ТВ и МС

8 задач с пояснениями ...

Задача №1
Из партии, содержащей 12 изделий, среди которых 3 бракованных, наудачу извлекают 5 изделий для контроля. Найти вероятности следующих событий:
А={в полученной выборке ровно 2 бракованных изделия};
B={в полученной выборке нет бракованных изделий}.
Задача №2
Иванов и Петров договорились о встрече в определенном месте между 11 и 12 часами. Каждый приходит в случайный момент указанного промежутка и ждет товарища не более 20 минут, после чего уходит. Наблюдаемый результат – пара чисел (x,y), где x – время появления Петрова, y – время появления Иванова (время исчислять в минутах). Построить множество элементарных событий Ω и подмножество, соответствующее событию В. Найти вероятность этого события.
Событие B={Петров ждал Иванова все обусловленное время и не дождался}.
Задача №3
Электрическая цепь прибора составлена по схеме, приведенной на рисунке. Событие Ak={k-ый элемент вышел из строя}. k=1,2,…,6. Отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Известна надежность p_k=P(A ̅_k) k-го элемента (соответственно q_k=1-p_k- вероятность отказа). Событие B={разрыв цепи}. Выразить событие B в алгебре событий Ak. Найти вероятность отказа прибора и вероятность надежности схемы. p1=p2=0,9, p3=p4=0,8, p5=p6=0,85.
Задача№ 4
В тире имеется три вида винтовок: n1-первого типа, n2-второго типа, n3-третьего типа. Вероятность попадания в цель из винтовок первого типа р1, второго типа р2, третьего типа р3. После выстрела из винтовки, выбранной наудачу, цель была поражена. Какова вероятность того, что выстрел был сделан из винтовки третьего типа?
3. n1 =3, n2=4, n3 =3, р1 =0,9, р2=0,85, р3 =0,65.
4. n1 =1, n2=3, n3 =5, р1 =0,65, р2=0,7, р3 =0,75.
Задача №5
В семье 6 детей. Считая вероятность рождения мальчика и девочки по 0,5, определить вероятность того, что в данной семье мальчиков не менее 3, но не более 5.
Задача №6
Составить закон распределения случайной величины Х. Записать функцию распределения, построить её график. Вычислить числовые характеристики М(Х), D(Х), s(Х).
Х-число отказавших элементов в одном опыте с устройством, состоящим из 4 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента 0,2.
Задача№7
Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально. Проектная длина детали равна 50 мм. Фактическая длина изготовленных деталей не менее 32 мм и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 40 мм.
Задача № 8
Из изучаемой налоговыми органами обширной группы населения случайным образом отобраны 10 человек и собраны сведения об их доходах за истекший год в тысячах рублей: х1, х2,…, х10. Найти выборочное среднее, исправленную выборочную дисперсию. Считая распределение доходов в группе нормальным и принимая в качестве его параметров выборочные характеристики, определить, какой процент населения имеет годовой доход, превышающий 70 тыс. рублей.
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
65 55 45 65 85 55 45 65 100 80

Задача №1
Из партии, содержащей 12 изделий, среди которых 3 бракованных, наудачу извлекают 5 изделий для контроля. Найти вероятности следующих событий:
А={в полученной выборке ровно 2 бракованных изделия};
B={в полученной выборке нет бракованных изделий}.
Задача №2
Иванов и Петров договорились о встрече в определенном месте между 11 и 12 часами. Каждый приходит в случайный момент указанного промежутка и ждет товарища не более 20 минут, после чего уходит. Наблюдаемый результат – пара чисел (x,y), где x – время появления Петрова, y – время появления Иванова (время исчислять в минутах). Построить множество элементарных событий Ω и подмножество, соответствующее событию В. Найти вероятность этого события.
Событие B={Петров ждал Иванова все обусловленное время и не дождался}.
Задача №3
Электр ическая цепь прибора составлена по схеме, приведенной на рисунке. Событие Ak={k-ый элемент вышел из строя}. k=1,2,…,6. Отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Известна надежность p_k=P(A ̅_k) k-го элемента (соответственно q_k=1-p_k- вероятность отказа). Событие B={разрыв цепи}. Выразить событие B в алгебре событий Ak. Найти вероятность отказа прибора и вероятность надежности схемы. p1=p2=0,9, p3=p4=0,8, p5=p6=0,85.
Задача№ 4
В тире имеется три вида винтовок: n1-первого типа, n2-второго типа, n3-третьего типа. Вероятность попадания в цель из винтовок первого типа р1, второго типа р2, третьего типа р3. После выстрела из винтовки, выбранной наудачу, цель была поражена. Какова вероятность того, что выстрел был сделан из винтовки третьего типа?
3. n1 =3, n2=4, n3 =3, р1 =0,9, р2=0,85, р3 =0,65.
4. n1 =1, n2=3, n3 =5, р1 =0,65, р2=0,7, р3 =0,75.
Задача №5
В семье 6 детей. Считая вероятность рождения мальчика и девочки по 0,5, определить вероятность того, что в данной семье мальчиков не менее 3, но не более 5.
Задача №6
Составить закон распределения случайной величины Х. Записать функцию распределения, построить её график. Вычислить числовые характеристики М(Х), D(Х), s(Х).
Х-число отказавших элементов в одном опыте с устройством, состоящим из 4 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента 0,2.
Задача№7
Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально. Проектная длина детали равна 50 мм. Фактическая длина изготовленных деталей не менее 32 мм и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 40 мм.
Задача № 8
Из изучаемой налоговыми органами обширной группы населения случайным образом отобраны 10 человек и собраны сведения об их доходах за истекший год в тысячах рублей: х1, х2,…, х10. Найти выборочное среднее, исправленную выборочную дисперсию. Считая распределение доходов в группе нормальным и принимая в качестве его параметров выборочные характеристики, определить, какой процент населения имеет годовой доход, превышающий 70 тыс. рублей.
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
65 55 45 65 85 55 45 65 100 80

Соответственно, надежность этого блока: PB=1-PB=1-0,105=0,895Отказ прибора произойдет в результате отказа одного из блоков:PA=PA1+PB+PA6=0,1+0,105+0,15=0,355Работать прибор будет только при условии одновременной работы всех составляющих его блоков. Таким образом, надежность прибора равна:PA=0,9∙0,895∙0,85=0,685Ответ: вероятность отказа прибора равна 35,5%, а надежность схемы составляет 68,5%.Задача№ 4В тире имеется три вида винтовок: n1-первого типа, n2-второго типа, n3-третьего типа. Вероятность попадания в цель из винтовок первого типа р1, второго типа р2, третьего типа р3. После выстрела из винтовки, выбранной наудачу, цель была поражена. Какова вероятность того, что выстрел был сделан из винтовки третьего типа?3. n1 =3, n2=4, n3 =3, р1 =0,9, р2=0,85, р3 =0,65.4. n1 =1, n2=3, n3 =5, р1=0,65, р2=0,7, р3 =0,75.Решение3) Событие А – поражение цели. Выдвинем гипотезы: Н1 – выстрел сделан из первой винтовки;Н2 – выстрел сделан из второй винтовки;Н3 – выстрел сделан из третьей винтовки.Общее количество винтовок в тире: 3+4+3=10.Из них: 3 – первого типа; 4 – второго типа; 3 – третьего типа.Вероятность гипотез, соответственно равны:PH1=310, PH2=410, PH3=310Полная вероятность события А оставит:PA=PH1∙p1+PH2∙p2+PH3∙p3=0,3∙0,9+0,4∙0,85+0,3∙0,65=0,805Таким образом, по формуле Байеса получим:P(AH3)=PH3∙p3PA=0,3∙0,90,805=0,335Ответ: вероятность того, что цель поражена из винтовки третьего типа, равна 33,5%.4) Общее количество винтовок в тире: 1+3+5=9.Из них: 1 – первого типа; 3 – второго типа; 5 – третьего типа.Вероятность гипотез, соответственно равны:PH1=19, PH2=39, PH3=59Полная вероятность события А оставит:PA=PH1∙p1+PH2∙p2+PH3∙p3=19∙0,65+39∙0,7+59∙0,75=0,7222Таким образом, по формуле Байеса получим:P(AH3)=PH3∙p3PA=59∙0,750,7222=0,577Ответ: вероятность того, что цель поражена из винтовки третьего типа, равна 57,7%.Задача №5В семье 6 детей. Считая вероятность рождения мальчика и девочки по 0,5, определить вероятность того, что в данной семье мальчиков не менее 3, но не более 5.РешениеПусть событие А – в семье родился мальчик, тогда Р(А)=0,5.Вероятность того, что в семье от 3 до 5 мальчиков найдем с помощью формулы умножения событий:P3<x<5=P3∙P4∙P5=36∙46∙56=60216=0,2778Ответ: вероятность того, что в семье не менее 3, но и более 5 мальчиков составляет 27,78%.Задача №6Составить закон распределения случайной величины Х. Записать функцию распределения, построить её график. Вычислить числовые характеристики М(Х), D(Х), s(Х).Х-число отказавших элементов в одном опыте с устройством, состоящим из 4 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента 0,2.РешениеДискретная случайная величина X (число отказавших элементов в одном опыте) имеет следующие возможные значения: 0,1,2,3,4.Найдем вероятности для каждого значения.Вероятность того, что ни один элемент не отказал:P0=(1-p)n=(1-0,2)4=0,4096Отказ остальных элементов:P1=Сmn∙pn∙qm-n=С41∙0,21∙0,83=4∙0,2∙0,512=0,4096P2=С4 2∙0,22∙0,82=6∙0,04∙0,64=0,1536P3=С4 3∙0,23∙0,81=4∙0,23∙0,81=4∙0,008∙0,8=0,0256P4=pn=0,24=0,0016Закон распределения будет иметь вид:Z01234P0,40960,40960,15360,02560,0016Сумма вероятностей должна быть равна 1.