Эконометрика

Вариант 3, задачи 1, 2, 10 ...

Задача №1
Для 10 различных семей получены следующие статистические данные величин их накоплений Y (в виде банковских вкладов) и величин их совокупных доходов Х (за месяц) в некоторых условных единицах.
Х 8 11 17 19 29 30 35 37 41 46
У 3 15 19 54 90 147 102 107 250 340
А) Найдите величины:
X ̅,Y ̅,(XY) ̅,(X^2 ) ̅,(Y^2 ) ̅,Var(X),Var(Y),Cov(X,Y),r(X,Y)
Б) Постройте модель парной линейной регрессии Y=a+bX
В) Найдите стандартные оценки Sa, Sb, коэффициент детерминации R2. Оцените достоверность расчетов и их погрешность.
Задача №2

Имеются ежемесячные (номера месяца – переменная Х) данные о выпуске продукции на производственном предприятии (количество – переменная Y) в некоторых единицах:
Х 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
У 4 26 35 56 79 168 298 405 464 480 390 450
Найдите значения параметров a,b,cдля следующих моделей:
Y=a+bX,Y=a+bX+cX^2,Y=a+b∙ln⁡(X),Y=a∙e^bX,Y=a∙b^X,Y=a∙X^b
Вычислите коэффициенты детерминации для них. Выберите наиболее подходящую модель и обоснуйте.
Задача №10

При исследовании выборки из n=24 данных, представляющих собой расходы на электроэнергию Y при различной величине выпуска продукции Х, производственным предприятием получена следующая парная линейная регрессия:
Y=8,5+0,225X
s.e.2,1 0,045
Внизу указаны стандартные ошибки. При этом коэффициент корреляции r=0,55.
Пользуясь критерием Стьюдента, найдите доверительные интервалы для параметров a, b, и проверьте гипотезу r = 0 для следующих уровней значимости: =20%; 10%; 5%; 2,5%; 1%; 0,5%.

Задача №1
Для 10 различных семей получены следующие статистические данные величин их накоплений Y (в виде банковских вкладов) и величин их совокупных доходов Х (за месяц) в некоторых условных единицах.
Х 8 11 17 19 29 30 35 37 41 46
У 3 15 19 54 90 147 102 107 250 340
А) Найдите величины:
X ̅,Y ̅,(XY) ̅,(X^2 ) ̅,(Y^2 ) ̅,Var(X),Var(Y),Cov(X,Y),r(X,Y)
Б) Постройте модель парной линейной регрессии Y=a+bX
В) Найдите стандартные оценки Sa, Sb, коэффициент детерминации R2. Оцените достоверность расчетов и их погрешность.
Задача №2

Имеются ежемесячные (номера месяца – переменная Х) данные о выпуске продукции на производственном предприятии (количество – переменная Y) в некоторых единицах:
Х 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
У 4 26 35 56 79 168 298 405 464 480 390 450
Найдите значения параметров a,b,c для следующих моделей:
Y=a+bX,Y=a+bX+cX^2,Y=a+b∙ln⁡(X),Y=a∙e^bX,Y=a∙b^X,Y=a∙X^b
Вычислите коэффициенты детерминации для них. Выберите наиболее подходящую модель и обоснуйте.
Задача №10

При исследовании выборки из n=24 данных, представляющих собой расходы на электроэнергию Y при различной величине выпуска продукции Х, производственным предприятием получена следующая парная линейная регрессия:
Y=8,5+0,225X
s.e.2,1 0,045
Внизу указаны стандартные ошибки. При этом коэффициент корреляции r=0,55.
Пользуясь критерием Стьюдента, найдите доверительные интервалы для параметров a, b, и проверьте гипотезу r = 0 для следующих уровней значимости: =20%; 10%; 5%; 2,5%; 1%; 0,5%.

Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:A=yi-yx:yin∙100%Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.A=15,8510∙100%=158,5%Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.Задача №2Имеются ежемесячные (номера месяца – переменная Х) данные о выпуске продукции на производственном предприятии (количество – переменная Y) в некоторых единицах:Х123456789101112У426355679168298405464480390450Найдите значения параметров a,b,c для следующих моделей:Y=a+bX, Y=a+bX+cX2, Y=a+b∙lnX, Y=a∙ebX, Y=a∙bX, Y=a∙XbВычислите коэффициенты детерминации для них. Выберите наиболее подходящую модель и обоснуйте.Решение:1. Определим параметры уравнения Y=a+bXXYXYХ2Y(X)(Yi-Y(X))2(Yi-Y)21441-39,891926,3354717,0122652410,62236,5444908,671335105961,13682,7841175,17145622416111,643095,8133093,67157939525162,156913,9225254,516168100836212,661994,524888,347298208649263,171213,133610,018405324064313,688339,3427916,849464417681364,199962,0451113,67104804800100414,74264,0958604,34113904290121465,215656,5423129,34124505400144515,724319,1244979,34Среднее6,5237,922148,3354,17237,924050,3534449,24Сумма782855257806502854,9848604,12413390,92Как и в предыдущей задаче,:b=XY-X∙YX2-(X)2 a=Y-b∙Xb=2148,33-6,5∙237,9254,17-6,52=50,51a=237,92-50,51∙6,5=-90,4Y=-90,4+50,51∙XYX=-90,4+50,51∙XiТеперь приступим к расчету коэффициента детерминации:D=1-Yi-YX2Yi-Y2=1-48604,12413390,92=0,88Между месяцем и объемом производства есть сильная взаимосвязь. Объем производства на 88% зависит от месяца.2. Параметры уравнения Y=a+bX+cX2 определим из следующей системы уравнений:C∙X4+B∙X3+A∙X2=YX2C∙X3+B∙X2+A∙X=YXC∙X2+B∙X+A∙n=YДля удобства расчетов составим вспомогательную таблицу с данными:XYX2X3X4YX2YXY(X)(Yi-Y(X))2141114425,91480,0522648165210449,85568,823359278110531573,451478,40456166425622489696,711657,30579251256253951975119,631650,80616836216129610086048142,21665,127298493432401208614602164,4517835,608405645124096324025920186,3547807,829464817296561417637584207,9165582,0910480100100010000480048000229,1362935,7611390121133114641429047190250,0119597,2012450144172820736540064800270,5532202,30Среднее6,5237,9254,17507,005059,172148,3320619,83151,3521038,44Сумма782855650608460710257802474381816,16252461,2760710C+6084B+650A=2474386084C+650B+78A=25780650C+78B+12A=2855Заданная система уравнений имеет единственное решение:C=1,63; B=24,45; A=-0,17Таким образом, уравнение имеет вид:Y=1,63+24,45X-0,17X2D=1-Yi-YX2Yi-Y2=1-252461,27413390,92=0,393. Определим параметры уравнения Y=a+b∙lnXДля начала обозначим:X=ln⁡(X)Приведем уравнение к линейной модели:Y=a+bXТогда:b=XY-X∙YX2-(X)2 a=Y-b∙XВспомогательная таблица будет иметь вид:XYX2Y(X)(Yi-Y(X))2140,0000,00-141,7921254,722260,6918,020,4815,81103,823351,1038,451,21108,005329,224561,3977,631,92173,4113785,525791,61127,152,59224,1521067,9161681,79301,023,21265,69526,2272981,95579,883,79300,657,0384052,08842,174,32331,015474,1394642,201019,514,83357,7911279,94104802,301105,245,30381,759653,3113902,40935,185,75403,42180,08124502,481118,216,17423,2718,07Среднее6,50237,921,67513,543,30236,928198,33Сумма78,002855,0019,996162,4639,572843,0198379,96Определим параметры уравнения регрессии:b=513,54-1,67∙237,923,3-1,672=227,37a=237,92-227,37∙1,67=-141,79Y=-141,79+227,37∙ln⁡(X)Коэффициент детерминации будет равен:D=1-Yi-YX2Yi-Y2=1-98379,96413390,92=0,764. Параметры уравнения Y=a∙ebXДля расчетов проведем линеаризацию функции:lnY=lna+bXПримем следующие замены: Y=lnY, a=ln⁡(a)Переводим функцию к линейному виду: Y=a+bXТеперь получим: b=XY-X∙YX2-(X)2 a=Y-b∙XСоставим таблицу:ХYX2Y(X)(Yi-Y(X))2141,391,391,0014,58112,032263,266,524,0021,5419,893353,5610,679,0031,8110,154564,0316,1016,0046,9981,265794,3721,8525,0069,3992,2761685,1230,7436,00102,494291,5872985,7039,8849,00151,3721500,5384056,0048,0364,00223,5632920,2394646,1455,2681,00330,1817907,40104806,1761,74100,00487,6558,55113905,9765,63121,00720,22109047,52124506,1173,31144,001063,71376643,87Среднее6,50237,924,8235,9354,17271,9646890,44Сумма78,002855,0057,81431,11650,003263,51562685,30b=35,93-6,5∙4,8254,17-6,52=0,39a=4,82-0,39∙6,5=2,29a=lna⇒a=ea=e2,29=2,7182,29=9,875Уравнение регрессии будет иметь вид: Y=9,875∙e0,39XD=1-Yi-YX2Yi-Y2=1-562685,30413390,92=-0,36D0 – данная модель не объясняет эту зависимость.5. Определим параметры уравнения Y=a∙bX.