ТВ №2

Вариант 2 ...

Задача 1
Распределение случайной величины Х – заработной платы сотрудников на фирме (в у.е.) – задано в виде интервального ряда:
Xmin i (ai) 300 330 360 390 420 450
Xmax i (bi) 330 360 390 420 450 480
Частота mi 10 20 30 25 10 5

Найти: X ̅, Sx. Построить теоретическое нормальное распределение и сравнить его с эмпирическим с помощью критерия согласия Пирсона x2 при =0,05
Задача 2
В процессе исследования среднедушевого дохода (в руб.) обследовано 100 семей. Выявлены оценки: X ̅=1520, S=202. В предположении и нормальном законе найти долю семей, чей среднедушевой доход находится в пределах от 1200 до 1800.
Задача 3
Объем дневной выручки в 5 торговых точках (в тыс. у.е.) составил:
x1=12, x2=17, x3=22, x4=19, x5. Учитывая, что Х ̅=18, найти выборочную дисперсию S2.
Задача 4
По данным 17 сотрудников фирмы, где работает 220 человек, среднемесячная заработная плата составила 320 у.е., при S = 72 у.е. Какая минимальная сумма должна быть на счету фирмы, чтобы с вероятностью γ = 0,98 гарантировать выдачу заработной платы всем сотрудникам?
Задача 5
С целью размещения рекламы опрошено 420 телезрителей, из которых данную передачу смотрят 170 человек. С доверительной вероятностью γ = 0,91 найти долю телезрителей, охваченных рекламой в лучшем случае.
Задача 6
Согласно рекламе автомобиль должен расходовать на 100 км пробега не более 8 л бензина. Проведено 10 испытаний, по результатам которых найден средний расход бензина X ̅= 10,2 л на 100 км, при среднеквадратическом отклонении S = 1,2 л на 100 км. Проверить справедливость рекламы при α = 0,05.
Задание 7
Фирма утверждает, что контролирует 40% регионального рынка. Проверить справедливость этого утверждения при α = 0,05, если услугами этой фирмы пользуются 120 человек из 320 опрошенных.
Задание 8
Для сравнения существующего технологического процесса с новым по себестоимости продукции было изготовлено nx = 7 изделий по существующей технологии и получена средняя себестоимость продукции X ̅= 15, Sx2 = 3. Для нового технологического процесса после изготовления ny = 10 изделий получили Y ̅= 11, Sy2 = 4. Целесообразно ли при α = 0,05 вводить новую технологию?
Задача 9
Из 220 задач по теории вероятностей студенты решили 130 задач, а из 340 задач по математической статистике они решили 200 задач. Можно ли при α = 0,05 утверждать, что оба раздела усвоены одинаково?
Задача 10
Исследование 27 семей по среднедушевому доходу (Х) и сбережениям (Y) дало результаты: X ̅= 96 у.е., Sx = 38 у.е., Y ̅= 32 у.е., Sy = 22 у.е., (XY) ̅= 3702 (у.е.)2. При α = 0,05 проверить наличие линейной связи между Х и Y. Определить размер сбережений семей, имеющих среднедушевой доход Х=130 у.е.

Задача 1
Распределение случайной величины Х – заработной платы сотрудников на фирме (в у.е.) – задано в виде интервального ряда:
Xmin i (ai) 300 330 360 390 420 450
Xmax i (bi) 330 360 390 420 450 480
Частота mi 10 20 30 25 10 5

Найти: X ̅, Sx. Построить теоретическое нормальное распределение и сравнить его с эмпирическим с помощью критерия согласия Пирсона x2 при =0,05
Задача 2
В процессе исследования среднедушевого дохода (в руб.) обследовано 100 семей. Выявлены оценки: X ̅=1520, S=202. В предположении и нормальном законе найти долю семей, чей среднедушевой доход находится в пределах от 1200 до 1800.
Задача 3
Объем дневной выручки в 5 торговых точках (в тыс. у.е.) составил:
x1=12, x2=17, x3=22, x4=19, x5. Учитывая, что Х ̅=18, найти выборочную дисперсию S2.
Задача 4
По данным 17 сотруд ников фирмы, где работает 220 человек, среднемесячная заработная плата составила 320 у.е., при S = 72 у.е. Какая минимальная сумма должна быть на счету фирмы, чтобы с вероятностью γ = 0,98 гарантировать выдачу заработной платы всем сотрудникам?
Задача 5
С целью размещения рекламы опрошено 420 телезрителей, из которых данную передачу смотрят 170 человек. С доверительной вероятностью γ = 0,91 найти долю телезрителей, охваченных рекламой в лучшем случае.
Задача 6
Согласно рекламе автомобиль должен расходовать на 100 км пробега не более 8 л бензина. Проведено 10 испытаний, по результатам которых найден средний расход бензина X ̅= 10,2 л на 100 км, при среднеквадратическом отклонении S = 1,2 л на 100 км. Проверить справедливость рекламы при α = 0,05.
Задание 7
Фирма утверждает, что контролирует 40% регионального рынка. Проверить справедливость этого утверждения при α = 0,05, если услугами этой фирмы пользуются 120 человек из 320 опрошенных.
Задание 8
Для сравнения существующего технологического процесса с новым по себестоимости продукции было изготовлено nx = 7 изделий по существующей технологии и получена средняя себестоимость продукции X ̅= 15, Sx2 = 3. Для нового технологического процесса после изготовления ny = 10 изделий получили Y ̅= 11, Sy2 = 4. Целесообразно ли при α = 0,05 вводить новую технологию?
Задача 9
Из 220 задач по теории вероятностей студенты решили 130 задач, а из 340 задач по математической статистике они решили 200 задач. Можно ли при α = 0,05 утверждать, что оба раздела усвоены одинаково?
Задача 10
Исследование 27 семей по среднедушевому доходу (Х) и сбережениям (Y) дало результаты: X ̅= 96 у.е., Sx = 38 у.е., Y ̅= 32 у.е., Sy = 22 у.е., (XY) ̅= 3702 (у.е.)2. При α = 0,05 проверить наличие линейной связи между Х и Y. Определить размер сбережений семей, имеющих среднедушевой доход Х=130 у.е.

е.Задача 5С целью размещения рекламы опрошено 420 телезрителей, из которых данную передачу смотрят 170 человек. С доверительной вероятностью γ = 0,91 найти долю телезрителей, охваченных рекламой в лучшем случае.РешениеДоля телезрителей, охваченных рекламой:ω=170420=0,405Средняя ошибка выборки для доли телезрителей рекламы с вероятностью 0,91 составит:∆ω=ω(1-ω)n=0,405(1-0,405)420=0,024μω=tω∙∆ωЗначение t определяем по таблице распределения Лапласа:φt=γ2=0,455; t=1,69μx=1,69∙0,024=0,04Таким образом, имеем0,405-0,04≤x≤0,405+0,040,365≤x≤0,445Ответ: Средняя ошибка выборки для доли телезрителей, охваченных рекламой, с вероятностью 0,91 находится в пределах от 0,365 до 0,445. Таким образом, с доверительной вероятностью γ = 0,91 можно утверждать, что в лучшем случае 44,5% телезрителей будут охвачены рекламой.Задача 6Согласно рекламе автомобиль должен расходовать на 100 км пробега не более 8 л бензина. Проведено 10 испытаний, по результатам которых найден средний расход бензина X= 10,2 л на 100 км, при среднеквадратическом отклонении S = 1,2 л на 100 км. Проверить справедливость рекламы при α = 0,05.РешениеРассчитаем доверительный интервал, в котором будет находиться генеральная средняя величины расхода бензина на 100 км:∆=Sx2n=1,2210=0,38μx=tx∙∆xЗначение t определяем по таблице распределения Лапласа:φt=γ2=0,475; t=1,96μx=1,96∙0,38=0,74Таким образом, имеем10,2-0,74≤x≤10,2+0,749,46≤x≤10,94Ответ: среднее значение генеральной средней величины расхода бензина на 100 км с вероятностью 0,95 находится в пределах от 9,46 л до 10,94 л. Таким образом, обещанные 8 л не входят в данный промежуток, значит, реклама недостоверна при уровне значимости α = 0,05.Задание 7Фирма утверждает, что контролирует 40% регионального рынка. Проверить справедливость этого утверждения при α = 0,05, если услугами этой фирмы пользуются 120 человек из 320 опрошенных. РешениеДоля человек, пользующихся услугами фирмы:ω=120320=0,375Средняя ошибка выборки для доли опрошенных, пользующихся услугами фирмы с вероятностью 0,95:∆ω=ω(1-ω)n=0,375(1-0,375)320=0,027μω=tω∙∆ωЗначение t определяем по таблице распределения Лапласа:φt=γ2=0,475; t=1,96μx=1,96∙0,027=0,052Таким образом, имеем0,375-0,052≤x≤0,375+0,0520,323≤x≤0,427Ответ: средняя ошибка выборки для доли человек, пользующихся услугами фирмы, с вероятностью 0,95 находится в пределах от 0,323 до 0,427. Значение доли 0,4 входит в полученный интервал. Таким образом, с доверительной вероятностью γ = 0,95 можно утверждать, что фирма контролирует 40% регионального рынка.Задание 8Для сравнения существующего технологического процесса с новым по себестоимости продукции было изготовлено nx = 7 изделий по существующей технологии и получена средняя себестоимость продукции X= 15, Sx2 = 3. Для нового технологического процесса после изготовления ny = 10 изделий получили Y= 11, Sy2 = 4. Целесообразно ли при α = 0,05 вводить новую технологию?РешениеИсправленные дисперсии различны, поэтому проверим предварительно гипотезу о равенстве генеральных дисперсий, используя критерий Фишера-Снедекора. Найдем отношение большей дисперсии к меньшей:Fнабл.=Sy2Sy2=43=1,33Дисперсия Sy2 существенно больше дисперсии Sx2, поэтому в качестве конкурирующей примем гипотезу Н1: D(Y) > D(X). В этом случае критическая область – правосторонняя. Для уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы k1 = ny – 1 = 10 – 1 = 9 и k2 = nx – 1 = 7 – 1 =6 находим критическую точку: Fкр (0,05; 9; 6) = 4,10Т.к. Fнабл < Fкр, то нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.Предположение о равенстве дисперсий выполняется, поэтому сравним средние. Вычислим наблюдаемое значение критерия Стьюдента.Tнабл.=x-ynx-1∙Sx2+ny-1∙Sy2==15-117-1∙3+(10-1)∙4=0,54По условию конкурирующая гипотеза имеет вид: M(X) ≠ M(Y), поэтому критическая область – двусторонняя. Для уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы k = nx + ny – 2 = 7 + 10 – 2 = 15 находим критическую точкуtкр (0,05; 15) = 2,13Т.к.