Контрольная работа по дисциплине Математика (Теория вероятностей и математическая статистика) Вариант №5

Задание №1
Из колоды в 36 карт наудачу вынимаются 3 карты. Найти вероятность того,
что среди них окажется хотя бы один туз.

Задание №2

На сборку попадают детали с 3 автоматов. Известно, что первый автомат дает
0,3% брака, второй 0,2% и третий 0,4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго 2000 и с третьего 2500 деталей.

Дана вероятность p(=0,6) появления события А в серии из n(=4) независимых
испытаний. Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится:
а) ровно k=3 раз;
б) не менее k=3 раз;
в) не менее k1 =3 раз и не более k2 =4 раз.
Задание №4

Таблицей задан закон распределения дискретной случайной величины Х.
Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(X).
...

Задание №1
Из колоды в 36 карт наудачу вынимаются 3 карты. Найти вероятность того,
что среди них окажется хотя бы один туз.

Задание №2

На сборку попадают детали с 3 автоматов. Известно, что первый автомат дает
0,3% брака, второй 0,2% и третий 0,4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго 2000 и с третьего 2500 деталей.

Дана вероятность p(=0,6) появления события А в серии из n(=4) независимых
испытаний. Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится:
а) ровно k=3 раз;
б) не менее k=3 раз;
в) не менее k1 =3 раз и не более k2 =4 раз.
Задание №4

Таблицей задан закон распределения дискретной случайной величины Х.
Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(X).
Закон распределения:
X –7 –5 –2 3
P 0,4 0,4 0,1 0,1
Задание №5

Дана интегральная функция распределения случайной величины Х.
Найти дифференциальную функцию распределения, математическое ожидание
М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(X).

0, х< -1

F(х)= х+1, -1<=x<=0

1, х>0
Задание №6

Диаметры деталей распределены по нормальному закону. Среднее значение
диаметра равно d мм, среднее квадратическое отклонение σ мм (7). Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше α (16)мм и меньше β(20) мм; вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более, чем на Δ(1,5) мм. а=13
Задание №7

Признак Х представлен дискретным выборочным распределением в виде
таблицы выборочных значений. Требуется:
− составить интервальное распределение выборки;
− построить гистограмму относительных частот;
− перейти от составленного интервального распределения к точечному
выборочному распределению, взяв за значения признака середины частичных интервалов;
− построить полигон относительных частот;
− найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;
− вычислить все точечные статистические оценки числовых характеристик
признака: среднее X ; выборочную дисперсию и исправленную выборочную
дисперсию; выборочное с.к.о. и исправленное выборочное с.к.о. s;
− считая первый столбец таблицы выборкой значений признака Х, а второй -
выборкой значений Y, оценить тесноту линейной корреляционной зависимо-
сти между признаками и составить выборочное уравнение прямой регрессии
Y на Х.
Задание №8

Даны среднее квадратичное отклонение σ(13), выборочная средняя хв (111,2) и объем выборки n (20) нормально распределенного признака генеральной совокупности.
Найти доверительные интервалы для оценки генеральной средней хг с задан-
ной надежностью γ(0,99).
Задание №9

Даны исправленное среднее квадратичное отклонение S (9), выборочная средняя хв (128,8) и объем выборки n (29)нормально распределенного признака генеральной совокупности. Пользуясь распределением Стьюдента, найти доверительные интервалы для оценки генеральной средней хг с заданной надежностью γ(0,95).
Задание №10

При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты.

Эмпирические частоты n i 4 8 16 44 17 17 4
Теоретические частоты ni′ 7 12 10 55 12 13 1

Задание №1
Из колоды в 36 карт наудачу вынимаются 3 карты. Найти вероятность того,
что среди них окажется хотя бы один туз.

Задание №2

На сборку попадают детали с 3 автоматов. Известно, что первый автомат дает
0,3% брака, второй 0,2% и третий 0,4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго 2000 и с третьего 2500 деталей.

Дана вероятность p(=0,6) появления события А в серии из n(=4) независимых
испытаний. Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится:
а) ровно k=3 раз;
б) не менее k=3 раз;
в) не менее k1 =3 раз и не более k2 =4 раз.
Задание №4

Таблицей задан закон распределения дискретной случайной величины Х.
Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(X).
Закон распределения:
X –7 –5 –2 3
P 0,4 0,4 0,1 0,1
Задание №5

Дана интегральная функция распределения случайной величины Х.
Найти дифференциальную функцию распределения, математическое ожидание
М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(X).

0, х< -1

F(х)= х+1, -1<=x<=0

1, х>0
Задание №6

Диаметры деталей распределены по нормальному закону. Среднее значение
диаметра равно d мм, среднее квадратическое отклонение σ мм (7). Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше α (16)мм и меньше β(20) мм; вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более, чем на Δ(1,5) мм. а=13
Задание №7

Признак Х представлен дискретным выборочным распределением в виде
таблицы выборочных значений. Требуется:
− составить интервальное распределение выборки;
− построить гистограмму относительных частот;
− перейти от составленного интервального распределения к точечному
выборочному распределению, взяв за значения признака середины частичных интервалов;
− построить полигон относительных частот;
− найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;
− вычислить все точечные статистические оценки числовых характеристик
признака: среднее X ; выборочную дисперсию и исправленную выборочную
дисперсию; выборочное с.к.о. и исправленное выборочное с.к.о. s;
− считая первый столбец таблицы выборкой значений признака Х, а второй -
выборкой значений Y, оценить тесноту линейной корреляционной зависимо-
сти между признаками и составить выборочное уравнение прямой регрессии
Y на Х.
Задание №8

Даны среднее квадратичное отклонение σ(13), выборочная средняя хв (111,2) и объем выборки n (20) нормально распределенного признака генеральной совокупности.
Найти доверительные интервалы для оценки генеральной средней хг с задан-
ной надежностью γ(0,99).
Задание №9

Даны исправленное среднее квадратичное отклонение S (9), выборочная средняя хв (128,8) и объем выборки n (29)нормально распределенного признака генеральной совокупности. Пользуясь распределением Стьюдента, найти доверительные интервалы для оценки генеральной средней хг с заданной надежностью γ(0,95).
Задание №10

При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты.

Эмпирические частоты n i 4 8 16 44 17 17 4
Теоретические частоты ni′ 7 12 10 55 12 13 1

287Задание №6Диаметры деталей распределены по нормальному закону. Среднее значениедиаметра равно d мм, среднее квадратическое отклонение σ мм (7). Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше α (16)мм и меньше β(20) мм; вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более, чем на Δ(1,5) мм. а=13Решение: Пусть Х – диаметр детали. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то вероятность ее попадания на отрезок [a;b]:Р(α&lt;х&lt;β) = Ф((β-a)/σ) - Ф((α-a)/σ).Тогда вероятность того, что диаметр будет больше 16мм и меньше 20мм:Р(16&lt;х&lt;20)=Ф((20-13)/7)) – Ф((16-13)/7))=Ф(1)-Ф(3/7)=0,3413-0,1664=0,17492)Вероятность отклонения диаметра детали от стандарта не более, чем на Δ(1,5) мм, есть вероятность того, что диаметр детали попадет в интервал:[а- Δ; а+ Δ] вычисляется с помощью функции Лапласа:Р(13-1,5&lt;х&lt;13+1,5)=Ф((14,5-13)/7) – Ф((11,5-13))/7)==Ф(1,5/7)+Ф(1,5/7)=2Ф(0,21)=2*0,0832=0,1664Задание №7Признак Х представлен дискретным выборочным распределением в видетаблицы выборочных значений. Требуется:− составить интервальное распределение выборки;− построить гистограмму относительных частот;− перейти от составленного интервального распределения к точечномувыборочному распределению, взяв за значения признака середины частичных интервалов;− построить полигон относительных частот;− найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;− вычислить все точечные статистические оценки числовых характеристикпризнака: среднее X ; выборочную дисперсию и исправленную выборочнуюдисперсию; выборочное с.к.о. и исправленное выборочное с.к.о. s;− считая первый столбец таблицы выборкой значений признака Х, а второй -выборкой значений Y, оценить тесноту линейной корреляционной зависимо-сти между признаками и составить выборочное уравнение прямой регрессииY на Х.54,3 58,1 45,1 46,1 62,3 63,4 88,9 46,1 60,6 62,414,1 25,1 49,1 25,6 50,1 48,1 46,6 59,1 53,1 52,879,1 67,1 19,4 59,1 50,6 57,1 66,9 82,6 71,1 38,654,0 52,9 53,8 73,1 34,1 36,1 26,5 56,1 74,5 63,127,9 54,1 75,3 27,1 51,9 51,5 54,9 82,4 31,1 60,755,4 62,7 32,5 46,5 58,5 55,8 52,9 53,5 61,6 51,737,6 54,1 31,1 43,8 61,6 51,9 22,5 39,7 32,5 41,753,6 30,8 58,1 72,7 33,4 66,8 35,3 47,9 48,1 73,250,4 80,8 41,2 73,3 43,4 34,1 47,1 50,2 94,1 67,134,2 47,9 68,9 26,1 42,9 46,4 68,9 45,1 21,9 34,1Решение: 1) составить интервальное распределение выборки: отметим, что хmin=14,1; хmax=94,1, т.е. R=94,1-14,1=80. Определим длину каждого интервала, воспользовавшись формулой Стэрджеса:L =R/ (1+3.322lgn)=80/(1+3,322lg100)=10,47≈10, где n-объем выборки.Установим границы частичных интервалов. Нижняя: х0= хmin-l/2=14,1-10/2=9,1. Верхняя граница:хl= х0+l=9,1+10=19,1. Итак до хmax=94,1. Если значение повторяется, то относим его к левому интервалу.ГруппыКол-во, niЧастота, w=ni/n9.1 - 19.110.0119.1 - 29.190.0929.1 - 39.1140.1439.1 - 49.1190.1949.1 - 59.1290.2959.1 - 69.1150.1569.1 - 79.180.0879.1 - 89.140.0489.1 - 99.110.01 - 0 1001построить гистограмму относительных частот:hi=wi/l0,0010,0090,0140,0190,0290,0150,0080,0040,001Рис.1.Гистограмма относительных частотперейти от составленного интервального распределения к точечному выборочному распределению, взяв за значения признака середины частичных интервалов: точечное распределение имеет вид следующей таблицы:Середина интервала, xiКол-во, niЧастота, w=ni/n14.110.0124.190.0934.1140.1444.1190.1954.1290.2964.1150.1574.180.0884.140.0494.110.0100 1001построить полигон относительных частот: это ломаная линия, вершины которых находятся в точках (хi, wi):Рис. 2. Полигон относительных частот.найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график: строится по формуле:F(x)=nx/n. 0, х≤14,1 0,01, 14,1&lt;х≤24,1 0,10, 24,1&lt;х≤34,1 0,24, 34,1&lt;х≤44,1 F(x)= 0,43, 44,1&lt;х≤54,1 0,72, 54,1&lt;х≤64,1 0,87, 64,1&lt;х≤74,1 0,95, 74,1&lt;х≤84,1 0,99, 84,1&lt;х≤94,1 1, х&gt;94,1Графиком является кумулята относительных частот – ломаная линия с вершинами в точках (хi; nx/n).Рис.3. Кумулята относительных частот.вычислить все точечные статистические оценки числовых характеристик признака: среднее X ; выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию; выборочное с.к.о. и исправленное выборочное с.к.о. s.xцxi*ni[x*i]2fi14.1-41624.1-278134.1-285644.1-191954.10064.1151574.1163284.1123694.14160-00 -31271Хср= 1/nx*n==1/100(1*14.1+9*24.1+34.1*14+44.1*19+54.1*29+64.1*15+74.1*8+84.1*4+94.1*1)=51Dвыб=1/ni=1kXi-Xcp2*ni = =1/100(1361.61+6512.49+3998.54+904.59+278.69+2574.15+4268.88+4382.44+1857.61)=26139/100=261.39S2=n*Dвыб/(n-1)=100/99*261,39≈264,03Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки):EQ σ = \r( D ) = \r(261.39) = 16.