Задачи по теории вероятностей

6 задач с пояснениями ...

Задача 1. Из множества чисел {1, 2, ... , n} последовательно выбирается два числа. Какова вероятность, что второе число больше первого, если выбор осуществляется:
а) без возвращения;
б) с возвращением?
Задача 2
При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью p. Найти вероятность того, что:
а) двигатель начнет работать при втором включении зажигания;
б) для запуска двигателя потребуется включить зажигание не более двух раз.
Задача 3
Торговый агент в среднем контактирует с восемью потенциальными покупателями в день. Из опыта ему известно, что вероятность того, что потенциальный покупатель совершит покупку, равна 0,1.
а) Чему равна для агента вероятность двух продаж в течение одного дня?
б) Чему равна вероятность того, что у агента будут две продажи в течение дня?в) Чему равна вероятность того, что в течение одного дня не будет продаж? г) Чему равно ожидаемое среднее число продаж в течение дня? Если агент работает пять дней в неделю, какое число продаж он может ожидать?
Задача 4
В установленном технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 75% процентов 1-го типа. Найти вероятность того, что в партии 500 изделий окажется изделий 1-го типа: а) ровно 390; б) больше 370, но меньше 400.
Задача 5
Масса тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,04 кг2. Агрономы знают, что масса 65% фруктов меньше, чем 0,5 кг. Найдите ожидаемую массу случайного выбранного грейпфрута.
Совместное распределение дискретных случайных величин X и Y задается с помощью таблицы:
Найти:
а) одномерное распределение случайных величин X и Y;
б) совместное распределение случайного вектора (X+Y, 3XY);
в) одномерное распределение случайных величин X+Y и 3XY;
г) коэффициент корреляции ρ(X,Y).

Задача 1. Из множества чисел {1, 2, ... , n} последовательно выбирается два числа. Какова вероятность, что второе число больше первого, если выбор осуществляется:
а) без возвращения;
б) с возвращением?
Задача 2
При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью p. Найти вероятность того, что:
а) двигатель начнет работать при втором включении зажигания;
б) для запуска двигателя потребуется включить зажигание не более двух раз.
Задача 3
Торговый агент в среднем контактирует с восемью потенциальными покупателями в день. Из опыта ему известно, что вероятность того, что потенциальный покупатель совершит покупку, равна 0,1.
а) Чему равна для агента вероятность двух продаж в течение одного дня?
б) Чему равна вероятность того, что у агента будут две продажи в течение дня?в) Ч ему равна вероятность того, что в течение одного дня не будет продаж? г) Чему равно ожидаемое среднее число продаж в течение дня? Если агент работает пять дней в неделю, какое число продаж он может ожидать?
Задача 4
В установленном технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 75% процентов 1-го типа. Найти вероятность того, что в партии 500 изделий окажется изделий 1-го типа: а) ровно 390; б) больше 370, но меньше 400.
Задача 5
Масса тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,04 кг2. Агрономы знают, что масса 65% фруктов меньше, чем 0,5 кг. Найдите ожидаемую массу случайного выбранного грейпфрута.
Совместное распределение дискретных случайных величин X и Y задается с помощью таблицы:
Найти:
а) одномерное распределение случайных величин X и Y;
б) совместное распределение случайного вектора (X+Y, 3XY);
в) одномерное распределение случайных величин X+Y и 3XY;
г) коэффициент корреляции ρ(X,Y).

Задача 4В установленном технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 75% процентов 1-го типа. Найти вероятность того, что в партии 500 изделий окажется изделий 1-го типа: а) ровно 390; б) больше 370, но меньше 400.Решениеа) Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n):Pnk=1n∙p∙q∙ФxФ(х) – функция Лапласа: Фxi=12π0xe-t22dtx=k-n∙pn∙p∙q=390-500∙0,75500∙0,75∙0,25=1,55По таблице Лапласа найдем:Ф(1,55)=0,4394Теперь рассчитаем:Pnk=1500∙0,75∙0,25∙0,4394=0,045Т.е. вероятность того, что из 500 изделий ровно 390 будут первого типа равна приблизительно 4,5%.б) Если вероятность наступления события А вкаждом из n независимых испытаний постоянна и равна p:ð≠0; ð≠1 , а число n достаточно велико, то вероятность того, что событие А в этих испытаниях наступит не менее k1 раз и не более k2 раз вычисляется в силу интегральной теоремы Лапласа по приближенной формуле:Pnk1≤k≤k2≈Фx2-Фx1xi=ki-n∙pn∙p∙qПодставим исходные данные и рассчитаем значения х1 и х2:x1=k1-n∙pn∙p∙q=370-500∙0,75500∙0,75∙0,25≈-0,52x2=k2-n∙pn∙p∙q=400-500∙0,75500∙0,75∙0,25≈2,58Таким образом, получим:P500370≤k≤400≈Ф2,58-Ф-0,52=Ф2,58+Ф0,52По таблице Лапласа найдем значения:Ф(2,58)=0,4951Ф(0,52)=0,1985P500370≤k≤400≈0,4951+0,1985=0,6936Вероятность того, что в партии от 370 до 400 изделий окажутся 1-го типа, составляет 69,36%.Задача 5Масса тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,04 кг2. Агрономы знают, что масса 65% фруктов меньше, чем 0,5 кг. Найдите ожидаемую массу случайного выбранного грейпфрута.РешениеОжидаемый вес случайно выбранного грейпфрута – это математическое ожидание. Его найти можно по формуле попадания нормально распределенной случайной величины в интервал α<X<β:Pα<X<β=Фβ-aσ-Фα-aσПо условию задачи:σ=DX=0,04=0,2Также известно, что Р(Х<0,5)=0,65Здесь α=-∞, β=0,5P-∞<X<0,5=Ф0,5-a0,2-Ф-∞-a0,2=0,65Ф0,5-a0,2+0,5=0,65Ф0,5-a0,2=0,15По таблице Лапласа найдем, что 0,5-a0,2=0,39Отсюда получаем:0,5-a=0,39∙0,2 0,5-a=0,078 ⇒a=0,422Ожидаемый вес выбранного грейпфрута равен 422 гр.Задача 6Совместное распределение дискретных случайных величин X и Y задается с помощью таблицы:XY–20100,30?40,10,20,1Найти: а) одномерное распределение случайных величин X и Y; б) совместное распределение случайного вектора (X+Y, 3XY); в) одномерное распределение случайных величин X+Y и 3XY; г) коэффициент корреляции ρ(X,Y).РешениеДля начала определим недостающее значение вероятности P(x=1; y=0). Так как события X и Y образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна 1. Исходя из этого, получим:Px=1;y=0=1-0,3+0,1+0,2+0,1=0,3Совместное распределение будет иметь вид: XY–20100,300,340,10,20,1а) одномерное распределение случайных величин X и Y; Распределение каждой из случайных величин в отдельности получим с помощью суммирования по столбцам и строкам соответственно.Таблица одномерного распределения случайной величины Х получается из таблицы двумерного распределения по формуле:PX=ai=jpijНайдем одномерное распределение Х:PX=-2=0,3+0,1=0,4PX=0=0+0,2=0,2PX=1=0,3+0,1=0,4Проверим: PX=-2+PX=0+PX=1=0,4+0,2+0,4=1Аналогичным образом найдем распределение Y:PY=0=0,3+0+0,3=0,6PY=4=0,1+0,2+0,1=0,4Проверим: PY=0+PY=4=0,6+0,4=1Итак, одномерное распределение случайных величин X и Y будет иметь вид:X-201P0,40,20,4Y04P0,60,4б) совместное распределение случайного вектора (X+Y, 3XY); Найдем совместное распределение вектора, имеющего координаты (a, b): a = X+Y, b = 3XYНачнем с a.Возможные значения случайной величины Z=X+Y есть -2, 0, 1, 2, 4, 5.