Типовик. Высшая математика. Контрольная работа №2

Решение задач по высшей математике.2013.оценка-5. ...

1.Найти частные производные второго порядка.
2.Решить систему уравнений (Кронекер,Обратная матрица,Крамер).
3.Вычислить предел.
4.Найти производные функций.
5.Решить уравнение.
6.Найти интервалы монотонности и точки экстремума, установит интервалы выпуклости и точки перегиба функции.
7.Построить треугольник, вершины которого находятся в точках:
7.1.Найти уравнения сторон
7.2.Уравнение высоты, проведенной из вершины
7.3.Уравнение прямой, проходящей через вершину
8.координаты вершин пирамиды ABCD
8.1.Записать векторы в ортонормированном базисе
8.2.Найти модуль и направляющие косинусы вектора

Контрольная работа по высшей математике.

Задача 4. Найти производные функций.
Сложная функция. Поэтому производную нужно брать следующим образом.
Сначала берется производная внешней функции (в данном случае от степени), а потом внутренней.
Решение:
Задача 5. Решить уравнение . Найденные решения изобразить точками на комплексной плоскости и найти модуль и аргумент одного из решений.
Решение:
Дискриминант:
;

Модуль :
Аргумент :
Угол φ между осью абсцисс и вектором, изображающим комплексное число , называется аргументом комплексного числа .
;
В нашем случае , .
.
Задача 6. Найти интервалы монотонности и точки экстремума, установит интервалы выпуклости и точки перегиба функции y=f(x)
Исследование функции:
1) Область определения функции D(f):
2) Найдем точки пересечения с осями координат:
Если x=0, то y=-4.
Если y=0, то
, .
3) Вычислим первую производную:
Находим экстремумы функции. Для этого
Следовательно, точка - точка максимума, - точка минимума.
Функция возрастает на интервалах и и убывает на интервале .
4) Вычислим вторую производную:
Точка является точкой перегиба.
На интервале функция выпукла вверх.
На интервале функция выпукла вниз.
График функции:
Задача 7. Построить треугольник, вершины которого находятся в точках:
A(3,10), B(2,-9), C(-2,9)
1) Найти уравнения сторон AB и BC;
Уравнение прямой, проходящей через 2 точки имеет вид: .
a) Уравнение стороны AB:
A(3; 10), то есть
B(2; -9) , то есть
b) Уравнение стороны BC:
B(2; -9) , то есть
С(-2; 9) , то есть
2) Уравнение высоты, проведенной из вершины A;
Найдем уравнение прямой, которая пересекается со стороной CB под прямым углом.
Координаты векторов:
Здесь точка М – точка на стороне СВ, в которой высота, проведенная из вершины А пересекает сторону СВ. Необходимо определить координаты точки М.
Т.к. , то , где α угол между и и он равен 90°.
Следовательно, скалярное произведение векторов и равно нулю:
B(2,-9), C(-2,9)
. (1)
Определим расстояние точки (вершины) А до стороны ВС:
Расстояние от точки до прямой определяется с помощью формулы:
A(3; 10), то есть
Следовательно, длина вектора
. (2)
Уравнения (1)-(2) образуют систему уравнений, из которой определяем координаты точки М:
Решаем систему:
Подставляем во второе уравнение:
Первый корень: . Этот корень нам не подходит (видно из рисунка).
Второй корень: . Подставляем в выражение для :