Эконометрика СГЭУ 18 вариант

Эконометрика СГЭУ 18 вариант ...

Задание:
1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи между коэффициентом младенческой смертности и средней ожидаемой продолжительностью жизни.
2. Рассчитайте оценки a ̂,b ̂ параметров уравнения парной линейной регрессии.
3. Оцените тесноту связи между признаками с помощью выборочного коэффициента корреляции (r_B ). Проверьте значимость коэффициента корреляции (α=0,01).
4. Рассчитайте выборочный коэффициент детерминации (R_B^2 ). Сделайте экономический вывод.
5. Проверьте значимость оценки b ̂ параметра с помощью критерия Стьюдента при уровне значимости α=0,01.
6. Постройте 99-процентный доверительный интервал для коэффициента регрессии b. Сделайте экономический вывод.
7. Проверьте значимость оценки a ̂ параметра с помощью критерия Стьюдента при уровне значимости α=0,01.
8. Постройте 99-процентный доверительный интервал для свободного члена уравнения a.
9. Составьте таблицу дисперсионного анализа.
10. Оцените с помощью F – критерия Фишера-Снедекора значимость уравнения линейной регрессии (α=0,01).
11. Рассчитайте среднюю ожидаемую продолжительность жизни(y ̂_0 ), если коэффициент младенческой смертности составит 50%. Постройте 99-процентный доверительный интервал для прогнозного значения объясняемой переменной (y_0 ). Сделайте экономический вывод.
12. Рассчитайте средний коэффициент эластичности(¯Э). Сделайте экономический вывод.
13. Проверьте гипотезу H_0:b=b_(0,) (b_0=-0,5).
14. На поле корреляции постройте линию регрессии.

По 13странам Африки были получены данные: X–коэффициент младенческой смертности, %; Y–средняя ожидаемая продолжительность жизни, лет. Признаки имеют нормальный закон распределения.
X 87 16 56 51 39 55 64 77 36 71 13 34 36
Y 45 76 50 53 47 44 46 45 55 41 75 60 52

Принимается конкурирующая гипотеза H1: rген≠0, rB значим, признаки X и Y коррелированны.TРис. 2.График плотности распределения Стьюдента.Коэффициент корреляции rB по модулю близок в I, значит, связь между признаками тесная, а положительный знак rBуказывает на прямую зависимость между коэффициентом младенческой смерти и средней ожидаемой продолжительности жизни, что подтверждается экономической теорией.4.Рассчитаем выборочный коэффициент детерминации RB2.Для этого возведем коэффициент корреляции rB в квадрат:RB2=rB2=-0,8512=0,724Коэффициент детерминации характеризует долю вариации признака Y, объясненную линейным уравнением регрессии. Таким образом, в среднем 72,4% вариации средней ожидаемой продолжительности жизниобъясняется вариацией коэффициентом младенческой смерти, а 27,6% зависит от вариации не учтенных в модели факторов (общая экономическая обстановка в регионе и др.)5. Проверим значимость оценки b параметра регрессии с помощью критерия Стьюдента. Выдвигаем нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии:H0: b=0,H1: b≠0.Конкурирующая гипотеза H1 определяет двустороннюю критическую область (см. рис. 2).Данная гипотеза H0 проверяется с помощью случайной величины Tb=bsb, которая имеет распределение Стьюдента с k=n-2=13-2=11степенями свободы.Заполняем столбцы 7 и 8 табл. 1. Для того чтобы найти расчетные значения зависимой переменной yi (столбец 7), надо значения фактора xi (столбец 2) подставить в уравнение (2).Предварительно найдем стандартную ошибку оценки коэффициента регрессии sbпо формуле:sb=se2σx2∙n,где se2 - это несмещенная оценка остаточной дисперсии σe2, она равна se2=yi-yi2n-2=417,2111=37,93 (табл. 1, столбец 8).Тогда стандартная ошибка регрессииse=se2=37,93=6,16(занесем этот результат в табл. 4).Дисперсия объясняющего фактора Xвычисляется по формуле:σx2=1nxi2-1nxi2=113∙37091-635132=467,207Итак, sb=37,93467,207∙13=0,079Найдем наблюдаемое значение критерия Стьюдента:Tbн=-0,4250,079=-5,377Заносим два последних ответа в табл. 4. По таблице критических точек распределения Стьюдента (прил. 1) находим tкр.дв=α;k=tкр.дв0,01;11=3,11.Сравниваем Tbн и tкр.дв=α;k. Так как Tbн>tкр.дв=α;k, то Tbк попало в критическую область (см. рис. 2). Следовательно, нулевая гипотеза о незначимости коэффициента регрессии отвергается при 1-процентном уровне значимости. Принимается конкурирующая гипотеза H1: b≠0, оценка bпараметра статистически значима, признаки Xи Yлинейно взаимосвязаны.Таким образом, если коэффициент младенческой смерти увеличится на 1 %, то средняя ожидаемая продолжительность жизни снизится в среднем на 0,425%.6.Построим 99-процентный доверительный интервал для коэффициента регрессии b.b-tкр.двa;k∙sb≤b≤b+tкр.двa;k∙sb.Подставим значения из п. 5:-0,425-3,11∙0,079≤b≤-0,425+3,11∙0,079-0,671≤b≤-0,179(заносим результат в табл. 4).Таким образом, при увеличении коэффициента младенческой смерти на 1 %, средняя ожидаемая продолжительность жизниснижается в среднем с 0,18 до 0,67% с достоверностью 99%.7. Проверим значимость оценки aпараметра с помощью критерия Стьюдента. Выдвигаем нулевую гипотезу о незначимости свободного члена уравнения.H0: a=0,H1: a≠0.Конкурирующая гипотеза H1 определяет двустороннюю критическую область (рис. 3).Данная гипотеза H0 проверяется с помощью случайной величины Ta=asa, которая имеет распределение Стьюдента с k=n-2=13-2=11 степенями свободы.Предварительно найдем стандартную ошибку оценки коэффициента регрессии saпо формулеsa=sbxi2n=0,079∙3709113=4,221Найдем наблюдаемое значение критерия Стьюдента:Taн=73,764,219=17,47Заносим ответы sa и Taн в табл. 4. По таблице критических точек распределения Стьюдента (прил. 1) находимtкр.дв=α;k=tкр.дв0,01;11=3,11.Сравниваем Taн и tкр.дв=α;k. Так как Taн>tкр.дв=α;k, то Taк попало в критическую область (см. рис. 3). Следовательно, нулевая гипотеза о незначимости свободного члена отвергается при 1-процентном уровне значимости. Принимается конкурирующая гипотеза H1: b≠0, оценка aпараметра статистически значима.TРис. 3.График плотности распределения Стьюдента.8.Построим 99-процентный доверительный интервал для свободного члена уравнения:a-tкр.двa;k∙sa≤a≤a+tкр.двa;k∙sa.Подставляем значения из п. 7:73,76-3,11∙4,219≤a≤73,76+3,11∙4,21960,649≤a≤86,871(вносим в табл. 4).Границы доверительного интервала имеют одинаковые знаки, поэтому линейную модель оставим в общем виде: y=a+bx.9.Построим таблицу дисперсионного анализа по схеме (табл. 2).Таблица 2.Источник вариацииЧисло степеней свободыСумма квадратов отклоненийДисперсия на одну степень свободыFнdfSSMSF- статистикаРегрессия1RSS=y-yi2y-yi2y-yi2∙n-2yi-yi2Остатокn-2ESS=yi-yi2yi-yi2n-2Итогоn-1TSS=yi-y2Сначала найдем среднее значение признака Y:y=1nyi=113∙689=53Затем в табл. 1 заполним столбцы 9 и 10:RSS=y-yi2 – регрессионная сумма квадратов отклонений (столбец 9).ESS=yi-yi2 - остаточная сумма квадратов отклонений (столбец 8).TSS=RSS+ESS – общая сумма квадратов отклонений (столбец 10).F- статистика рассчитана по формуле F=RSSESS∙n-2.Таблица 3.Источник вариацииЧисло степеней свободыСумма квадратов отклоненийДисперсия на одну степень свободыFнdfSSMSF- статистикаРегрессия11096,7891096,78928,917Остаток11417,21137,93Итого12151410.Оценим значимость линейной модели в целом при 1-процентном уровне значимости. Выдвигаем гипотезу о незначимости линейной модели.H0:модель незначима,H1:модель значима.Конкурирующая гипотеза H1 определяет правостороннюю критическую область (рис. 4).Данная гипотеза проверяется с помощью случайной величины F, которая имеет распределение Фишера – Снедекора с k1=1и k2=n-2=13-2=11степенями свободы.Наблюдаемое значение критерия берем из табл. 3: Fн=28,92. Критическое значение критерия смотрим в таблице критических точек Фишера – Снедекора (прил. 2) на пересечении строки k2=11 и уровня значимости α=0,01: Fкрα;k1;k2=Fкр0,01;1;11=9,6f(F)FFРис. 4.График плотности распределения Фишера – Снедекора.Сравниваем Fн и Fкрα;k1;k2. Для наглядности построим график плотности распределения Фишера – Снедекора (см. рис. 4). Так как Fн>Fкрα;k1;k2, то Fнпопало в критическую область. Следовательно, нулевая гипотеза о незначимости линейной модели отвергается при 1-процентном уровне значимости. Принимается конкурирующая гипотеза H1: модель значима и ее можно использовать для прогноза.11.Спрогнозируем процент средней ожидаемой продолжительности жизни при смертности x0=50 %.