Анализ ошибок, возникающих в вычислительном эксперименте

Введение 2
1. Вычислительный эксперимент 4
2. Основные этапы вычислительного эксперимента 5
3. Погрешность результата численного решения. Погрешность модели, погрешность вычислений 9
4. Абсолютная и относительная погрешности 10
Заключение 13
Список использованной литературы 15
...

Введение 2
1. Вычислительный эксперимент 4
2. Основные этапы вычислительного эксперимента 5
3. Погрешность результата численного решения. Погрешность модели, погрешность вычислений 9
4. Абсолютная и относительная погрешности 10
Заключение 13
Список использованной литературы 15

Эффективное решение научно-технических задач невозможно без применения эксперимента. Эксперимент может быть физическим или вычислительным. Существуют значительные ограничения на применение физического эксперимента:
 Невозможность проведения эксперимента из-за недосягаемости объекта (ядерные исследования, астрономия).
 Высокая стоимость эксперимента (молекулярная биология, медицина).
 Невозможность обеспечения безопасности при проведении эксперимента (химия, ядерная физика, ракетостроение).
Поэтому в большинстве случаев на смену физическому или натуральному эксперименту приходит вычислительный эксперимент. В таких областях, как авиа- и автомобилестроение, где он внедрен достаточно давно, достигнуты значительные результаты.

В проведении вычислительного эксперимента участвует коллектив исследователей - специалисты с конкретной предметной области, математики теоретики, вычислители, прикладники, программисты. Это связано с тем, что моделирование реальных объектов на ЭВМ включает в себя большой объём работ по исследованию их физической и математической моделей, вычислительных алгоритмов, программированию и обработке результатов. Здесь можно заметить аналогию с работами по проведению натурных экспериментов: составление программы экспериментов, создание экспериментальной установки, выполнение контрольных экспериментов, проведение серийных опытов, обработки экспериментальных данных и их интерпретация и т.д. Таким образом, проведение крупных комплексных расчётов следует рассматривать как эксперимент, проводимый на ЭВМ или вычислительный эксперимент.
Вычислительный эксперимент играет ту же роль, что и обыкновенный эксперимент при исследованиях новых гипотез. Современная гипотеза почти всегда имеет математическое описание, над которым можно выполнять эксперименты. При введении этого понятия следует особо выделить способность компьютера выполнять большой объем вычислений, реализующих математические исследования. Иначе говоря, компьютер позволяет произвести замену физического, химического и т. д. эксперимента экспериментом вычислительным.
При проведении вычислительного эксперимента можно убедиться в необходимости и полезности последнего, особенно в случаях, когда провести натуральный эксперимент затруднительно или невозможно. Вычислительный эксперимент, по сравнению с натурным, значительно дешевле и доступнее, его подготовка и проведение требует меньшего времени, его легко переделывать, он даёт более подробную информацию. Кроме того, в ходе вычислительного эксперимента выявляются границы применимости математической модели, которые позволяют прогнозировать эксперимент в естественных условиях. Поэтому использование вычислительного эксперимента ограничивается теми математическими моделями, которые участвуют в проведении исследования. По этой причине вычислительный эксперимент не может заменить полностью эксперимент натурный и выход из этого положения состоит в их разумном сочетании. В этом случае в проведении сложного эксперимента используется широкий спектр математических моделей: прямые задачи, обратные задачи, оптимизированные задачи, задачи идентификации.
2. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
В общем случае, основные этапы решения задачи с применением ЭВМ можно рассматривать как один технологический цикл вычислительного эксперимента. А вообще, вычислительный эксперимент как новая методика исследования «состоялся» после того, как удалось на каждом из этапов традиционной цепочки эффективно использовать вычислительную машину. Все этапы технологического цикла вычислительного эксперимента тесно связаны между собой и служат единой цели - получению с заданной точностью за короткое время адекватного количественного описания поведения изучаемого реального объекта в тех или иных условиях. Поэтому все этапы технологического цикла должны быть одинаково прочными. Слабость в одном звене влечёт за собой слабость в остальных звеньях технологии. Теперь основные этапы вычислительного эксперимента:
Проведение натурного эксперимента.
Построение математической модели.
Выбор и применение численного метода для нахождения решения.
Обработка результатов вычислений.
Сравнение с результатами натурного эксперимента.
Принятие решения о продолжении натурных экспериментов.
Продолжение натурного эксперимента для получения данных, необходимых для уточнения модели.
Накопление экспериментальных данных.
Построение математической модели.
Автоматическое построение программной реализации математической модели.
Автоматизированное нахождение численного решения.
Автоматизированное преобразования результатов вычислительных в форму, удобную для анализа.
Принятие решения о продолжении натурных экспериментов.
Видоизмененная цепочка реализованная в виде единого программного комплекса и составляет «технологию» вычислительного эксперимента.
В наиболее общем виде этапы вычислительного эксперимента можно представить в виде последовальности технологических операций (они реализованы в соответствующих блоках программного комплекса):
Построение математической модели.
Преобразование математической модели.
Планирование вычислительного эксперимента.
Построение программной реализации математической модели
Отладка и тестирование программной реализации.
Проведение вычислительного эксперимента.
Документирование эксперимента.
Для проведения крупномасштабных научных исследований используется модульная технология, основанная на модульном представлении: математических моделей; вычислительных алгоритмов; программ для ЭВМ; технических средств. Сборка программ из модулей проводится автоматически, с помощью специальной программы. Создаются программные комплексы и проблемно-ориентированные пакеты прикладных программ многоцелевого назначения. Характерная особенность пакетов состоит в возможности постоянного развития, расширения благодаря включению новых модулей, реализующих новые возможности. Следует отметить, что один и тот же пакет прикладных программ может быть использован в вычислительных экспериментах для исследований различных реальных объектов.
В современной науке и технике появляется всё больше областей, задачи в которых можно и нужно решать методом вычислительного эксперимента, с помощью математического моделирования. Обратим внимание на некоторые из них.
Энергетическая проблема. Прогнозирование атомных и термоядерных реакторов на основе детального математического моделирования происходящих в них физических процессов. В этой области работа ведётся очень успешно.
Вычислительный эксперимент тесно сопрягается с натурным экспериментом и помогает, заменяет и удешевляет весь исследовательский цикл, существенно его ускоряя.
Космическая техника. Расчёт траекторий летательных аппаратов, задачи обтекания, системы автоматического проектирования. Обработка данных натурного эксперимента, например радиолокационных данных, изображений со спутников, диагностика плазмы. Здесь очень важной оказывается проблема повышения качества приборов, и в частности измерительной аппаратуры. Между тем, в настоящее время показано, что, используя измерительный прибор среднего качества и присоединив к нему ЭВМ, можно на основе специальных алгоритмов получить результаты, которые дал бы измерительный прибор очень высокого качества. Таким образом, сочетание измерительного прибора с компьютером открывает новые возможности.
Технологические процессы. Получение кристаллов и плёнок, которые, кстати, нужны для создания вычислительной техники, для решения проблем в области элементарной базы (что невозможно без математического моделирования); моделирование теплового режима конструктивных узлов перспективных ЭВМ, процессов лазерной плазмы, технологии создания материалов с заданными свойствами (это одна из основных задач любой технологии).
Экологические проблемы. Вопросы прогнозирования и управления экологическими системами могут решаться лишь на основе математического моделирования, поскольку эти системы существуют в «единственном экземпляре».
Гео- и астрофизические явления. Моделирование климата, долгосрочный прогноз погоды, землетрясений и цунами, моделирование развития звёзд и
солнечной активности, фундаментальные проблемы происхождения и развития Вселенной.
Химия. Расчёт химических реакций, определение их констант, исследование химических процессов на макро- и микроуровне для интенсификации химической технологии.