Задачи по теории вероятности ВятГУ

задачи 5 шт

В книжной лотерее разыгрывается n = 7 книги. Всего в урне имеется N = 50 билетов. Первый подошедший к урне вынимает билет. Определить вероятность того, что билет окажется выигрышным.
Количество всех возможных вариантов вынуть билет N = 50,
Количество всех возможных вариантов вынуть выигрышный билет n = 7
Вероятность того, что первый вынутый билет окажется выигрышным:

В круг радиуса r = 10 брошена точка так, что ее любое расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри находящегося в круге квадрата со стороной а = 6.
Вероятность попадания в квадрат, вписанный в круг вычисляется по формуле: Р =

Задание 3

Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятность того, что при возгорании датчик сработает, ...

В круг радиуса r = 10 брошена точка так, что ее любое расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри находящегося в круге квадрата со стороной а = 6.
Вероятность попадания в квадрат, вписанный в круг вычисляется по формуле: Р =

Задание 1
В книжной лотерее разыгрывается n = 7 книги. Всего в урне имеется N = 50 билетов. Первый подошедший к урне вынимает билет. Определить вероятность того, что билет окажется выигрышным.
Количество всех возможных вариантов вынуть билет N = 50,
Количество всех возможных вариантов вынуть выигрышный билет n = 7
Вероятность того, что первый вынутый билет окажется выигрышным:

Задание 7
В жилом доме имеется n = 6400 ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет заключено между m1 и m2.
Решение:
n = 6400, m1 = 3160; m2 = 3240.
По интегральной формуле Муавра-Лапласа: Р(m1  x  m2) = Ф(х2) – Ф(х1), где
х1 = = = - = - 1; х2 = = ;
Р(m1  x  m2) = Р(3160  x  3240) = Ф(1-) - Ф(1) = 0,3413+0,3413=0,6826
Ответ: 0,6826
Задание 8
Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час N = 180 вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: ровно два вызова; более двух.
Решение:
11 = N = 180, t1 = 60 мин; t2 = 1 мин. а2 = = = 3.
По формуле Пуассона: Р180(2) = (табл.1) = 0,224042;
Р180(m 3) = = 0,02964
Р180(m > 2) = 1 – Р(m 2) =1 – 0,02964 = 0,97036.
Ответ:0,97036
Задание 9
Случайная величина Х задана рядом распределения:
хi
-1
1
pi
0.45
0.1
0.45
Решение:
1-2*0,45=0,1
P{Х < 0} = P{Х = -1} = 0,45, P{X > -1}= P{Х = 0} + P{Х = 1} = 0,1 + 0,45 = 0,55.
Р{-1 <X < 1} = 0,1.
МХ = -10,45 + 00,1 + 10,45 = 0.
DX = (-1)20,45 + 020,1 + 120,45 – МХ2 = 0,9
Задание10
Построить таблицу распределения и найти МУ, DУ для случайной величины У=2Х+3.
уi
1
3
5
pi
0.45
0.1
0.45
Решение:
МУ = 2МХ + 3 = 20 + 3 = 3
DУ = D(2Y + 3) = 4DY = 40.9 = 3,6
Задание11
Ошибка взвешенная –случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 0, и среднеквадратичным отклонением, равным n грамм. Найти вероятность того, что взвешивание проведено с ошибкой, не превышающей по модулю N грамм.
Решение:
n=3г N=6г
Нормальный закон распределения встречается в природе весьма часто, поэтому для него разработаны отдельные эффективные методы моделирования. Формула распределения вероятности значений случайной величины x по нормальному закону имеет вид:
Как видно, нормальное распределение имеет два параметра: математическое ожидание mx и среднеквадратичное отклонение σx величины x от этого математического ожидания.
x — случайная величина;
y(x) — вероятность принятия случайной величиной значения x;
mx — математическое ожидание;
σx — среднее квадратичное отклонение.
Если задается интервал интегрирования функции Лапласа [a; b], то:
Вероятность попадания X в интервал, симметричный относительно mx:
P(|x|<6)=P(-6<x<6)=F((6-0/3))-F((-6-0/3))= F(2)-F(-2)=F(2)-(1-F(2))=2F(2)-1=
= 2*0.9545-1=0,9090
Ответ: р= 0,9090
Задание 12
Проверив n изделий в партии, обнаружили, что m изделий высшего сорта, а n-m –нет. Сколько надо проверить изделий, чтобы с уверенностью 95% определить долю высшего сорта с точностью до 0,01?
Решение
n = 1600, m = 300, = 300/1600=0,1875.
Найдем доверительный интервал для р:
- 1,96  р  + 1,96
0,1875 – 1,96 р  0,6 + 1,96
0,1875 – 0,0190  р  0,1875+0,0190