Типовик. Высшая математика. Контрольная работа №1

Решения задач по высшей математике ...

1.Найти частные производные второго порядка.
2.Решить систему уравнений (Кронекер,Обратная матрица,Крамер).
3.Вычислить предел.
4.Найти производные функций.
5.Решить уравнение.
6.Найти интервалы монотонности и точки экстремума, установит интервалы выпуклости и точки перегиба функции.
7.Построить треугольник, вершины которого находятся в точках:
7.1.Найти уравнения сторон
7.2.Уравнение высоты, проведенной из вершины
7.3.Уравнение прямой, проходящей через вершину
8.координаты вершин пирамиды ABCD
8.1.Записать векторы в ортонормированном базисе
8.2.Найти модуль и направляющие косинусы вектора

Решения задач.

Из второго:
Подставляем в первое уравнение и находим .
Задача 3. Вычислить предел
a)
Получаем неопределенность от которой нужно избавиться
Способ 1.
Нужно разложить уравнение в числителе на множители. Для этого находим корни уравнения .
Корни уравнения:
, , следовательно
Способ 2. (Правило Лопиталя)
b)
Теорема. Если функция α(x) – бесконечно малая, то функция 1/ α(x) – бесконечно большая
c)
Задача 4. Найти производные функций.
Сложная функция. Поэтому производную нужно брать следующим образом.
Сначала берется производная внешней функции (в данном случае от степени), а потом внутренней.
Решение:
Задача 5. Решить уравнение . Найденные решения изобразить точками на комплексной плоскости и найти модуль и аргумент одного из решений.
Решение:
Дискриминант:
;
Модуль :
Аргумент :
Угол φ между осью абсцисс и вектором, изображающим комплексное число , называется аргументом комплексного числа .
;
В нашем случае , .
.
Задача 6. Найти интервалы монотонности и точки экстремума, установит интервалы выпуклости и точки перегиба функции y=f(x)
Исследование функции:
1) Область определения функции D(f):
2) Найдем точки пересечения с осями координат:
Если x=0, то y=-4.
Если y=0, то
, .
3) Вычислим первую производную:
Находим экстремумы функции. Для этого
Следовательно, точка - точка максимума, - точка минимума.
Функция возрастает на интервалах и и убывает на интервале .
4) Вычислим вторую производную:
Точка является точкой перегиба.
На интервале функция выпукла вверх.
На интервале функция выпукла вниз.
График функции: