решение задач по эконометрике

подробные расчеты, формулы, таблицы и графики ...

задача 1 включает: 1). Рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции; оценить статистическую значимость коэффициентов корреляции.2). Построим поле корреляции результативного признака (стоимости квартиры) и наиболее тесно связанного с ним фактора.3). Рассчитать параметры линейных парных регрессии для всех факторов Х.
4). Оценить качество каждой модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера. Выбрать лучшую модель.
5) С использованием лучшей модели осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости a=0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения. Представить графически фактические и модельные значения Y, результаты прогнозирования.
6). Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), построить модель формирования цены квартиры за счёт значимых факторов. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.
7). Оцените качество построенной модели. Улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дать оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности , β- b -коэффициентов.
Задача 2 включает: 1). Проверить наличие аномальных наблюдений.2). Построить линейную модель временного ряда =a+b*t, параметры которой оценить МНК.3). Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения.4). Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5). Осуществить прогноз спроса на следующие две недели (прогнозный интервал рассчитать при доверительной вероятности 70%).6) Представим графически фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования

ЗАДАЧА №1. ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОИМОСТИ квартир в московской области
ЗАДАЧА № 2. ИССЛЕДОВАТЬ ДИНАМИКУ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ПОКАЗАТЕЛЯ НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА ОДНОМЕРНОГО ВРЕМЕННОГО РЯДА.

t - статистики для коэффициентов корреляции
t (r (Y,X1))=
0,069411
 
t (r (Y,X2))=
7,012446
 
t (r (Y,X3))=
12,18101
 
t kp =
2,024394
 
 
 
Сопоставим фактические значения t с критическим tкр. и сделаем выводы:
t(r(Y,X1))=0,069 > tкр.=2,024. На уровне значимости 5% выборочные данные позволяют сделать вывод об отсутствии линейной корреляционной связи между признаками Y и Х1, зависимость цены квартиры Y от города области Х1 не является достоверной.
t(r(Y,X2))=7,012 > tкр.=2,024, следовательно коэффициент (r(Y,X2)) значимо отличается от нуля. На уровне значимости 5% выборочные данные позволяют сделать вывод о наличии линейной корреляционной связи между признаками Y и Х2, зависимость цены квартиры Y от числа комнат в квартире Х2 является достоверной.
t(r(Y,X3))=12,181 > tкр.=2,024, следовательно коэффициент (r(Y,X3)) значимо отличается от нуля. На уровне значимости 5% выборочные данные позволяют сделать вывод о наличии линейной корреляционной связи между признаками Y и Х3, зависимость цены квартиры Y от общей площади квартиры является достоверной.
2). Построим поле корреляции результативного признака (стоимости квартиры) и наиболее тесно связанного с ним фактора.
В нашем случае наиболее тесно связанный фактор – Х3. Для этого воспользуемся инструментом построения точечной диаграммы программы Excel. В результате получаем поле корреляции цены квартиры (тыс. долл.) и общей площади квартиры (кв.м.).
Поле корреляции
3). Рассчитать параметры линейных парных регрессии для всех факторов Х.
Для расчета параметров линейной парной регрессии воспользуемся инструментом Регрессия, входящим в надстройку Анализ данных.
В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y вводим адрес диапазона ячеек, которые представляют зависимую переменную, т.е. стоимость квартир. В поле Входной интервал Х вводим адрес диапазона, который содержит значения независимых переменных (город области, общая площадь квартиры, число комнат в квартире). Выполним поочередно вычисления параметров парной регрессии для каждого фактора Х.
Для Х1 получим следующие данные:
 
Коэффициенты
Y-пересечение
101,8136
Х1
-1,2803
Уравнение регрессии зависимости цены квартиры от города области имеет вид: Y = 101,81-1,28*Х1 Коэффициент регрессии b1= -1,28, следовательно при изменении одного города области на другой (Х1) цена квартиры (Y) уменьшится в среднем на 1,28 тыс. дол. Свободный коэффициент a= 101,81 не имеет реального смысла.
Для Х2:
 
Коэффициенты
Y-пересечение
7,539299
Х2
36,03777
Уравнение регрессии зависимости цены квартиры от числа комнат в квартире имеет вид: Y =7,54+36,04*Х2 Коэффициент регрессии b2=36,04, следовательно при увеличении числа комнат в квартире (Х2) цена квартиры (Y) увеличится в среднем на 36,04 тыс. дол. Свободный коэффициент a= 7,54 не имеет реального смысла.
Для Х3:
 
Коэффициенты
Y-пересечение
-14,8883
ХЗ
1,592401
Уравнение регрессии зависимости цены квартиры от жилой площади квартиры имеет вид: Y= -14,89+1,59*X3 Коэффициент регрессии b3= 1,59, значит при увеличении общей площади квартиры на 1 кв.м.(Х3) цена квартиры (Y) увеличится в среднем на 1,59 тыс. дол. Свободный коэффициент а= -14,89 не имеет реального смысла.
4). Оценить качество каждой модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера. Выбрать лучшую модель.
а) Коэффициент детерминации R-квадрат определен для каждой модели в таблице «Регрессионная статистика». (смотреть таблицу 1далее)
б) Для вычисления средней ошибки аппроксимации рассмотрим остатки, содержащиеся в столбце Остатки итогов программы Регрессия таблица «вывод остатков». Рассчитаем относительные погрешности по формуле Еотнi= /Еi/yi/*100 при помощи функции ABS. Далее по столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение Еотн. при помощи функции СРЗНАЧ. (смотр. Таблицу 1).
в) Для проверки значимости полученных моделей при помощи F-критерия Фишера необходимо сравнить F-статистики (смотреть таблицу 1), определенные программой Регрессия в таблице «Дисперсионный анализ» с Fкр. Критическим. Значение Fкр. найдем при помощи функции FРАСПОБР для уровня значимости 5% и числа степеней свободы k1=1 и k2=38. Таким образом, Fкр.= 4,098172
Занесем все данные в единую Таблицу 1:
 
Е ср, отн,
R-квадрат
F
модель1
54,13159
0,000127
0,004818
модель2
23,45743
0,564092
49,1744
модель3
20,5389
0,796112
148,377
а) Коэффициент детерминации определяет, какая доля вариации признака Y учтена в модели и обусловлена влиянием не него фактора Х. Чем больше значение коэффициента детерминации, тем теснее связь между признаками в построенной математической модели. Таким образом, вариация цены квартиры (Y) на 0,012% объясняется по уравнению 1 изменением города области (Х1); на 56,41% по уравнению 2 вариацией числа комнат в квартире (Х2) и на 79,61% по уравнению 3 изменением общей площади квартиры (Х3).
б) При проведении экономических расчетов модель считается достаточно точной, если средняя ошибка аппроксимации меньше 5%, модель считается приемлемой, если средняя ошибка аппроксимации меньше 15%.
Еср.отн.1= 54,13%, что не принадлежит интервалу (5%;15%) – точность модели неудовлетворительная.
Еср.отн.2=23,46%, что также не принадлежит интервалу (5%;15%) – точность модели неудовлетворительная.
Еср.отн.3=20,54%, что не принадлежит интервалу (5%;15%) – точность модели неудовлетворительная.
в) Сравним критическое значение Fкр. и F табличного.
Fx3= 148,38 > Fтабл.= 4,098- следовательно, уравнение 3 является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х3.
Fx2= 49,17 >Fтабл.= 4,098- следовательно, уравнение 2 является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х2.
Fx1= 0,005 < Fтабл.= 4,098 уравнение 1 не является значимым, его использование не целесообразно, зависимая переменная Y не достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х1.
Таким образом, проанализировав данные по всем трем критериям, можно сделать вывод, что наиболее лучшей является математическая модель, построена для фактора общая площадь квартиры, которая описана линейным уравнением Y= -14,89+1,59*X3
5) С использованием лучшей модели осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости a=0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения. Представить графически фактические и модельные значения Y, результаты прогнозирования.
Рассчитаем прогнозное значение Х. Найдем Хmax в Excel с помощью функции МАКС. = 155 кв.м ; Х*=0,8 *155 = 124 кв.м.
По уравнению модели найдем прогнозное значение
Y*= -14,8883+1,592401*124 = 182,5694 тыс. дол.
Таким образом, если общая площадь квартиры составит 80% от её максимального значения и составит 155 кв.м., то ожидаемая цена квартиры будет около 182,5694 тыс. дол.
Зададим доверительную вероятность p=1-а и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y, предварительно рассчитав стандартную ошибку прогнозирования по формуле ;
Стандартная ошибка модели Se= 26,207 (таблица «регрессионная статистика» итогов РЕГРЕССИИ); при помощи функции СРЗНАЧ по столбцу исходных данных Х найдем среднее значение х =72,925;
Σ (хi- хср.)^2=40189,26 (функция КВАДРОТКЛ); tкр.= 1,685954 (функция СТЬЮДРАСПОБР).
Отсюда S(y*T) = 7,85826
Размах доверительного интервала для среднего значения: U (y*T)=tкр*S (y*T)= 1,686*7,858= 13,249
Границы прогнозного интервала:
Uнижн =y*T-U(y*T)=182,5964 -13,249 =169,3204
Uверх = y*T+U(y*T)=182,5964+13,249=195,8184
Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если общая площадь квартиры составит 80% от среднего значения и составит 124 кв.м., то ожидаемая средняя цена квартиры будет находиться в пределах от 169,32041 тыс. дол. до 195,8184 тыс.дол.
Фактические и модельные значения, точки прогноза представлены графически на диаграмме:
6). Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), построить модель формирования цены квартиры за счёт значимых факторов. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.
1. Построим множественную модель регрессии, включив в нее все факторы (Х1, Х2, Х3):
Регрессионная статистика
 
Множественный R
0,894001
 
R-квадрат
0,799238
 
Нормированный R-квадрат
0,782508
 
Стандартная ошибка
26,71836
 
Наблюдения
40
 
Дисперсионный анализ
 
 
 
 
df
SS
MS
F
Значимость F
Регрессия
3
102309,6
34103,21
47,77224
1,23E-12
Остаток
36
25699,35
713,8709
 
Итого
39
128009
 
 
 
 
Коэффициенты
Стандартная ошибка
t-статистика
Y-пересечение
-18,0924
11,68043
-1,54895
Х1
3,23487
8,500174
0,380565
Х2
3,932395
6,112044
0,643385
ХЗ
1,476174
0,227431
6,490653
Таким образом, построена трехфакторная модель зависимости цены квартиры от города области (Х1), числа комнат в квартире (Х2) и жилой площади (Х3). Уравнение модели имеет вид Уt=18,092+3,235*Х1+3,932*Х2+1,476*Х3
2. При помощи программы Регрессия вычислим новую математическую модель, включив в нее факторы Х1 и Х3:
Регрессионная статистика
 
Множественный R
0,892709
 
R-квадрат
0,796929
 
Нормированный R-квадрат
0,785953
 
Стандартная ошибка
26,50592
 
Наблюдения
40
 
Дисперсионный анализ
 
 
 
 
df
SS
MS
F
Значимость F
Регрессия
2
102014,1
51007,07
72,60135
1,55E-13
Остаток
37
25994,86
702,5637
 
Итого
39
128009
 
 
 
 
Коэффициенты
Стандартная ошибка
t-статистика
Y-пересечение
-16,5189
11,3307
-1,45789
Х1
3,254065
8,432535
0,385894
ХЗ
1,59468
0,132349
12,04905
Таким образом, модель зависимости цены квартиры от города области и общей площади построена и ее уравнение имеет вид –
Yt= 16,519+3,254*Х1+1,594*Х3
3. При помощи программы Регрессия вычислим новую математическую модель, включив в нее факторы Х2 и Х3:
Регрессионная статистика
 
Множественный R
0,893549
 
R-квадрат
0,79843
 
Нормированный R-квадрат
0,787535
 
Стандартная ошибка
26,40779
 
Наблюдения
40
 
Дисперсионный анализ
 
 
 
 
df
SS
MS
F
Значимость F
Регрессия