ВЗФЭИ-теория вероятности и математическая статистика

Контрольная работа № 4
по дисциплине:
“Теория вероятностей и математическая статистика”
Вариант № 1
...

Задача №1. Для изучения структуры банков по размеру кредита из 3000 банков страны по схеме собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано 100. Распределение банков по сумме выданных кредитов представлено в таблице:
Найти:
а) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключен средний размер кредита всех банков; б) вероятность того, что доля всех банков, выдающих кредит менее чем 16,9 млн руб., отличается от доли таких банков в выборке не более чем на 5% (по абсолютной величине); в) объем выборки, при котором те же границы для среднего размера кредита, всех банков (см. п. а)), можно гарантировать с вероятностью 0,9876.
Задача №2. По данным задачи 1, используя -критерий Пирсона, при уровне значимости =0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X— размер кредита — распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Задача №3. Имеются данные по 50 предприятиям одной из отраслей промышленности за год. Распределение этих предприятий по двум признакам — выпуску продукции X (млн руб.) и численно¬сти работающих Y(чел.) — представлено в таблице:

100-220 220-340 340-460 460-580 580-700 700-820 Итого
40-50 1 2 3 6
50-60 1 5 1 7
60-70 1 1 8 2 12
70-80 4 9 13
80-90 2 2 5 9
90-100 3 3
Итого 1 4 15 12 13 5 50
Необходимо:
Вычислить групповые средние Xj и Yi и построить эмпирические линии регрессии.
Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:
а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y.
в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний выпуск продукции предприятия, число работающих на котором равно 700 человек.

Задача №1. Для изучения структуры банков по размеру кредита из 3000 банков страны по схеме собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано 100. Распределение банков по сумме выданных кредитов представлено в таблице:
Найти:
а) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключен средний размер кредита всех банков; б) вероятность того, что доля всех банков, выдающих кредит менее чем 16,9 млн руб., отличается от доли таких банков в выборке не более чем на 5% (по абсолютной величине); в) объем выборки, при котором те же границы для среднего размера кредита, всех банков (см. п. а)), можно гарантировать с вероятностью 0,9876.
Задача №2. По данным задачи 1, используя -критерий Пирсона, при уровне значимости =0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X— размер кредита — распредел ена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Задача №3. Имеются данные по 50 предприятиям одной из отраслей промышленности за год. Распределение этих предприятий по двум признакам — выпуску продукции X (млн руб.) и численно¬сти работающих Y(чел.) — представлено в таблице:

100-220 220-340 340-460 460-580 580-700 700-820 Итого
40-50 1 2 3 6
50-60 1 5 1 7
60-70 1 1 8 2 12
70-80 4 9 13
80-90 2 2 5 9
90-100 3 3
Итого 1 4 15 12 13 5 50
Необходимо:
Вычислить групповые средние Xj и Yi и построить эмпирические линии регрессии.
Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:
а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y.
в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний выпуск продукции предприятия, число работающих на котором равно 700 человек

Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.Решение.Проверим гипотезу о нормальном распределении при помощи критерия Пирсона Построим нормальное распределение с параметрами a,. Найдем значение критерия = 22,8805I[xi;xi+1]xinipiNpi(ni-npi)^2(ni-npi)^2/npi116,33,65200,100210,023099,53989,931126,311,68,95110,227622,7639138,38936,0793311,616,914,25360,297029,697939,71581,3373416,922,219,55170,222622,265027,71981,2450522,227,524,85160,09599,588241,11184,2878Σ71,251000,943494,3380346,476622,8805Найдём критическое значение. Число степеней свободы k=m-r-1, гдеm=5 - число интервалов разбиенияr=2 число неизвестных параметров распределенияk=3Уровень значимости = 0,05 Находим в таблице -.Наблюдаемое значение больше критического. Гипотезао нормальном распределении X - размера кредита банков отвергается.Ответ: гипотеза отвергается. Задача №3. Имеются данные по 50 предприятиям одной из отраслей промышленности за год. Распределение этих предприятий по двум признакам — выпуску продукции X (млн руб.) и численности работающих Y(чел.) — представлено в таблице:100-220220-340340-460460-580580-700700-820Итого40-50123650-60151760-7011821270-80491380-90225990-10033Итого14151213550Необходимо:Вычислить групповые средние Xj и Yi и построить эмпирические линии регрессии.Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y. в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний выпуск продукции предприятия, число работающих на котором равно 700 человек.Решение.1) Найдём середины интервала (2 строка и 2 столбец). Вычислим групповые средние.