Вход

Линейные интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода

Рекомендуемая категория для самостоятельной подготовки:
Дипломная работа*
Код 295304
Дата создания 29 апреля 2014
Страниц 50
Мы сможем обработать ваш заказ (!) 29 марта в 12:00 [мск]
Файлы будут доступны для скачивания только после обработки заказа.
5 850руб.
КУПИТЬ

Описание

Решения интегральных уравнений находились с помощью, так называемых определителей Фредгольма, были доказаны теоремы об альтернативе Фредгольма. Эта красивая, хотя и несколько громоздкая, теория излагалась позднее в ряде учебных руководств. работа была защищена в Астраханском Государственном Университете в 2010 году на оценку "5" ...

Содержание

Содержание
Введение……………………………………………………………………….......3 Элементы теории интегральных уравнений
1.1 Основные понятия…………………………………………………………….5
1.2 Существование и единственность решения интегрального уравнения Фредгольма. Метод последовательных приближений……………………14
1.3 Понятие резольвенты интегрального уравнения……………………….....25
1.4 Интегральные уравнения с вырожденными ядрами.
Теоремы Фредгольма………………………………………………………..31
Заключение……………………………………………………………………….47
Список литературы………………………………………………………………50

Введение

Теория линейных интегральных уравнений возникла в начале ХХ века в связи с изучением задач математической физики. В настоящее время она представляет собой важный раздел современной математики, имеющий широкие приложения в теории дифференциальных уравнений, классической и современной математической физике, в задачах естествознания и техники, является ключом к открытию обширной области математики, которая ныне называют функциональным анализом. Знакомство с этой теорией является интересным и полезным для выпускника математического факультета.
Начало этой теории было положено в 1900 году знаменитыми работами шведского математика И.Фредгольма, в которых была построена теория линейных интегральных уравнений Фредгольма II рода и с помощью этой теории впервые было получено решение для уравнения Лапласа.

Фрагмент работы для ознакомления

(12)
Вывод: если имеет место (12), то ряд (9) сходится равномерно и абсолютно.
Замечания:
1) Решение линейного интегрального уравнения (1) было получено тремя различными методами и притом в трех различных формах. Приведенный метод – метод последовательных подстановок – был развит Нейманом, Лиувиллем и Вольтерра. Этот метод дает решение в виде степенного ряда относительно λ, причем коэффициенты при различных степенях λ являются функциями от х. Ряд сходится при λ, меньших по абсолютной величине, чем некоторое число (при малых λ). Этот метод называют еще «методом малого параметра».
2) Совершенно аналогично получается, что решение уравнения Вольтерра
имеет вид
(9')
где
(10')
Однако, ряд (9') сходится для всех λ.
Действительно, пользуясь ограниченностью функций и g(x):
Имеем
Мажорантный ряд
(11')
сходится при всех λ.
По признаку Даламбера:
Следовательно, ряд (11') сходится! То есть уравнение Вольтерра разрешимо при любом λ.
Покажем теперь, что уравнение Фредгольма не может иметь более одного решения в классе ограниченных функций, если λ удовлетворяет неравенству (12).
Пусть y(x) и y*(x) – два ограниченных решения уравнения, тогда разность ω(x)=y(x)-y*(x) ограничена:
,
то есть является решением однородного уравнения.
Имеем
, где при a≤x, ξ≤b.
Далее
Заменяя в интеграле , получим
и т.д.
После «k» шагов:
,
но так как , то и, следовательно, , где ε>0 – любое число, значит, ω(x)=0 и y(x)=y*(x).
Замечание:
1) Значит, в круге нет собственных значений ядра.
2) Аналогичный результат для уравнения Вольтерра формулируется так: уравнение Вольтерра не имеет собственных значений.
Было доказано существование и единственность непрерывного решения при условии, что ядро уравнения , свободный член уравнения непрерывны, а параметр λ удовлетворяет неравенству (12). Докажем этот результат при более общих предположениях на ядро уравнения (1).
Покажем, что если
(13)
то существует единственное решение уравнения Фредгольма (1) при
, где (14)
(15)
Доказательство: Для интегрального уравнения
построим последовательность приближений
Аналогично,
, где (16)
(17)
Функция называется «k»-тым итерированным ядром по отношению к данному ядру.
Итерированные ядра удовлетворяют следующему соотношению:
(18)
Допустим, что последовательные приближения (16) сходятся. Перейдем к пределу в (16) при n→∞:
(19)
Мы получим решение (19) уравнения (1) в виде ряда. Докажем, что этот ряд является сходящимся.
Пусть
(следует из (13))
Имеем
По неравенству Буняковского-Шварца (неравенство Гельдера для интегралов)
Проинтегрируем неравенство по ξ:
Отсюда для верхних граней интегралов выполняется соотношение:
(k=1,2,…)
Отсюда
В (19) общий член ряда оценивается следующим образом:
, то есть
, (20)
Рассмотрим мажорантный геометрический ряд
Он сходится, если В|λ|<1, то есть при . Значит, ряд в формуле (19) равномерно и абсолютно сходится при
Формула (19) определяет единственное решение уравнения (1).
Докажем единственность решения:
допустим противное: существует два решения и , то есть
Вычитая почленно и обозначая −=ω(х), получим:
(21)
Или
(22)
Проинтегрируем неравенство по х:
Или
Но так как , то >0 => ≤0 => =0
Но тогда из (22) получаем
≤0 => ω(x)=0 или = при x[a,b].
Теорема доказана.
Замечания:
1) На практике метод последовательных приближений (метод итераций) может дать только приближенное решение интегрального уравнения, так как ряды, как правило, не суммируются, в конечном счете. В тех случаях, когда сумму ряда в формуле (19) можно найти без труда, оказывается возможным с помощью того или иного специального приема решить интегральное уравнение, не прибегая к наложенной выше теории.
2) Условия теоремы достаточные, но не необходимые. Решение может существовать и при , но оно не может быть найдено методом приближенных вычислений. В этом случае применяются другие методы решения уравнений.
1.3 Понятие резольвенты интегрального уравнения.
Было показано, что решение уравнения (1) в том случае, если
и ,
где
определяется по формуле:
(19)
Так как ряд в (19) сходится равномерно, то можно изменить порядок суммирования и интегрирования:
Обозначим − ряд Неймана. (23)
Эта функция называется резольвентой уравнения (1). Решение уравнения можно записать:
(24)
Если вычислена резольвента, то решение уравнения может быть записано сразу ().
Определение: Будем говорить, что интегральное уравнение (1) имеет резольвенту R(x,ξ,λ), если решение уравнения можно записать в виде (24), причем это решение единственное при любом свободном члене f(x).
Очевидно, что если у интегрального уравнения существует резольвента, то она единственная.
Действительно, пусть при , уравнение имеет две резольвенты и . Тогда единственное решение уравнения можно записать в виде:
т.к. f(ξ) – произвольная функция.
Замечание:
Резольвента была определена только для значений λ, таких что . Однако, резольвента существует во всей плоскости комплексного переменного λ, кроме некоторых изолированных значений λ.
Пример 6.
, ;
Ряд Неймана сходится при |λ|<1.
Обозначим
определено при λ≠1 (внутри и вне окружности |λ|=1; на окружности, исключая лишь λ=1).
Замечание:
Для некоторых уравнений Фредгольма ряд (23) сходится при всех λ.
Предположим, что . Найдем оценку для итерированных ядер, пользуясь тем, что .
В силу неравенства Коши-Буняковского:
Проинтегрировав по ξ, получаем
Пусть
Имеем
неравенств
Отсюда
,
то есть
Значит, ряд сходится при .
Отсюда резольвента удовлетворяет следующему интегральному уравнению:
(25)
Допустим, что
Этот интеграл называется «k»-тым следом ядра или следом «k»-го итерированного ядра. Имеем при x = ξ
После интегрирования по x по [a,b]:
(26)
Пример 7. Построить резольвенту интегрального уравнения с помощью итерированных ядер и найти решение уравнения:
при |λ|<3
Ответ:

решение интегрального уравнения
1.4. Интегральные уравнения с вырожденными ядрами. Теоремы Фредгольма
В теории интегральных уравнений с вырожденным ядром большую роль играют известные из линейной алгебры теоремы.

Список литературы

Список литературы
1. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию. Учебное пособие для ВТУЗов. - М.:Наука,1975.-303с.
2. Краснов М.Л., Кисилёв А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968.-192с.
3. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. –М.-Л.:Гостехиздат,1949.-607с.
4. Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1979.
5. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. - 2-е изд., стереот. - М.:Физматлит,2002.-160с
6. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.4, 6-е изд. - М.: Наука, 1974.-804с.
7. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. - М.: Физматгиз, 1959.-508с.
Очень похожие работы
Пожалуйста, внимательно изучайте содержание и фрагменты работы. Деньги за приобретённые готовые работы по причине несоответствия данной работы вашим требованиям или её уникальности не возвращаются.
* Категория работы носит оценочный характер в соответствии с качественными и количественными параметрами предоставляемого материала. Данный материал ни целиком, ни любая из его частей не является готовым научным трудом, выпускной квалификационной работой, научным докладом или иной работой, предусмотренной государственной системой научной аттестации или необходимой для прохождения промежуточной или итоговой аттестации. Данный материал представляет собой субъективный результат обработки, структурирования и форматирования собранной его автором информации и предназначен, прежде всего, для использования в качестве источника для самостоятельной подготовки работы указанной тематики.
bmt: 0.00378
© Рефератбанк, 2002 - 2024