Эконометрика

Задачи по эконометрике с пояснениями ...

Задача 1

По результатам опроса изучается зависимость объема потребления благ от персонального дохода
№ наблюдения Персональный доход, х, грн Объем потребления благ, у, грн
1 750 400
2 810 480
3 820 450
4 900 530
5 910 570
6 1010 580
7 1070 630
8 1110 650
9 1210 680
10 1410 830
1) Вычислить коэффициент корреляции между доходом и потреблением и коэффициент детерминации
2) Уравнение линейной регрессии потребления от дохода
3) Изобразить корреляционное поле и линию регрессии графически
4) Найти ошибку коэффициента корреляции
5) Оценить надежность коэффициента корреляции при уровне значимости 0,05.
6) Проверить является ли полученная эконометрическая модель адекватной по критерию Фишера при уровне значимости 0,05.
7) Вычислить коэффициент эластичности объема потребления от дохода коэффициент эластичности по доходу:
8) Определить, на сколько единиц в среднем увеличится потребление, если доход увеличится на 100 грн.
9) Каким будет ожидаемый объем потребления, если доход составит 1500 грн?
Задача 2
Есть статистические данные о спросе на сахар в Украине, а также ведомости о ценах и средний доход на душу населения.
№ наблюдения Спрос на сахар на душу населения, y, кг Цена, пересчитанная по индексу цен, x1, грн/кг Месячный доход на душу населения, x2, грн/мес
1 72 2,7 1150
2 67 2,6 1050
3 57 2,5 1025
4 37 3,1 775
5 32 3,3 700
6 35 3 550
7 43 2,5 875
8 49 2,6 1025
9 57 2,7 1075
10 61 2,8 1100
Для получения эконометрической функции спроса на сахар выполнить следующие вычисления.
1) Вычислить коэффициенты корреляции между каждой парой признаков.
2) Составить корреляционную матрицу
3) Вычислить множественный коэффициент детерминации и коэффициент множественной корреляции
4) Вычислить частные коэффициенты корреляции спроса от цены и спроса от дохода.
5) По корреляционной матрице получить линейную регрессионную модель спроса от цены и дохода
6) По критерию Стьюдента проверить, является ли значимым множественный коэффициент корреляции при уровне значимости 0,05.
7) По критерию Фишера проверить, является ли полученная эконометрическая модель адекватной при уровне значимости 0,05.
8) На сколько единиц изменится спрос на сахар, если:
- цену увеличить на 1 грн.;
- доход увеличить на 1 тыс. грн.
9) Вычислить коэффициенты эластичности спроса от цены и спроса от дохода.Задача 3
Есть статистические данные по группе однотипных предприятий одной отрасли.
№ предприятия Среднегодовая учетная численность, х1, тыс. чел. Балансовая стоимость основных средств, х2, млн. грн. Валовая продукция, у, млн. грн.
1 1,5 105 79,2
2 4,4 345 264
3 3,4 225 237,6
4 2,8 165 145,2
5 1,1 120 66
6 2,2 225 132
7 2,4 240 158,4
8 3,8 330 250,8
Необходимо получить степенную производственную функцию y=a∙x_1^(b_1 )∙x_2^(b_2 )
Для решения задачи выполнить следующие вычисления:
Привести степенную модель к логлинейной форме, для чего от исходных признаков перейти к их логарифмам.
2) Для логарифмов признаков получить корреляционную матрицу.
3) Для логарифмов признаков получить корреляционную матрицу.
4) Перейти от логлинейной модели к степенной модели относительно исходных признаков.
5) Для полученной производственной функции вычислить:
- коэффициенты эластичности валовой продукции по факторному признаку;
- предельные продуктивности по факторным признакам.
Проанализировать полученные результаты и сформулировать выводы.
Задача 4
Изучается зависимость заработной платы работников предприятия от уровня их образования (высшее – В, среднее – С) и стажа работы.
Уровень образования Стаж работы, х, лет Заработная плата, у, грн/мес.
В 17 1030
В 10 890
С 17 840
С 12 810
В 8 760
С 7 680
В 12 830
С 10 730
В 14 980
С 15 780
Получить эконометрическую модель, которая описывает зависимость заработной платы от уровня образования и стажа работы y=a+b_1∙d+b_2∙x_2,
где d – фиктивная переменная, характеризующая уровень образования.
Для решения задачи выполнить следующие вычисления:
Ввести фиктивную переменную d для описания уровня образования работников.
2) Получить корреляционную матрицу для переменных y, d, x.
3) По корреляционной матрице получить уравнение регрессии.
4) Получить частный коэффициент корреляции «заработная плата – уровень образования».
5) По частному коэффициенту корреляции определить значимость корреляционной связи между заработной платой и уровнем образования при уровне значимости 0,05.
6) Определить, на сколько гривен в среднем заработная плата работника с высшим образованием больше заработной платы работника со средним образованием при том же стаже работы.
Проанализировать результаты и сформулировать выводы

Задача 1

По результатам опроса изучается зависимость объема потребления благ от персонального дохода
№ наблюдения Персональный доход, х, грн Объем потребления благ, у, грн
1 750 400
2 810 480
3 820 450
4 900 530
5 910 570
6 1010 580
7 1070 630
8 1110 650
9 1210 680
10 1410 830
1) Вычислить коэффициент корреляции между доходом и потреблением и коэффициент детерминации
2) Уравнение линейной регрессии потребления от дохода
3) Изобразить корреляционное поле и линию регрессии графически
4) Найти ошибку коэффициента корреляции
5) Оценить надежность коэффициента корреляции при уровне значимости 0,05.
6) Проверить является ли полученная эконометрическая модель адекватной по критерию Фишера при уровне значимости 0,05.
7) Вычислить коэффициент эластичности объема потребления от дохода коэффициент э ластичности по доходу:
8) Определить, на сколько единиц в среднем увеличится потребление, если доход увеличится на 100 грн.
9) Каким будет ожидаемый объем потребления, если доход составит 1500 грн?
Задача 2
Есть статистические данные о спросе на сахар в Украине, а также ведомости о ценах и средний доход на душу населения.
№ наблюдения Спрос на сахар на душу населения, y, кг Цена, пересчитанная по индексу цен, x1, грн/кг Месячный доход на душу населения, x2, грн/мес
1 72 2,7 1150
2 67 2,6 1050
3 57 2,5 1025
4 37 3,1 775
5 32 3,3 700
6 35 3 550
7 43 2,5 875
8 49 2,6 1025
9 57 2,7 1075
10 61 2,8 1100
Для получения эконометрической функции спроса на сахар выполнить следующие вычисления.
1) Вычислить коэффициенты корреляции между каждой парой признаков.
2) Составить корреляционную матрицу
3) Вычислить множественный коэффициент детерминации и коэффициент множественной корреляции
4) Вычислить частные коэффициенты корреляции спроса от цены и спроса от дохода.
5) По корреляционной матрице получить линейную регрессионную модель спроса от цены и дохода
6) По критерию Стьюдента проверить, является ли значимым множественный коэффициент корреляции при уровне значимости 0,05.
7) По критерию Фишера проверить, является ли полученная эконометрическая модель адекватной при уровне значимости 0,05.
8) На сколько единиц изменится спрос на сахар, если:
- цену увеличить на 1 грн.;
- доход увеличить на 1 тыс. грн.
9) Вычислить коэффициенты эластичности спроса от цены и спроса от дохода.Задача 3
Есть статистические данные по группе однотипных предприятий одной отрасли.
№ предприятия Среднегодовая учетная численность, х1, тыс. чел. Балансовая стоимость основных средств, х2, млн. грн. Валовая продукция, у, млн. грн.
1 1,5 105 79,2
2 4,4 345 264
3 3,4 225 237,6
4 2,8 165 145,2
5 1,1 120 66
6 2,2 225 132
7 2,4 240 158,4
8 3,8 330 250,8
Необходимо получить степенную производственную функцию y=a∙x_1^(b_1 )∙x_2^(b_2 )
Для решения задачи выполнить следующие вычисления:
Привести степенную модель к логлинейной форме, для чего от исходных признаков перейти к их логарифмам.
2) Для логарифмов признаков получить корреляционную матрицу.
3) Для логарифмов признаков получить корреляционную матрицу.
4) Перейти от логлинейной модели к степенной модели относительно исходных признаков.
5) Для полученной производственной функции вычислить:
- коэффициенты эластичности валовой продукции по факторному признаку;
- предельные продуктивности по факторным признакам.
Проанализировать полученные результаты и сформулировать выводы.
Задача 4
Изучается зависимость заработной платы работников предприятия от уровня их образования (высшее – В, среднее – С) и стажа работы.
Уровень образования Стаж работы, х, лет Заработная плата, у, грн/мес.
В 17 1030
В 10 890
С 17 840
С 12 810
В 8 760
С 7 680
В 12 830
С 10 730
В 14 980
С 15 780
Получить эконометрическую модель, которая описывает зависимость заработной платы от уровня образования и стажа работы y=a+b_1∙d+b_2∙x_2,
где d – фиктивная переменная, характеризующая уровень образования.
Для решения задачи выполнить следующие вычисления:
Ввести фиктивную переменную d для описания уровня образования работников.
2) Получить корреляционную матрицу для переменных y, d, x.
3) По корреляционной матрице получить уравнение регрессии.
4) Получить частный коэффициент корреляции «заработная плата – уровень образования».
5) По частному коэффициенту корреляции определить значимость корреляционной связи между заработной платой и уровнем образования при уровне значимости 0,05.
6) Определить, на сколько гривен в среднем заработная плата работника с высшим образованием больше заработной платы работника со средним образованием при том же стаже работы.
Проанализировать результаты и сформулировать выводы

Главным ее свойством является то, что по главной диагонали находятся единичные значения.1-0,640,91 -0,64 1 -0,680,91-0,681Вычислить множественный коэффициент детерминации и коэффициент множественной корреляцииМножественный коэффициент корреляции показывает тесноту взаимосвязи между факторами х и y.ryx1x2=ryx12+ryx22-2∙ryx1∙ryx2∙rx1x21-rx1x2=0,41+0,82-2∙-0,64∙0,91∙(-0,68)1-(-0,68)=0,51Множественный (совокупный) коэффициент детерминации показывает, совокупное влияние факторов х на результат y и рассчитывается как квадрат множественного коэффициента корреляции.D=ryx1x22=0,512=0,26Вычислить частные коэффициенты корреляции спроса от цены и спроса от дохода.Частные коэффициенты корреляции показывают насколько один фактор влияет на результат при неизменности остальных факторов:ryx1/x2=rx1y-rx2y∙rx1x21-rx1x22∙1-rx2y2; ryx2/x1=rx2y-rx1y∙rx1x21-rx1x22∙1-rx1y2Частный коэффициент корреляции спроса от цены при неизменном доходе:ryx1/x2=-0,64-0,91∙(-0,68)1-(-0,68)2∙1-(0,91)2=-0,030,31=-0,09Частный коэффициент корреляции спроса от дохода при неизменной цене:ryx2/x1=0,91--0,64∙(-0,68)1-(-0,68)2∙1-(-0,64)2=0,470,56=0,83По корреляционной матрице получить линейную регрессионную модель спроса от цены и дохода. y=a+b1x1+b2x2Для расчета параметров уравнения регрессии используем систему уравнений вида:yi=n∙a+b1∙x1i+b2∙x2ix1iyi=a∙x1i+b1∙x1i2+b2∙x1ix2ix2iyi=a∙x2i+b1∙x1ix2i+b2∙x2i2№yx1x2x12x22x1yx2yx1x2y21722,711507,291322500194,482800310551842672,610506,761102500174,270350273044893572,510256,251050625142,5584252562,532494373,17759,61600625114,7286752402,513695323,370010,89490000105,622400231010246353550930250010519250165012257432,58756,25765625107,5376252187,518498492,610256,761050625127,450225266524019572,710757,291155625153,9612752902,5324910612,811007,841210000170,86710030803721Σ51027,8932577,94905062513964981252559527760Σ/n512,78932,57,79905062,5139,649812,52559,52776подставив данные, имеем:510=10∙a+27,8∙b1+9325∙b21396=27,8∙a+77,94∙b1+25595∙b2498125=93250∙a+25595∙b1+9050625∙b2a = 1,47; b1 = –2,66; b2 = 0,06y=1,47-2,66∙x1+0,06∙x2По критерию Стьюдента проверить, является ли значимым множественный коэффициент корреляции при уровне значимости 0,05.Оценка значимости множественного коэффициента с помощью t-критерия Стьюдента:tфакт=ryx1x2mryx1x2mryx1x2=1-ryx1x22n-m-1=1-0,6710-2-1=0,22tфакт=0,820,22=3,73Табличное значение равно tтабл= 2,365. Полученный коэффициент множественной корреляции значимый.7) По критерию Фишера проверить, является ли полученная эконометрическая модель адекватной при уровне значимости 0,05.Используем критерий Фишера для проверки адекватности:F=r21-r2∙n-m-1m=0,5121-0,512∙10-2-12=1,24Табличное значение равно 4,74. Это значит, что полученная нами модель неадекватна и может применятся лишь к исходным значениям.На сколько единиц изменится спрос на сахар, если:- цену увеличить на 1 грн.;- доход увеличить на 1 тыс. грн.Как изменится результат при изменении фактора на 1 единицу, показывают так называемые коэффициенты регрессии b. То есть, при увеличении цены на 1 грн спрос снижается на 2,66 кг; при увеличении дохода на 1 тыс. грн. спрос увеличится на 0,06 кг.Вычислить коэффициенты эластичности спроса от цены и спроса от дохода.Теперь вычислим как же изменится спрос при изменении цены и дохода на 1% с помощью показателей эластичности.Эyx1=b1∙x1y-2,66∙2,7851=-0,15 Эyx2=b2∙x2y=0,06∙932,551=1,12Проанализировать полученные результаты и сформулировать выводы.Цена и месячный доход потребителя связаны со спросом на сахар. Совместное их влияние составляет 51%, а 49% занимают другие факторы, не рассматриваемые в задаче. Также связь существует между парами факторов: между спросом и ценой – слабая обратная связь (если цена увеличится, спрос снизится), а между доходом и спросом – тесная и прямая (если доход увеличится, увеличится и спрос). Рост цены на сахар на 1 грн. снизит спрос на 2,66 кг, а повышение дохода потребителей на 1 грн. повысит спрос на 0,06 кг. Если цена вырастет на 1%, спрос упадет на 0,14% (неэластичный спрос), а если доход вырастет на 1%, спрос повысится на 1,12% (эластичный спрос)Задача 3Есть статистические данные по группе однотипных предприятий одной отрасли.№ предприятияСреднегодовая учетная численность, х1, тыс. чел.Балансовая стоимость основных средств, х2, млн. грн.Валовая продукция, у, млн. грн.11,510579,224,434526433,4225237,642,8165145,251,11206662,222513272,4240158,483,8330250,8Необходимо получить степенную производственную функцию y=a∙x1b1∙x2b2Для решения задачи выполнить следующие вычисления:Привести степенную модель к логлинейной форме, для чего от исходных признаков перейти к их логарифмам.При построении степенной эконометрической модели используется метод «линеаризации переменных», суть которого – замена переменных их логарифмами.ln(y)=ln(a)+b1∙ln(x1)+b2∙ln(x2)Заменим: Y=ln(y), X1=ln(x1), X2=ln(x2), A=ln(b)Y=A+b1∙X1+b2∙X2Получим новые исходные данные для решения задачи:№X1X2Y10,414,654,3721,485,845,5831,225,425,4741,035,114,9850,104,794,1960,795,424,8870,885,485,0781,345,805,52Для логарифмов признаков получить корреляционную матрицу.№YX1X2Y-Yср(Y-Yср)2X1- X1 ср(X1-X1ср)2X2- X2 ср(X2-X2ср)2(Y-Yср) × (X1-X1ср)(Y-Yср) ×(X2-X2ср)(X1-X1ср)× (X2-X2ср)14,370,414,65-0,640,41-0,500,25-0,660,440,320,420,3325,581,485,840,570,330,580,330,530,280,330,30,335,471,225,420,460,210,320,0980,100,010,150,050,0344,981,035,11-0,030,000,130,02-0,210,04-0,0030,01-0,0354,190,14,79-0,820,67-0,810,65-0,530,270,660,430,4264,880,795,42-0,120,02-0,120,010,100,010,01-0,01-0,0175,070,885,480,060,00-0,030,000,170,03-0,0020,01-0,00485,521,345,80,520,260,430,190,490,240,220,250,21Σ40,067,2542,510,001,90,001,540,001,321,681,451,26Σ/n5,010,915,310,000,240,000,190,000,160,210,180,16Как и в предыдущей задаче, для составления матрицы рассчитаем парные коэффициенты корреляции.rYX1=(Yi-Y)∙(X1i-X1)(Yi-Y)2∙(X1i-X1)2=1,681,9∙0,66=1,51rYX2=(Yi-Y)∙(X2i-X2)(Yi-Y)2∙(X2i-X2)2=1,451,9∙1,32=0,8rX1X2=(X1i-X1)∙(X2i-X2)(X1i-X1)2∙(X2i-X2)2=1,260,66∙1,32=1,3511,510,8 1,51 1 1,350,81,351По корреляционной матрице вычислить логлинейное уравнение регрессии.Проведем расчет коэффициентов регрессии с помощью системы уравнения:Yi=n∙A+b1∙X1i+b2∙X2iX1iYi=A∙X1i+b1∙X1i2+b2∙X1iX2iX2iYi=A∙X2i+b1∙X1iX2i+b2∙X2i240,06=8∙A+7,25∙b1+42,51∙b237,99=7,25∙A+8,11∙b1+39,78∙b2214,32=42,51∙A+39,78∙b1+227,21∙b2A = 2,73; b1 = 0,86; b2 = 0,28y=2,73+0,86∙x1+0,28∙x2Перейти от логлинейной модели к степенной модели относительно исходных признаков.