Статистика 6вариант ТюмГу

К.р. по статистике(6 задач) 6 вариант ТюмГу ...

Задача 1
Имеются следующие данные о населении Тюменской области за 2003 -2004года
Задача 2 .....
Имеются следующие данные за квартал (90дней) об использовании рабочего времени (чел-дней):
Отработано всего 64950
Целодневные простои 25
Число неявок на работу всего 17195
В том числе:
Очередные отпуска, праздничные и выходные 12300
Отработано всего чел-час 467640
В том числе:
В сверхурочное время 12990
Средняя продолжительность раб. Дня 8часов
.......

Задача 1
Имеются следующие данные о населении Тюменской области за 2003 -2004года
Задача 2 .....
Имеются следующие данные за квартал (90дней) об использовании рабочего времени (чел-дней):
Отработано всего 64950
Целодневные простои 25
Число неявок на работу всего 17195
В том числе:
Очередные отпуска, праздничные и выходные 12300
Отработано всего чел-час 467640
В том числе:
В сверхурочное время 12990
Средняя продолжительность раб. Дня 8часов
.......

20
4
61
25
5
57
26
6
44
27
7
65
28
8
76
33
9
100
34
10
77
38
11
66
40
12
70
41
13
70
41
14
68
43
15
81
46
16
85
47
17
86
47
18
78
48
19
77
48
20
71
50
21
73
50
22
71
52
23
70
54
24
88
58
25
86
60
Проведите статистический анализ полученных данных.
Для этой цели:
I 1) Постройте статистический ряд школ по проценту фактически поступивших в вузы, образовав 4 группы с равными интервалами. Постройте график ряда распределения.
2) Рассчитайте характеристики ряда школ по проценту фактически поступивших в вузы: среднюю арифметическую, среднее линейное отклонение, среднее квадратичное отклонение, дисперсию, коэффициент вариации.
При расчете средней арифметической и среднего квадратического отклонения примените способ моментов.
Сделайте выводы.
II 1) С вероятностью 0,954 определите ошибку среднего процента фактически поступивших в вузы и границы, в которых будет процент фактически поступивших в вузы в генеральной совокупности.
2) С вероятностью 0,954 определите ошибку доли школ, у которых %фактически поступивших более 50%, и границы, в которых будет находится эта доля в генеральной совокупности. Сделайте выводы.
III 1) Методом аналитической группировки установите характер связи между % школьников, имеющих намерение поступить в вузы, и % фактически поступивших.
Результаты оформите в таблице. Сделайте выводы
2) Измерьте тесноту корреляционной связи между процентом школьников, имеющих намерение поступить в вузы, и % фактически поступивших эмпирическим корреляционным отношением.
Поясните его смысл.
3) вычислите параметры линейного уравнения связи между %школьников, имеющих намерение поступить в вузы, и процентом фактически поступивших. Поясните смысл коэффициента регрессии.
4) рассчитайте теоретическое корреляционное отношение, поясните его смысл.
5) Сравните результаты анализа связи методом аналитической группировки и регрессионно-корреляционным методом.
Решение
I 1. Определим размер интервала = ;
где – величина интервала,
, - максимальное и минимальное значение интервала в совокупности,
n- число групп.
n = 4; = 60; =4 = = 14
Определим границы группы по школам.
Номер группы
Нижняя граница
Верхняя граница
1
4
18
2
18
32
3
32
46
4
46
60
Результаты группировки оформим в виде таблицы:
Группы
№ совокупности
Частота fi
4 - 18
1,2
2
18 - 32
3,4,5,6,7
5
32 - 46
8,9,10,11,12,13,14,15
8
46 - 60
16,17,18,19,20,21,22,23,24,25
10
По полученным данным строим график ряда распределения
Рис. 1 График ряда распределения школ по % фактически поступивших в вузы
2) Рассчитываем характеристику ряда школ по проценту фактически поступивших в вузы:
а) Среднее арифметическое отклонение с применением способа моментов.
Данный метод называется так же методом расчета от условного нуля.
Этот способ расчета находит отражение в следующей формуле:
где  - арифметическое отклонение
 - сумма вариантов; 
 - сумма частот;
 – какое либо произвольное число;
 – произвольное постоянное число в качестве «условного нуля».
Так как в нашем случае данные представлены в виде интервального ряда распределения, то принцип расчета средней остается прежним, но предварительно определяется среднее значение признака для каждого интервала, представляющее полусумму нижнего и верхнего значений интервала:  ,
где  – нижняя граница интервала;
 – верхняя граница интервала.
Вычислим среднее значение признака для каждого интервала
№
х
1
4 - 18
11
2
2
18 - 32
25
5
3
32 - 46
39
8
4
46 - 60
53
10
В качестве условного нуля выбирается произвольное постоянное число .
Обычно это вариант ряда с наибольшей частотой =10, поэтому
А = 53
а) Покажем расчет средней арифметической способом моментов (по данным школ поступивших в вузы):
№
(c=14)
 (k=0,58)
1
11
2
-42
-3
3,45
-10,35
2
25
5
-28
-2
8,62
-17,24
3
39
8
-14
-1
13,79
-13,79
4
53
10
17,24
25
43,1
-41,38
Воспользуемся формулой: 
= -41,38/43,1 х14 +53 = -13,44+53 =39,56 - среднее арифметическое отклонение ряда распределения по % фактически поступавших в вузы.
б) Среднее линейное отклонение, находится по формуле: - для сгруппированных данных (взвешенное отклонение).
Исчислим среднее линейное отклонение взвешенного (по данным выборки):
№
1
11
2
28,56
57,12
2
25
5
14,56
72,8
3
39
8
0,56
4,48
4
53
10
13,44
134,4
25
57,12
268,8
d = 268,8/25 = 10,752 взвешенное среднее линейное отклонение ряда распределения по % фактически поступивших в вузы.
в) Среднее квадратическое отклонение с применением способа моментов, находится по формуле:  - взвешенное среднее квадратическое отклонение.
Вычислению среднего квадратического отклонения предшествует расчет дисперсии, так как среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии:  - дисперсия взвешенная.
г) Покажем расчет дисперсии по способу моментов (по данным выборки):
№
( =14)
 (k=0,58)
1
2
3
4
5
6
7
8
1
11
2
-42
-3
3,45
-10,35
9
31,05
2
25
5
-28
-2
8,62
-17,24
4
34,48
3
39
8
-14
-1
13,79
-13,79
1
13,79
4
53
10
17,24
25
43,1
-41,38
79,32
Поясним проведенные расчеты.
Воспользуемся тем, что уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину не изменяет дисперсии.
Применяя это свойство, можно исчислить дисперсию не по заданным вариантам, а по отклонениям их от какого-то постоянного числа.
В рядах распределения с равными интервалами за постоянное число принято брать варианту ряда с наибольшей частотой А =53  (расчеты см. п. а) среднеарифметическое отклонение).
Отнимая это число от каждой варианты, получим значения признака, представленные в гр. 3 табл.
Отклонение от постоянной условной варианты в четвертой группе равно нулю.
Используя третье свойство дисперсии, уменьшаем все варианты и частоты в несколько раз.
Для всех вариант кратным числом является величина интервала ( =14), а для всех частот кратным является число (k=0,58).
Разделив  на 14, получим упрощенные значения признака, приведенные в гр. 4. Разделив  на 2, получим упрощенные значения частот, приведенные в гр. 5.
Используя оба свойства дисперсии и воспользовавшись формулой
, получим следующую формулу для расчета дисперсии: , или в развернутом виде: 
Определим дисперсию:
σ =14х= 196 х = 180,04
σ =180,04 - дисперсия ряда распределения по поступившим в вузы
Среднее квадратическое отклонение ряда распределения по поступившим вузы определяется по формуле: σ = =13,42
д) Найдем коэффициент вариации, который по следующей формуле: ν
Подставим уже известные нам значения в данную формулу:
ν = 13,42/39,56 х 100% = 33,9%
Выводы:
39,56 - среднее арифметическое отклонение ряда распределения школ по проценту фактически поступивших в вузы;
10,752 взвешенное среднее линейное отклонение ряда распределения по % фактически поступившим в вузы;
12,86 - дисперсия ряда распределения по поступившим в вузы;
3,586 - среднее квадратическое отклонение ряда распределения школ по поступившим в вузы;
ν = 33,9% <30%÷70% - разброс значений признака вокруг вариация умеренная.
II 1) Среднее значение по школ поступивших в вузы по выборке составляет 33,9%, коэффициент вариации больше 30%, отсюда следует, что вариация умеренная.
Ошибка: = = =5,14
Границы, в которых будет находиться средний % школ фактически поступивших в вузы в генеральной совокупности:
38,92 -5,14 ≤≤38,92 +5,14
33,78 ≤≤44,06
2) школы, у которых % поступивших в вузы превышает 50%, составляет 4школы
4/25 х 100% = 16%
Границы доли: 16 -5,14 ≤≤16 +5,14
10,86 ≤≤21,14
Вывод: доли школ, у которых % поступивших учеников в вузы превышает 50%, составляет 16%, с вероятностью 0,954 данная доля в генеральной совокупности находится в пределах от 10,86% до 21,14%.
III 1) При выполнении группировки школ мы установили, характер связи между школьникам, которые имеют намерение поступить в вузы и уже поступившими в них, видно что связь пропорциональная.
2) Эмпирическое корреляционное отношение определяется по формуле:
3) Межгрупповая дисперсия результативного признака по школам:
= ((11-38,92)х 2 + (25-38,92)х 5 + (39-38,92)х 8 +(53-38,92)х 10)/25 = (1559,05 +968,83 +0,05+1982,46)/25 =4510,39/25 =180,42
Дисперсия первой группы 0,08
Дисперсия второй группы 0,2
Дисперсия третьей группы 0,32
Дисперсия четвертой группы 0,4
Средняя внутригрупповая дисперсия: σ= = 0,309
Общая дисперсия: 180,42+0,309= 180,729
Эмпирическое корреляционное отношение:
= = 24,16
Показатель эмпирического корреляционного отношения больше 1, то есть значительная часть вариации результативного признака зависит от вариации факторного признака.
3) Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.
Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).
Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии. Но только в том случае, если выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена (ε) и независимой переменной (x). Формально критерий МНК можно записать так:
S = ∑(yi - y*i)2 → min
Система нормальных уравнений.
a•n + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x2 = ∑y•x
На основании наших данных система уравнений будет иметь вид:
25a + 1810 b = 973
1810 a + 135074 b = 72626
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0,5411, a = -0,2586
Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):
y = 0,5411 x – 0,2586
Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.
х
у
х*х
х*у
у*у
54
4
2916
16
216
86
13
7396
169
1118
50
20
2500
400
1000
61
25
3721
625
1525
57
26
3249
676
1482
44
27
1936
729
1188
65
28
4225
784
1820
76
33
5776
1089
2508
100
34
10000
1156
3400
77
38
5929
1444
2926
66
40
4356
1600
2640
70
41
4900
1681
2870
70
41
4900
1681
2870
68
43
4624
1849
2924
81
46
6561
2116
3726
85
47
7225
2209
3995
86
47
7396
2209
4042
78
48
6084
2304
3744
77
48
5929
2304
3696
71
50
5041
2500
3550
73
50
5329
2500
3650
71
52
5041
2704
3692
70
54
4900
2916
3780
88
58
7744
3364
5104
86
60
7396
3600
5160
1810
973
135074
42625
72626
Так как коэффициент регрессии (параметр b уравнения) положителен, то существует прямая корреляционная связь. Определенный коэффициент регрессии показывает, что существует связь между процентом школьников, которые могут поступить в вузы и процентом школьников , которые уже поступили в них.
4) Теоретическое корреляционное отношение для линейной связи равно коэффициенту корреляции
= = = = == -2,35
Рассчитанный показатель менее 0,3, следовательно, корреляционная связь между показателями очень слабая.
Вывод: Проведенный нами анализ связи методом аналитической группировки и корреляционно-регрессионным методом показал, что связь между показателями прямо пропорциональная.
Однако, второй метод позволил более точно определить качество и степень связи показателей.
Задача 2
Имеются следующие данные о числе учреждений Сберегательного банка:
Годы
Число учреждений,
единиц
1983
743
1984
749
1985
750
1986
754