В 1975 г. Л.В. Канторович (1912 - 1986) был удостоен Нобелевской премии по экономике за

Содержание

1.Двойственные оценки как мера дефицитности ресурсов продукции
Задание 1.5
В 1975 г. Л.В. Канторович (1912 - 1986) был удостоен Нобелевской премии по экономике за разработку теории оптимального использования ресурсов.
Л.В. Конторович ввел в математическую и экономическую науки понятие «линейное программирование» и разработал единый подход к широкому кругу экономических задач о наилучшем использовании ресурсов на базе линейного программирования. Он ввел «двойственные оценки» ресурсов, показывающие степень ценности этих ресурсов для общества.
С задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной. Компоненты оптимального решения двойственной задачи называются оптимальными (двойственными) оценками исходной задачи.
Академик Л.В. Канторо ...

Содержание

1.Двойственные оценки как мера дефицитности ресурсов продукции
Задание 1.5
В 1975 г. Л.В. Канторович (1912 - 1986) был удостоен Нобелевской премии по экономике за разработку теории оптимального использования ресурсов.
Л.В. Конторович ввел в математическую и экономическую науки понятие «линейное программирование» и разработал единый подход к широкому кругу экономических задач о наилучшем использовании ресурсов на базе линейного программирования. Он ввел «двойственные оценки» ресурсов, показывающие степень ценности этих ресурсов для общества.
С задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной. Компоненты оптимального решения двойственной задачи называются оптимальными (двойственными) оценками исходной задачи.
Академик Л.В. Канторович назвал их объективно обусловленными оценками.
Экономический смысл переменных обеих взаимно двойственных задач следующий.

Оптимальное решение исходной задачи (I)
Число единиц продукции Остатки продукции
Р1 Р2 S1 S2 S3 S4
х1 = 6
↕
y5 = 0 х2 = 4
↕
y6 = 0 x3 = 0
↕
y1 = 4/5 x4 = 0
↕
y2 = 3/5 x5 = 1
↕
y3 = 0 x6 = 3
↕
y4 = 0
Превышение затрат на ресурсы над ценой реализации Объективно обусловленные оценки ресурсов (условные цены ресурсов)
Оптимальное решение двойственной задачи (II)
Рис.1
Объективно обусловленные оценки ресурсов определяют степень дефицитности ресурсов: по оптимальному плану производства дефицитные (т.е. полностью используемые) ресурсы получают ненулевые оценки, а недефицитные – нулевые оценки.
Объективно обусловленные оценки ресурсов показывают, на сколько денежных единиц изменится максимальная выручка от реализации продукции при изменении запаса соответствующего ресурса на одну единицу.
При этом, объективно обусловленные оценки ресурсов позволяют судить об эффекте не любых, а лишь сравнительно небольших изменений ресурсов. При резких изменениях сами оценки могут стать другими, что приводит к невозможности их использования для анализа эффективности производства. Изменения запасов ресурсов, при которых оптимальное решение двойственной задачи остается неизменным, находятся в пределах устойчивости двойственных оценок.
В оптимальный план производства могут попасть только рентабельные, неубыточные виды продукции – цена продукции равна затратам на необходимые для ее изготовления ресурсы (y5= y6 = 0)(Рис.1).
Двойственные оценки могут служить инструментом анализа и принятия правильных решений в условиях постоянно меняющегося производства. Так, например, с помощью объективно обусловленных оценок ресурсов возможно сопоставление оптимальных условных затрат и результатов производства.
Пример:
Пусть в рассмотренной выше задаче (Рис.1) распределения ресурсов появилась возможность выпуска еще одного (третьего) вида продукции Р3. Для ее производства необходимо 3 единицы ресурса S1, 2 единицы ресурса S2, 4 единицы ресурса S3 и 1 единицу ресурса S4. Цена реализации этой продукции 3 денежные единицы.

Установить, целесообразно ли включить эту продукцию в план производства. Какой должна быть цена этой продукции, чтобы ее производство было рентабельным?
2.Решение графическим методом типовой задачи оптимизации
Задание 2.5
Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (Е) работ) поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок приведены ниже.

Исходный продукт Расход исходных продуктов на
тонну краски, т Максимально
возможный
запас, т
Краска Е Краска I
A
B 1
2 2
1 6
8

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3000 ден. ед. для краски Е и 2000 ден. ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?
3.Исследование динамики экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда
Задание 3.5
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже.

Номер наблюдения (t = 1, 2, …, 9)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 7 10 12 15 18 20 23 26

Требуется:
1) проверить наличие аномальных наблюдений;
2) построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда);
3) оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7–3,7);
4) оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации;
5) по построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%);
6) фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Вычисления провести с точностью до одного знака после запятой. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).
4.Расчет параметров моделей экономически выгодных размеров заказываемых партий
Задание 4.5
Дистрибьюторская фирма заказывает компьютеры у фирмы производителя. Издержки на одну партию заказа составляют 5000 руб., издержки на хранение 2000 руб. в год. Годовой спрос составляет 9000 шт. Дистрибьютор работает 300 дней в году. Определите оптимальный размер заказа, число заказов в течение года и совокупные издержки на заказ и хранение. Постройте график общих годовых затрат.

Дано:
Т = 300 р.д./год
М = 9000 шт./год
h = 2000 руб./год
К = 5000 руб./год

Определить: Qопт, число заказов в год, совокупные издержки на заказ и хранение, построить график общих годовых затрат.
Список использованной литературы

Содержание

1.Двойственные оценки как мера дефицитности ресурсов продукции
Задание 1.5
В 1975 г. Л.В. Канторович (1912 - 1986) был удостоен Нобелевской премии по экономике за разработку теории оптимального использования ресурсов.
Л.В. Конторович ввел в математическую и экономическую науки понятие «линейное программирование» и разработал единый подход к широкому кругу экономических задач о наилучшем использовании ресурсов на базе линейного программирования. Он ввел «двойственные оценки» ресурсов, показывающие степень ценности этих ресурсов для общества.
С задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной. Компоненты оптимального решения двойственной задачи называются оптимальными (двойственными) оценками исходной задачи.
Академик Л.В. Канторо вич назвал их объективно обусловленными оценками.
Экономический смысл переменных обеих взаимно двойственных задач следующий.

Оптимальное решение исходной задачи (I)
Число единиц продукции Остатки продукции
Р1 Р2 S1 S2 S3 S4
х1 = 6
↕
y5 = 0 х2 = 4
↕
y6 = 0 x3 = 0
↕
y1 = 4/5 x4 = 0
↕
y2 = 3/5 x5 = 1
↕
y3 = 0 x6 = 3
↕
y4 = 0
Превышение затрат на ресурсы над ценой реализации Объективно обусловленные оценки ресурсов (условные цены ресурсов)
Оптимальное решение двойственной задачи (II)
Рис.1
Объективно обусловленные оценки ресурсов определяют степень дефицитности ресурсов: по оптимальному плану производства дефицитные (т.е. полностью используемые) ресурсы получают ненулевые оценки, а недефицитные – нулевые оценки.
Объективно обусловленные оценки ресурсов показывают, на сколько денежных единиц изменится максимальная выручка от реализации продукции при изменении запаса соответствующего ресурса на одну единицу.
При этом, объективно обусловленные оценки ресурсов позволяют судить об эффекте не любых, а лишь сравнительно небольших изменений ресурсов. При резких изменениях сами оценки могут стать другими, что приводит к невозможности их использования для анализа эффективности производства. Изменения запасов ресурсов, при которых оптимальное решение двойственной задачи остается неизменным, находятся в пределах устойчивости двойственных оценок.
В оптимальный план производства могут попасть только рентабельные, неубыточные виды продукции – цена продукции равна затратам на необходимые для ее изготовления ресурсы (y5= y6 = 0)(Рис.1).
Двойственные оценки могут служить инструментом анализа и принятия правильных решений в условиях постоянно меняющегося производства. Так, например, с помощью объективно обусловленных оценок ресурсов возможно сопоставление оптимальных условных затрат и результатов производства.
Пример:
Пусть в рассмотренной выше задаче (Рис.1) распределения ресурсов появилась возможность выпуска еще одного (третьего) вида продукции Р3. Для ее производства необходимо 3 единицы ресурса S1, 2 единицы ресурса S2, 4 единицы ресурса S3 и 1 единицу ресурса S4. Цена реализации этой продукции 3 денежные единицы.

Установить, целесообразно ли включить эту продукцию в план производства. Какой должна быть цена этой продукции, чтобы ее производство было рентабельным?
2.Решение графическим методом типовой задачи оптимизации
Задание 2.5
Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (Е) работ) поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок приведены ниже.

Исходный продукт Расход исходных продуктов на
тонну краски, т Максимально
возможный
запас, т
Краска Е Краска I
A
B 1
2 2
1 6
8

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3000 ден. ед. для краски Е и 2000 ден. ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?
3.Исследование динамики экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда
Задание 3.5
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже.

Номер наблюдения (t = 1, 2, …, 9)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 7 10 12 15 18 20 23 26

Требуется:
1) проверить наличие аномальных наблюдений;
2) построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда);
3) оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7–3,7);
4) оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации;
5) по построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%);
6) фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Вычисления провести с точностью до одного знака после запятой. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).
4.Расчет параметров моделей экономически выгодных размеров заказываемых партий
Задание 4.5
Дистрибьюторская фирма заказывает компьютеры у фирмы производителя. Издержки на одну партию заказа составляют 5000 руб., издержки на хранение 2000 руб. в год. Годовой спрос составляет 9000 шт. Дистрибьютор работает 300 дней в году. Определите оптимальный размер заказа, число заказов в течение года и совокупные издержки на заказ и хранение. Постройте график общих годовых затрат.

Дано:
Т = 300 р.д./год
М = 9000 шт./год
h = 2000 руб./год
К = 5000 руб./год

Определить: Qопт, число заказов в год, совокупные издержки на заказ и хранение, построить график общих годовых затрат.
Список использованной литературы

0,42
 
4
12
-1
1
-3,11
9,68
2
0,28
 
5
15
-0,11
0,01
3
0,42
 
6
18
1
1
2,89
8,35
3
0,42
 
7
20
2
4
4,89
23,90
2
0,28
 
8
23
3
9
7,89
62,23
3
0,42
 
9
26
4
16
10,89
118,57
3
0,42
Сумма
45
136
60
416,89
 
 
Среднее
5
15,11
 
 
 
 
 
 
, . Все полученные значения сравнили с табличными значениями, не превышает их, то есть, аномальных наблюдений нет.
2) Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК (- расчетные, смоделированные значения временного ряда).
Для этого воспользуемся Анализом данных в Excel (Рис. 1).
Рис. 1
Результат регрессионного анализа содержится в таблицах 2 и 3.
Таблица 2
 
Коэффициенты
Стандартная ошибка
t-статистика
Y-пересечение а0
1,944
0,249
7,810
ta1
2,633
0,044
59,516
Во втором столбце таблицы 2 содержатся коэффициенты уравнения регрессии а0, а1, в третьем столбце – стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом – t – статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.
Таблица 3
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение
Предсказанное Y
Остатки
1
4,58
0,42
2
7,21
-0,21
3
9,84
0,16
4
12,48
-0,48
5
15,11
-0,11
6
17,74
0,26
7
20,38
-0,38
8
23,01
-0,01
9
25,64
0,36
Уравнение регрессии зависимости (спрос на кредитные ресурсы) от (время) имеет вид (Рис. 2).
Рис. 2
3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).
Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.
3.1 Проверим независимость (отсутствие автокорреляции) с помощью d – критерия Дарбина – Уотсона по формуле:
Таблица 4
Наблюдение
 
 
 
 
 
1
0,42
0,18
-
-
-
2
-0,21
0,04
-0,63
0,42
0,18
3
0,16
0,02
0,37
-0,21
0,04
4
-0,48
0,23
-0,63
0,16
0,02
5
-0,11
0,01
0,37
-0,48
0,23
6
0,26
0,07
0,37
-0,11
0,01
7
-0,38
0,14
-0,63