Теория вероятностей

Тест № 2, 9 задач ...

Задача 1
При анализе среднедушевого дохода было обследовано 100 семей. Выявлено, что на одного члена семьи в месяц приходится =200 тыс. руб. дохода при S=50 тыс. руб. В предположении нормального закона определите долю семей в городе, доход (X) которых находится в пределах от 136 тыс. руб. до 200 тыс. руб.
Задача 2
Прибыль предприятия за шесть месяцев составила: 5, 7, 4, 12, 11, Х6 (млн. руб.). Учитывая, что =8 млн. руб., определите выборочную дисперсию S2.
Задача 3
По данным 10 испытаний установлено, что на 100 км пробега автомобиль в среднем расходует 10 л бензина и S = 1 л. Определите с вероятностью γ = 0,95 сколько потребуется бензина для поездки к морю, расстояние до которого 2000 км.
Задача 4
С целью оценки популярности лидера партии было опрошено 200 жителей города, из которых 50 его поддержало. С доверительной вероятностью 0,95 определите долю избирателей, на которую в лучшем случае может рассчитывать данный лидер.
Задача 5
Согласно рекламе применения удобрения повышает урожайность пшеницы не менее, чем на 4 ц/га. Удобрения вносили в почву на 17 гектарах, в результате чего был получен урожай в среднем только на 3,5 ц/га выше при S=1 ц/га. Проверить на 5% уровне значимости достоверность рекламы.

Задача 6
По данным рекламы компания контролирует 50% внутреннего рынка региона. Можно ли считать при α=0,05 рекламу добросовестной, если из 240 опрошенных потенциальных клиентов компании, только 96 работают с ней.
Задача 7
Удобрения двух марок вносились в почву соответственно на 10 и 12 гектарах. На этих полях средняя урожайность пшеницы составила 35 и 32 ц/га, при ц/га и ц/га. Можно ли на уровне значимости α=0,01 отдать предпочтение одной из марок удобрений по их влиянию на урожайность.
Задача 8
Можно ли при 5% уровне значимости отдать предпочтение (с целью размещения рекламы) одной из двух телевизионных передач, если из n1=400 опрошенных первую передачу смотрели m1=200 человек, а из n2=200 опрошенных вторую передачу смотрело m2=120 человек.
Задача 9
По результатам n=12 выборочных данных о выручке и массе реализованной сельхозпродукции было выявлено, что выборочная доля дисперсии выручки, вызванная вариацией массы составляет 49%. Можно ли на уровне значимости α=0,05 утверждать, что связь между весом и массой реализованной продукции существует?

Задача 1
При анализе среднедушевого дохода было обследовано 100 семей. Выявлено, что на одного члена семьи в месяц приходится =200 тыс. руб. дохода при S=50 тыс. руб. В предположении нормального закона определите долю семей в городе, доход (X) которых находится в пределах от 136 тыс. руб. до 200 тыс. руб.
Задача 2
Прибыль предприятия за шесть месяцев составила: 5, 7, 4, 12, 11, Х6 (млн. руб.). Учитывая, что =8 млн. руб., определите выборочную дисперсию S2.
Задача 3
По данным 10 испытаний установлено, что на 100 км пробега автомобиль в среднем расходует 10 л бензина и S = 1 л. Определите с вероятностью γ = 0,95 сколько потребуется бензина для поездки к морю, расстояние до которого 2000 км.
Задача 4
С целью оценки популярности лидера партии было опрошено 200 жителей города, из которых 50 е го поддержало. С доверительной вероятностью 0,95 определите долю избирателей, на которую в лучшем случае может рассчитывать данный лидер.
Задача 5
Согласно рекламе применения удобрения повышает урожайность пшеницы не менее, чем на 4 ц/га. Удобрения вносили в почву на 17 гектарах, в результате чего был получен урожай в среднем только на 3,5 ц/га выше при S=1 ц/га. Проверить на 5% уровне значимости достоверность рекламы.

Задача 6
По данным рекламы компания контролирует 50% внутреннего рынка региона. Можно ли считать при α=0,05 рекламу добросовестной, если из 240 опрошенных потенциальных клиентов компании, только 96 работают с ней.
Задача 7
Удобрения двух марок вносились в почву соответственно на 10 и 12 гектарах. На этих полях средняя урожайность пшеницы составила 35 и 32 ц/га, при ц/га и ц/га. Можно ли на уровне значимости α=0,01 отдать предпочтение одной из марок удобрений по их влиянию на урожайность.
Задача 8
Можно ли при 5% уровне значимости отдать предпочтение (с целью размещения рекламы) одной из двух телевизионных передач, если из n1=400 опрошенных первую передачу смотрели m1=200 человек, а из n2=200 опрошенных вторую передачу смотрело m2=120 человек.
Задача 9
По результатам n=12 выборочных данных о выручке и массе реализованной сельхозпродукции было выявлено, что выборочная доля дисперсии выручки, вызванная вариацией массы составляет 49%. Можно ли на уровне значимости α=0,05 утверждать, что связь между весом и массой реализованной продукции существует?

Р(Х)
5
7
4
12
11
9
Дисперсию вычислим по формуле:
Ответ: выборочная дисперсия равна 30
Задача 3
По данным 10 испытаний установлено, что на 100 км пробега автомобиль в среднем расходует 10 л бензина и S = 1 л. Определите с вероятностью γ = 0,95 сколько потребуется бензина для поездки к морю, расстояние до которого 2000 км.
Решение
Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:
Найдем значение t.
При γ= 0,95 и n=20, находим: t=2,093
Окончательный доверительный интервал будет иметь вид:
Значит, бензина потребуется:
Ответ: для поездки к морю потребуется 209,36 л. бензина.
Задача 4
С целью оценки популярности лидера партии было опрошено 200 жителей города, из которых 50 его поддержало. С доверительной вероятностью 0,95 определите долю избирателей, на которую влучшем случае может рассчитывать данный лидер.
Решение:
Найдем относительную частоту поддержки лидера партии:
Найдем t из соотношения:
По таблице значений функции Лапласа находим t=1,96.
Учитывая, что n=200 достаточно велико, используем для отыскания границ доверительного интервала приближенные формулы:
Итак, искомый доверительный интервал:
Ответ: лидер партии может рассчитывать на поддержку от 19% до 31% избирателей.
Задача 5
Согласно рекламе применения удобрения повышает урожайность пшеницы не менее, чем на 4 ц/га. Удобрения вносили в почву на 17 гектарах, в результате чего был получен урожай в среднем только на 3,5 ц/га выше при S=1 ц/га. Проверить на 5% уровне значимости достоверность рекламы.
Решение
Рассчитаем доверительный интервал, в котором будет находиться генеральная средняя величины повышения урожайности на 1 га:
Значение t определяем по таблице распределения Лапласа:
Таким образом, имеем
Ответ: среднее значение генеральной средней величины повышения урожайности на 1 га с вероятностью 0,95 находится в пределах от 3,03 ц/га до 3,97 ц/га. Таким образом, обещанные 4 ц/га не входят в данный промежуток, значит, реклама недостоверна при уровне значимости α = 0,05.
Задача 6