Вход

Теория вероятностей. Основные элементы комбинаторики.

Рекомендуемая категория для самостоятельной подготовки:
Курсовая работа*
Код 295315
Дата создания 29 апреля 2014
Страниц 15
Мы сможем обработать ваш заказ (!) 28 марта в 13:00 [мск]
Файлы будут доступны для скачивания только после обработки заказа.
1 050руб.
КУПИТЬ

Описание

Курсовая работа написанная в прошлом году, защищена на 5, студент педагогического университета, 3 курса, физико-математического факультета. В файле уже есть введение, содержание, список литературы и заключение. Удачи. ...

Содержание

Содержание
Введение
1. Историческая справка
2. Комбинации объектов
2.1 Правило произведения
2.2 Правило суммы
2.3 Перестановки с повторениями
2.4 Перестановками без повторений
2.5 Размещения с повторениями
2.6 Размещения без повторений
2.7 Сочетания с повторениями
2.8 Сочетания без повторений
Заключение
Список используемой литературы
Электронные источники


Введение

Введение

Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов осуществления некоторого действия. Разные пути или варианты, которые приходится выбирать человеку, складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, называемый комбинаторикой, занят поиском ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или другом случае. Например, учителю приходится распределять различные виды работ между группами учащихся, завучу составлять расписание, офицеру выбирать из солдат наряд, агроному размещать культуры на полях и т.д. В данном случае речь идёт о всевозможных комбинациях объектов.
Задача, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, назы ваются комбинаторными. Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называются комбинаторикой. Комбинаторику можно рассматривать как часть теории множеств – любую комбинаторную задачу можно свести к задаче о конечных множествах и их отображениях.
Решение комбинаторных задач - это перебор вариантов, подсчет числа вариантов с помощью правила умножения. Если комбинаторная задача имеет несколько решений, то возникает вопрос о подсчете таких решений, возникает проблема оптимального варианта решения задачи
Комбинаторика – ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов, казалось, долгое время лежала вне основного русла развития математики и ее приложений. На протяжении двух с половиной столетий основную роль в изучении природы играл математический анализ. Процессы, имевшие атомистическую природу, заменялись непрерывными, чтобы можно было применить к ним развитый аппарат математики. Положение коренным образом изменилось после создания быстродействующих вычислительных машин, компьютеров. С их помощью стало возможным делать переборы, ранее требовавшие сотен и тысяч лет. В эпоху расцвета дискретной математики изменилась и роль древнейшей области дискретной математики – комбинаторики. Из области, интересовавшей большей частью составителей занимательных задач и находившей основные применения в кодировании и расшифровке древних письменностей, она превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития науки. Стали выходить журналы по комбинаторике, печататься книги, посвященные этой науке. Элементы комбинаторики находят отражение и в школьном курсе математики. В нынешнее время комбинаторика имеет огромное значение в различных областях науки и сферы. С комбинаторными величинами приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому – химику, биологу, конструктору, диспетчеру и т.п. Усиление интереса к комбинаторике в последнее время обуславливается бурным развитием кибернетики и вычислительной техники.
Цель курсовой работы: рассмотреть теоретические аспекты по теме «Элементы комбинаторики».
Задачи исследования:
1. Собрать, изучить материал о комбинаторике;
2. Дать определение комбинаторики;
3. Рассмотреть историю возникновение, развитие комбинаторики;
4. Предоставить решение задач по комбинаторики;
Структура работы: работа состоит из введения, двух параграфов, заключение, списка использованных источников, включающего 11 наименований. Общий объем работы – 16 страниц.

Фрагмент работы для ознакомления

Ибн Эзра обнаружил симметричность биномиальных коэффициентов, а Герсонид дал явные формулы для их подсчета и применения в задачах вычисления числа размещений и сочетаний. Несколько комбинаторных задач содержит «Книга абака» (Фибоначчи, XIII век). Например, он поставил задачу найти наименьшее число гирь, достаточное для взвешивания любого товара весом от 1 до 40 фунтов. Джероламо Кардано написал математическое исследование игры в кости, опубликованное посмертно. Помимо азартных игр, комбинаторные методы использовались (и продолжают использоваться) в криптографии – как для разработки шрифтов, так и для их взлома. Блез Паскаль много занимался биномиальными коэффициентами и открыл простой способ их вычисления. В «Трактате об арифметическом треугольнике» и в «Трактате о числовых порядках»(1665 год). Он изложил учение о биномиальных коэффициентах. Хотя этот способ был уже известен на Востоке (примерно с X века), Паскаль, в отличие от предшественников, строго изложил и доказал свойства этого треугольника. П. Ферма знал о связях магических квадратов и фигурных чисел с теорией соединений. Наряду с Лейбницем, он считается основоположником современной комбинаторики. Вильгельм Лейбниц (1.07.1646 – 14.11.1716) – всемирно известный немецкий ученый, занимался философией, математикой, физикой, организовал Берлинскую академию наук и стал ее первым президентом. В математике он вместе с И. Ньютоном разделяет честь создателя дифференциального и интегрального исчислений. Сам термин «комбинаторика» придумал Лейбниц, который в 1666 году опубликовал книгу «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Правда, термин «комбинаторика» Лейбниц понимал чрезмерно широко, включая в него всю конечную математику и даже логику. Якоб Бернулли, один из основателей теории вероятностей, изложил в своей книге «Искусство предположений» (1713 г.) множество сведений по комбинаторике. В этот же период формируется терминология новой науки. Термин «сочетание» впервые встречается у Паскаля (1653, опубликован 1665 году). Термин «перестановка» употребил в указанной книге Якоб Бернулли. Бернулли использовал и термин «размещение». После появления математического анализа обнаружилась тесная связь комбинаторных и аналитических задач. Абрахам де Муавр и Джеймс Стирлинг нашли формулы для аппроксимации факториала.В начале XX века начала развиваться комбинаторная геометрия. Отцом современной комбинаторики считается Пал Эрдеш, который ввел в комбинаторику вероятностный анализ. Внимание к конечной математике, в частности, к комбинаторике, значительно повысилось со второй половины XX века, когда появились компьютеры. Сейчас это чрезвычайно содержательная и быстроразвивающаяся область математики. Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в XIX в. Комбинаторика, пройдя многовековой путь развития, обретя собственные методы исследования, с одной стороны, широко используется при решении задач алгебры, геометрии, анализа, с другой стороны, сама использует геометрические, аналитические и алгебраические методы исследования.2 Комбинации объектов2.1 Правило произведенияПри решении многих комбинаторных задач полезно пользоваться следующим правилом произведения: если элемент А можно выбрать из некоторого множества m способами и если после каждого такого выбора элемент B можно выбрать n способами, то пара элементов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана (m∙n) способами.Пример. Из пункта А в пункт В ведут 3 дороги, а из пункта В в пункт С – 4 дороги. Сколькими способами можно совершить поездку из А в С через В?Решение. В пункте А есть 3 способа выбора дороги в пункт В, а в пункте В есть 4 способа попасть в пункт С. Согласно принципу умножения, существует 34=12 способов попасть из пункта А в пункт С. Принцип умножения легко обобщается на случай выбора трех и более элементов.Пример. Сколько решений в натуральных числах имеет система x+y=10&u+v=5& ?Решение. Число 10 можно представить в виде суммы двух слагаемых девятью различными способами: 1 + 9, 2 + 8, ..., 4 + 6, 5 + 5, 6 + 4, ..., 9 + 1. Заметим, что решения (a, b) и (b, a) мы считаем различными, и потому нам важен порядок, в каком число 10 представлено в виде суммы. Аналогично, число 5 можно представить в виде суммы двух натуральных слагаемых четырьмя различными способами. Каждому решению (x, y) можно выбрать в пару четыре решения (u, v). По правилу произведения, количество решений системы равно 9 ∙ 4 = 36.2.2 Правило суммыЕсли элемент А можно выбрать из некоторого множества m способами, а другой элемент B – n способами, причём выборы А и В таковы, что взаимно исключают друг друга и не могут быть выбраны одновременно, то выбор какого-либо одного из этих элементов (либо А, либо В) можно осуществить (m+n) способами.Пример. Пусть из города A в город B можно добраться одним авиамаршрутом, двумя железнодорожными маршрутами и тремя автобусными маршрутами. Сколькими способами можно добраться из города A в город B?Решение. Все условия принципа сложения здесь выполнены, поэтому, в соответствии с этим принципом, получим 1+2+3=6 способов.Рассмотрим теперь примеры, в которых применяются оба правила комбинаторики: и принцип умножения, и принцип сложения.Пример. В корзине лежат 12 яблок и 10 апельсинов. Ваня выбирает либо яблоко, либо апельсин, после чего Надя выбирает из оставшихся фруктов и яблоко и апельсин. Сколько возможно таких выборов?Решение. Ваня может выбрать яблоко 12 способами, апельсин – 10 способами. Если Ваня выбирает яблоко, то Надя может выбрать яблоко 11 способами, а апельсин – 10 способами. Если Ваня выбирает апельсин, то Надя может выбрать яблоко 12 способами, а апельсин – 9 способами. Таким образом, Ваня и Надя могут сделать свой выбор 12 ∙ 11 ∙ 10+10 ∙ 12 ∙ 9=2400 способами.2.3 Перестановки с повторениямиПоследовательность длины n, составленная из k разных символов, первый из которых повторяется n1 раз, второй – n2 раз, третий – n3 раз,…, k-й – nk раз (где n1+ n2+ … + nk = n) называется перестановкой с повторениями из n элементов.Пример. Пусть дан набор из четырех букв aabc. Все перестановки с повторениями из этих букв суть abac, baac, aabc, aacb, abca, baca, acba, acab, bcaa,cbaa, caba, caab. Число перестановок с повторениями длины n из k разных элементов, взятых соответственно по n1, n2, …, nk раз каждый обозначается P(n1, n2, …, nk) и равноn! / (n1! ∙ n2! ∙ … ∙ nk!).В рассмотренном выше примере, букв a в исходном наборе две, а букв b и с по одной. Следовательно, количество всех перестановок с повторениями из 4 элементов и составом букв 2, 1, 1 равно P(2, 1, 1) = 4! / (2! ∙ 1! ∙ 1!) = 12, в чем мы и убедились.2.4 Перестановками без повторенийПерестановкой из n элементов (или n-перестановкой) называется n-элементное упорядоченное множество, составленное из элементов n-элементного множества. Их число обозначают Рn. Следовательно, число перестановок без повторений находится по формуле Pn=n!Пример. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы цифры в числе не повторялись?Решение. Из данных шести цифр можно составить Р6 = 6! = 720 перестановок. Но числа, начинающиеся на нуль, не являются шестизначными. Такие числа отличаются друг от друга перестановкой пяти остальных цифр, значит, их будет Р5 = 120. Поэтому шестизначных чисел будет 720 - 120 = 600 чисел.2.5 Размещения с повторениямиОтображение множества k первых натуральных чисел 1,2,…,k в данное множество a1,a2 ,…,an , называется размещением с повторениями, составленным из данных n элементов по k. Размещения c повторениями также называются конечными последовательностями. Два размещения с повторениями одинаковы тогда и только тогда, когда на одинаковых местах находятся одни и те же элементы. Если в размещении с повторениями некоторый элемент ставится в соответствие p различным натуральным числам, т.е., иначе говоря, данный элемент занимает p различных мест, то говорят, что этот элемент повторяется в размещении p раз.Пример. Всевозможные размещения с повторениями из трех элементов a,b,c по 2: aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc.Теорема. Число всевозможных размещений с повторениями из n элементов по k равноДоказательство. По индукции.

Список литературы

Список использованных источников

1. Виленкин, Н.Я. Популярная комбинаторика. – М.: НАУКА, 1975.: 208с.
2. Стенли, Р. Перечислительная комбинаторика . – М.: Мир, 1990.: 440с.
3. Amulya Kumar Bag. Бином Ньютона в древней Индии. - Научная история, 1996.: 74с.
4. Хол, М. Комбинаторика.- М.: Мир, 1970.: 424с.
5. Яковлев, И.В., Яковлева, Е.Н. Теория вероятностей и математическая статистика.- Красноярск: СФУ, 2012.: 86с.
6. Рыбников, А.А. Введение в комбинаторный анализ. – М.: МГУ, 1985.: 264с.
7. Виленкин, Н.Я. Комбинаторика. - М.: Наука, 1969.: 328 с
8. Савина, Л.Н., Попырева, Л.Н. Комбинаторика. – Елабужский: ГПУ, 1999.
ЭЛЕКТРОННЫЕ ИСТОЧНИКИ

1. Элементы теории множеств и комбинаторика. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://works.tarefer.ru/50/100271/index.html
2. Учебник по теории вероятностей. Элементы комбинаторики. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.matburo.ru/tvbook_sub.php?p=par11
3. Комбинаторика. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.fmclass.ru/math.php?id=4986cacac0f94
4. Размещения, перестановки, сочетания с повторениями. Формула включения – исключения. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/algebra-10-klass/19-razmeshheniya-perestanovki-sochetaniya-s-povtoreniyami-formula-vklyucheniya-isklyucheniya
5. Шишмарев, Ю.Е. Дискретная математика. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://abc.vvsu.ru/Books/diskr_mat_ch2/default.asp
Очень похожие работы
Пожалуйста, внимательно изучайте содержание и фрагменты работы. Деньги за приобретённые готовые работы по причине несоответствия данной работы вашим требованиям или её уникальности не возвращаются.
* Категория работы носит оценочный характер в соответствии с качественными и количественными параметрами предоставляемого материала. Данный материал ни целиком, ни любая из его частей не является готовым научным трудом, выпускной квалификационной работой, научным докладом или иной работой, предусмотренной государственной системой научной аттестации или необходимой для прохождения промежуточной или итоговой аттестации. Данный материал представляет собой субъективный результат обработки, структурирования и форматирования собранной его автором информации и предназначен, прежде всего, для использования в качестве источника для самостоятельной подготовки работы указанной тематики.
bmt: 0.0048
© Рефератбанк, 2002 - 2024