Математический анализ

Математический анализ, вариант №1, ИНЖЭКОН ...

1.1. Найти следующие пределы
2.1. Найти производные функций, заданных в явном и неявном виде
3.1. Исследовать функцию методами, дифференциального исчисления и построить ее график
4.1. Найти градиент функции Z в точке M
5.1. Вычислить неопределенные интегралы
6.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
7.1. а) Найти общее решение дифференциального уравнения.
б) Найти решение задачи Коши.
в) Найти общее решение дифференциального уравнения

8.1.а) Исследовать сходимость ряда.
б) Определить область сходимости ряда.

Вариант №1

С осью Ох: , , .
С осью Оy: , .
5)
, по области определения; .
точка максимума ,.
6) При функция возрастает, при - убывает.
7)
при любых значениях х из области определения. Точек перегиба нет.
При график функции выпуклый вниз, при - график функции выпуклый вверх.
8) Найдем асимптоты.
Так как точки разрыва второго рода, то вертикальные асимптоты.
Наклонные асимптоты задаются уравнением
.
,
Наклонная асимптота .
4.1 Найти градиент функции Z в точке М.
.
.
;
;
, ,
.
5.1 Вычислить неопределенные интегралы.
a)
.
b)
.
Использовали формулу интегрирования по частям: .
c)
Подынтегральная функция – правильная рациональная дробь. Разложим ее на сумму простейших дробей:
.
Приводя дроби к общему знаменателю и приравнивая числители, получим:
Так как данное тождество должно выполняться для любого , то зададим аргументу значение и получим , .
Пусть , тогда , .
Пусть , тогда , .
.
6.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ; .
Фигура ограниченна сверху ветвью параболы , а снизу параболой .
Найдем площадь фигуры.
.
.
7.1
а) Найти общее решение дифференциального уравнения.
б) Найти решение задачи Коши.