Теория вероятностей и мат. статистика

Вариант 7 ...

Задача 1
Стрелок имеет 4 патрона и ведет стрельбу до первого попадания с вероятностью попадания с вероятностью при одном выстреле p=0,7. Z – число израсходованных патронов. Найти закон распределения Z, вычислить М(Z), Д(Z), написать функцию распределения F(Z), вычислить вероятность событий Z[-1;1,3] и Z[3;8].
Задача 2
В столе лежат 5 белых и 3 желтых конверта. Вынимаем 1 конверт и Х равен 1, если он белый и 0 в противоположном случае. Затем вынимаем два конверта и Y – количество белых конвертов среди двух вынутых. Написать закон распределения системы случайных величин (X, Y).
Задача 3
X -1 0 1
вер. 0,2 0,3 ?
Y 0 1 2
вер. 0,3 ? 0,6

Написать закон распределения случайной величины .
Вычислить М(Z), Д(Z), М(4X+Y), Д(3Y-2X+5), M(X2).
Задача 4
Плотность вероятности случайной величины заданав виде:

Определить А. Вычислить вероятности следующих событий:
1) 0xM; 2) из трех испытаний два раза Х[М;∞].
Задача 5
Случайная величина распределена по нормальному закону N(2;2). Вычислить вероятность следующих событий:
1) Х[М;М+Д]; 2) из 14 испытаний 8 раз Х[М;М+Д].
Задача 6
Вычислить вероятность того, что при пяти испытаниях хотя бы два раза Х попадет в интервал [0;M], если распределено по равномерному закону R[0;6].
Задача 7
Случайный вектор (X;Y) распределен в круге . Найти М(х), М(y), D(x), D(y) и rxy. Указать линии регрессии.
Задача 8
Х и Y независимы и распределены по показательным законам, причем М(Х)=М(Y). Найти М(Х), М(Y), D(X), D(Y), если вероятность попадания вектора в квадрат равна 0,25.

Задача 9
Х и Y нормальные случайные величины, причем М(Х)=1, М(Y)=2, D(X)=D(Y)=5, rxy= -0,5. Найти условную плотность распределения случайного вектора Y, если Х=2.

Задача 1
Стрелок имеет 4 патрона и ведет стрельбу до первого попадания с вероятностью попадания с вероятностью при одном выстреле p=0,7. Z – число израсходованных патронов. Найти закон распределения Z, вычислить М(Z), Д(Z), написать функцию распределения F(Z), вычислить вероятность событий Z[-1;1,3] и Z[3;8].
Задача 2
В столе лежат 5 белых и 3 желтых конверта. Вынимаем 1 конверт и Х равен 1, если он белый и 0 в противоположном случае. Затем вынимаем два конверта и Y – количество белых конвертов среди двух вынутых. Написать закон распределения системы случайных величин (X, Y).
Задача 3
X -1 0 1
вер. 0,2 0,3 ?
Y 0 1 2
вер. 0,3 ? 0,6

Написать закон распределения случайной величины .
Вычислить М(Z), Д(Z), М(4X+Y), Д(3Y-2X+5), M(X2).
Задача 4
Плотность вероятности случайной величины задана в виде:

Определить А. Вычислить вероятности следующих событий:
1) 0xM; 2) из трех испытаний два раза Х[М;∞].
Задача 5
Случайная величина распределена по нормальному закону N(2;2). Вычислить вероятность следующих событий:
1) Х[М;М+Д]; 2) из 14 испытаний 8 раз Х[М;М+Д].
Задача 6
Вычислить вероятность того, что при пяти испытаниях хотя бы два раза Х попадет в интервал [0;M], если распределено по равномерному закону R[0;6].
Задача 7
Случайный вектор (X;Y) распределен в круге . Найти М(х), М(y), D(x), D(y) и rxy. Указать линии регрессии.
Задача 8
Х и Y независимы и распределены по показательным законам, причем М(Х)=М(Y). Найти М(Х), М(Y), D(X), D(Y), если вероятность попадания вектора в квадрат равна 0,25.

Задача 9
Х и Y нормальные случайные величины, причем М(Х)=1, М(Y)=2, D(X)=D(Y)=5, rxy= -0,5. Найти условную плотность распределения случайного вектора Y, если Х=2.

Y
1
1
2
Задача 3
Y
1
2
вер.
0,3
?
0,6
Написать закон распределения случайной величины .
Вычислить М(Z), Д(Z), М(4X+Y), Д(3Y-2X+5), M(X2).
Решение
Для начала найдем недостающие вероятности в таблицах исходя из того правила, что сумма вероятностей равна 1:
Теперь распределения будут иметь вид:
Y
1
2
вер.
0,3
0,1
0,6
Сразу же проведем расчет M(X), D(X), M(Y), D(Y):
Теперь рассчитаем . Возможные значения случайной величины Z=X2+Y есть 0,1,2,3. Найдем вероятности для этих значений:
Так как сочетаний, при которых Z=1,2,3 несколько, то найдем вероятность каждого из них, а потом полученные вероятности перемножим:
Перемножим между собой эти вероятности и получим:
Аналогично рассчитаем для Z=2 и Z=3:
Проверяем: 
Составим ряд распределения для величины Z:
Z
1
2
3
вер.
0,39
0,036
0,034
0,54
Теперь можем рассчитать М(Z) и D(Z):
Далее, используя свойства математического ожидания и дисперсии, получим:
Задача 4
Плотность вероятности случайной величины задана в виде:
Определить А. Вычислить вероятности следующих событий: