Определение характеристик вала по спектру частот его крутильных колебаний

Прямая задача по определению собственных частот, исследованию влияния характеристик вала с дисками на частоты его крутильных колебаний и обратная задача по диагностированию характеристик вала по спектру частот актуальны в связи с необходимостью решений задач акустической диагностики составляющих технических конструкций. ...

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3
1 Определение собственных частот крутильных колебаний вала с дисками 9
1.1 Энергетический метод решения прямой спектральной задачи 9
1.2 Определение собственных частот колебаний методом Толле 14
1.3 Матричная форма таблиц Толле  метод начальных параметров 20
1.4 Применение метода Толле и программная реализация решения прямой задачи 24
1.5 Соответствие между методами определения собственных частот 31
2 Исследование влияния характеристик вала с дисками на собственные частоты 35
2.1 Зависимость собственных частот колебаний вала от моментов инерции масс дисков 35
2.2 Зависимость собственных частот колебаний вала с дисками от жесткостей участковвала 38
3 Диагностирование характеристик вала с дисками по частотам колебаний 41
3.1 Постановка обратной спектральной задачи 41
3.2 Диагностирование коэффициентов жесткостей участков вала между дисками 41
3.3 Диагностирование моментов инерции масс дисков 53
3.4 Применение метода решения обратной задачи и программная реализация 56
3.5 Исследование проблемы сохранения собственных частот 61
Заключение 66
Список использованных источников и литературы 68

Прямая задача по определению собственных частот, исследованию влияния характеристик вала с дисками на частоты его крутильных колебаний и обратная задача по диагностированию характеристик вала по спектру частот актуальны в связи с необходимостью решений задач акустической диагностики составляющих технических конструкций.
С увеличением размеров и скоростей современных машин в инженерных расчетах становится все более и более важным решение задач, связанных с колебаниями. Лишь при помощи теории колебаний можно установить наиболее удачные пропорции конструкций, отодвигающие эксплуатационные условия работы машин возможно дальше от условий возникновения больших колебаний.

Пересчитав данные примера, будем иметь:
Расчет с неопределенным значением проводим, как показано в таблице 1 п.1.2, располагая матрицы-множители и результаты отдельных умножений так же, как и в таблице 2 п.1.3.
Таблица 5  Матричная форма Толле к примеру 2
Приравняв нулю, в соответствии с условиями на левом конце, второй элемент последней матрицы-столбца, получим частотное уравнение системы
Корни этого уравнения: где соответствует общему вращению вала.
Снова покажем тождественность схемы Толле с матричной схемой (таблица 5). Для той же системы составлено частотное уравнение по методу Толле (таблица 6), исходя из тех же безразмерных величин, что и в предыдущем примере.
Таблица 6  Метод Толле для примера 2
1
2
3 4
5
6
1
1
1-2
2
2-3
3
3-4
4
4-5
Получаем то же самое частотное уравнение.
Приведем программные реализации рассмотренных выше примеров определения собственных частот крутильных колебаний вала с дисками по методу Толле. Программы составлены с использованием команд математического пакета Maple.
Программная реализация решения примера 1
Задаем моменты инерции и коэффициенты жесткости
>
Определяем податливости участков
>
>
Составляем рекуррентные формулы для амплитудных угловых отклонений вала
>
>
>
Получаем частотное уравнение для вала с тремя дисками
>
Находим корни биквадратного частотного уравнения
>
Таким образом, частоты колебаний:
Программная реализация решения примера 2
Задаем моменты инерции и коэффициенты жесткости
>
>
Определяем податливости участков
>
Составляем рекуррентные формулы для амплитудных угловых отклонений вала
>
>
>
>
>
Получаем частотное уравнение для вала с пятью дисками
>
Находим корни биквадратного частотного уравнения
>
Таким образом, частоты колебаний:
1.5 Соответствие между методами определения собственных частот
Покажем соответствие между численным методом Толле для определения собственных частот колебаний вала с дисками и энергетическим методом получения частотных уравнений из системы (1.9).
Было показано, что из системы (1.9) с помощью преобразований можно получить, например, частотные уравнения для вала с тремя дисками вида:
(1.16)
Здесь - моменты инерции масс дисков - жесткости участков вала на кручении.
Для такого вала с тремя дисками по методу Толле получено частотное уравнение вида:
(1.17)
где - моменты инерции масс дисков, - углы поворотов, определяемые по формулам:
(1.18)
Здесь - податливости участков вала между дисками (углы закручивания участков).
Продемонстрируем соответствие между двумя методами получения частотных уравнений на конкретных примерах.
Пример 3
Определить собственные частоты системы, состоящей из трех дисков с моментами инерции масс: , укрепленных на стальном валу с жестокостями и .
Рассмотрим решение по энергетическому методу, приведенному в пункте 1.1. Подставляя заданные моменты инерции и жесткости в частотное уравнение (1.16) получим:
Корни последнего уравнения, найденные с помощью ЭВМ имеют вид:
(1.19)
Приведем соответствующую программную реализацию:
Задаем моменты и инерции и коэффициенты жесткости
>
Составляем частотное уравнение
>
Определяем корни уравнения
>
Рассмотрим теперь решение примера 3 по методу Толле.
Подставляя заданные моменты инерции и жесткости в уравнения (1.18), получим:Найденные значения подставим в частотное уравнение (1.17), получим:
Корни данного уравнения, найденные с помощью ЭВМ, имеют вид:
(1.20)
Приведем программную реализацию последнего решения:
Задаем моменты и инерции и коэффициенты жесткости:
>
Находим податливости участков вала между дисками
>
>
Составляем рекуррентные формулы для амплитудных угловых отклонений вал
>
>
>
Получаем частотное уравнение для вала с тремя дисками
>
Находим корни последнего уравнения
>
Видим, что частоты колебаний вала с тремя дисками, полученные обоими методами, а именно (1.19), (1.20) одинаковы.
Таким образом, численный метод Толле дает такой же результат, что и энергетический метод решения спектральной задачи по крутильным колебаниям вала с дисками.
2 ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ВАЛА С ДИСКАМИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ
2.1 Зависимость собственных частот колебаний вала от моментов инерции масс дисков
Исследуем влияние характеристик вала c дисками на спектр частот колебаний вала.
Рассмотрим вначале зависимость собственных частот колебаний вала от моментов инерции масс дисков.
Пусть известны моменты инерции масс трех дисков: и жесткости участков вала на кручении: и
По заданным трем инерциям и двум жесткостям при условии, что вторая и третья инерции фиксированы, вычислим соответствующие собственные частоты крутильных колебаний диска. Результаты вычислений приведены в таблице 7.
Таблица 7  Зависимость собственных частот колебаний вала от момента инерции массы первого диска
,
,
,
, с-1
, с-1
0,2
0,3
0,1
0,8481
1,6676
0,3
0,3
0,1
0,7491
1,6650
0,4
0,3
0,1
0,6940
1,6638
0,5
0,3
0,1
0,6586
1,6632
0,6
0,3
0,1
0,6340
1,6628
Из данной таблицы следует, что при увеличении момента инерции массы первого диска, собственные частоты уменьшаются.
Данная зависимость представлена графически. На рисунке 5 показана зависимость первой собственной частоты от увеличивающейся инерции массы первого диска (при фиксированных моментах инерции и масс второго и третьего дисков).
Рисунок 5  Зависимость первой частоты от момента инерции
(при фиксированных моментах инерции и )
На рисунке 6 показана такая же зависимость, только частоты
Рисунок 6  Зависимость второй частоты от момента инерции
(при фиксированных моментах инерции и )
Рассмотрим зависимость собственных частот колебаний от одновременно увеличивающихся моментов инерции. Значения собственных частот найдены также по частотному уравнению для рассматриваемой выше задачи и представлены в таблице 8.
Таблица 8 - Зависимость собственных частот колебаний вала от одновременно увеличивающихся моментах инерции масс дисков
I1=I2=I3, Н·м·с2
p1,с-1
p2,с-1
0,2
0,7962252170
1,538189001
0,3
0,6501151674
1,255926060
0,4
0,5630162503
1,087663874
0,5
0,5035770432
0,9728361432
0,6
0,4597008434
0,8880738339
Если одновременно увеличивать все три момента инерции, то собственные частоты колебаний вала также уменьшаются. Данную зависимость можно проследить на рисунке 7.
Рисунок 7  Зависимость частоты при одновременно увеличивающихся моментах инерции масс дисков
Таким образом, проведенное исследование по решению прямой задачи по методу Толле показывает, что увеличение моментов инерции масс дисков ведет к уменьшению значений собственных частот крутильных колебаний вала.
2.2 Зависимость собственных частот колебаний вала с дисками от жесткостей участков вала
Исследуем теперь зависимость частот колебаний вала от жесткостей участков вала на кручении. Зависимость также рассмотрим на примере вала с тремя дисками.
Известны снова моменты инерции масс дисков и жесткости участков вала на кручении. Пусть ,
Будем менять значение жесткостей участков вала, и вычислять соответствующие собственные частоты крутильных колебаний вала.
В таблице 9 представлены значения собственных частот, соответствующие увеличивающимся значениям жесткости вала на кручении (при фиксированном значении жесткости ).
Таблица 9  Зависимость собственных частот от жесткости участка вала на кручение
,кН·м
, кН·м
,c-1
,c-1
0,1
0,2
0,8481
1,6676
0,2
0,2
1,1547
1,7321
0,3
0,2
1,3276
1,8450
0,4
0,2
1,4142
2,0
0,5
0,2
1,4570
2,1703
Из данной таблицы видно, что при увеличении жесткости одного из участков вала на кручении ведет к увеличению собственных частот колебаний вала.
На рисунке 8 показан график зависимости частоты от коэффициента жесткости участка вала на кручение.
Рисунок 8  Зависимость частоты от жесткости участка
вала на кручении
Рассмотрим теперь влияние на собственные частоты одновременно увеличивающихся жесткостей участков вала на кручении. Значения собственных частот найдены по частотному уравнению для рассматриваемой выше задачи и представлены в таблице 10.
Таблица 10  Зависимость собственных частот колебаний вала от одновременно увеличивающихся жесткостей участков вала на кручении
=,кН·м
,c-1
,c-1
0,1
0,8165
1,2247
0,2
1,1547
1,7321
0,3
1,4142
2,1213
0,4
1,6330
2,4495
0,5
1,8257
2,7386
Если одновременно увеличивать жесткости участков вала на кручении, то это ведет к увеличению собственных частот колебаний вала. Данную зависимость можно проследить на рисунке 9.