 2 = 3 - число нечетное   = >   A12 = - M12     M 12 = ? В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.A = 2 3 4 7 -5 0 4 0 11 Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M12 элемента a12.M12 =    70   =   7 * 11 - 0 * 4   =   77 - 0   =   77411A12 = - M12 = -77A11 = -55 A12 = -77 A13 = A21 = A22 = A23 = A31 = A32 = A33 = 3.Найдем алгебраическое дополнение A13 элемента a13.Элемент a13 находится на пересечении строки 1 и столбца 3.1 + 3 = 4 - число четное   = >   A13 = M13     M 13 = ? В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 3.A = 2 3 4 7 -5 0 4 0 11 Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M13 элемента a13.M13 =    7-5   =   7 * 0 - ( -5) * 4   =   0 - ( -20)   =   2040A13 = M13 = 20A11 = -55 A12 = -77 A13 = 20 A21 = A22 = A23 = A31 = A32 = A33 = 4.Найдем алгебраическое дополнение A21 элемента a21.Элемент a21 находится на пересечении строки 2 и столбца 1.2 + 1 = 3 - число нечетное   = >   A21 = - M21     M 21 = ? В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1.A = 2 3 4 7 -5 0 4 0 11 Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M21 элемента a21.M21 =    34   =   3 * 11 - 4 * 0   =   33 - 0   =   33011A21 = - M21 = -33A11 = -55 A12 = -77 A13 = 20 A21 = -33 A22 = A23 = A31 = A32 = A33 = 5.Найдем алгебраическое дополнение A22 элемента a22.Элемент a22 находится на пересечении строки 2 и столбца 2.