Вариант 10 Задание 1 Вычислить значениеZ и оценить абсолютную и относительную погрешность результата, считая, что значения исходных данных

Вариант 10
Задание 1

Вычислить значениеZ и оценить абсолютную и относительную погрешность результата, считая, что значения исходных данных получены в результате округления по дополнению. Записать результат с учётом погрешности. Указать верные цифры.
Z=ln⁡(cos⁡(0.25+0.52+√(0.25∙0.52)) )
Задание 2

До скольких значащих цифр следует округлить число x_0=√8, чтобы погрешность вычисления величины 〖f(x〗_0)не превосходила 0,01%?

f(x)=ln⁡〖(1+x)〗+x^2-3
Задание 3
Локализовать корень нелинейного уравнения f(x)=0 и найти его методом бисекции с точностью ε_1=0.01. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью ε_2=0.0001. Для метода простой итерации обосновать сходимиссть и оценить достаточное для достижения заданной точности ...

Вариант 10
Задание 1

Вычислить значениеZ и оценить абсолютную и относительную погрешность результата, считая, что значения исходных данных получены в результате округления по дополнению. Записать результат с учётом погрешности. Указать верные цифры.
Z=ln⁡(cos⁡(0.25+0.52+√(0.25∙0.52)) )
Задание 2

До скольких значащих цифр следует округлить число x_0=√8, чтобы погрешность вычисления величины 〖f(x〗_0)не превосходила 0,01%?

f(x)=ln⁡〖(1+x)〗+x^2-3
Задание 3
Локализовать корень нелинейного уравнения f(x)=0 и найти его методом бисекции с точностью ε_1=0.01. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью ε_2=0.0001. Для метода простой итерации обосновать сходимиссть и оценить достаточное для достижения заданной точностиε_2 число итераций.
f(x)=ln⁡〖(1+x)〗+x^2-3
Задание 6
Определить погрешность СЛАУ Ax=b, если элементы матрицы A заданы точно, а элементы вектора правых частей b получены в результате округления. Матрица A и вектор b даны в задании 5.
Задание 9
Решить систему Ax=b методомпрогонки
A=(■(2&1&0&0&&12&-1&0&&-4&14&-4&&0&5&12&&0&0&2&4)),b=(■(@@2))
Задание 10
Решить систему уравнений Ax=bс точностью 0.05 методами: 1) простой итерации; 2) Зейделя.
A=(■(-6&110&-6&&-2&-8&&-10&116&&-5&8&3)),b=(■(@))
Задание 11
Выполнить три итерации по методу Зейделя для системы уравнений Ax=b (не переставляя строк). В качестве начального приближения взять нулевой вектор. Изобразить графически поведение итерационного процесса. Сопоставить его сходимость с выполнением достаточных условий сходимости метода.
A=(■(1&&1)),b=(■())
Задание 12
Функция y=y(x)задана таблицей своих значений. Применяя метод наименьших квадратов, приблизить функцию многочленами 1-й и 2-й степеней. Для каждого приближения определить величин среднеквадратичной погрешности. Построить график функции и графики многочленов.
x -1,6 -0,8 0 0,8 1,6
y 1 -2,1 -4 -4 -1,4
Задание 17
Вычислить приближённое значение интеграла ∫_a^b▒〖f(x)dx〗,используя квадратурные формулы:
а) центральных прямоугольников с шагом h=0,4; дать априорную оценку погрешности;
б) трапеций с шагами h=0,4 и h=0,2; оценить погрешность последнего результата по правилу Рунге и уточнить последний результат по Рунге;
в) Симпсона с шагом h=0,4.
∫_4.2^5.8▒〖e^cos⁡〖(1/x)〗 dx 〗

∫_1.4^1.9▒(-5-3x+x^2-x^4 ) dx
Используя априорную оценку погрешности формулы центральных прямоугольников, определить шаг интегрирования, достаточный для достижения точности ε=0.01, и вычислить интеграл с этим шагом. Вычислив точное значение интеграла, подтвердить достижение указанной точности.

Вариант 10
Задание 1

Вычислить значениеZ и оценить абсолютную и относительную погрешность результата, считая, что значения исходных данных получены в результате округления по дополнению. Записать результат с учётом погрешности. Указать верные цифры.
Z=ln⁡(cos⁡(0.25+0.52+√(0.25∙0.52)) )
Задание 2

До скольких значащих цифр следует округлить число x_0=√8, чтобы погрешность вычисления величины 〖f(x〗_0)не превосходила 0,01%?

f(x)=ln⁡〖(1+x)〗+x^2-3
Задание 3
Локализовать корень нелинейного уравнения f(x)=0 и найти его методом бисекции с точностью ε_1=0.01. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью ε_2=0.0001. Для метода простой итерации обосновать сходимиссть и оценить достаточное для достижения заданной точности ε_2 число итераций.
f(x)=ln⁡〖(1+x)〗+x^2-3
Задание 6
Определить погрешность СЛАУ Ax=b, если элементы матрицы A заданы точно, а элементы вектора правых частей b получены в результате округления. Матрица A и вектор b даны в задании 5.
Задание 9
Решить систему Ax=b методомпрогонки
A=(■(2&1&0&0&[email protected]&12&-1&0&[email protected]&-4&14&-4&[email protected]&0&5&12&[email protected]&0&0&2&4)),b=(■([email protected]@[email protected]@2))
Задание 10
Решить систему уравнений Ax=bс точностью 0.05 методами: 1) простой итерации; 2) Зейделя.
A=(■(-6&110&-6&[email protected]&-2&-8&[email protected]&-10&116&[email protected]&-5&8&3)),b=(■([email protected]@[email protected]))
Задание 11
Выполнить три итерации по методу Зейделя для системы уравнений Ax=b (не переставляя строк). В качестве начального приближения взять нулевой вектор. Изобразить графически поведение итерационного процесса. Сопоставить его сходимость с выполнением достаточных условий сходимости метода.
A=(■(1&[email protected]&1)),b=(■([email protected]))
Задание 12
Функция y=y(x)задана таблицей своих значений. Применяя метод наименьших квадратов, приблизить функцию многочленами 1-й и 2-й степеней. Для каждого приближения определить величин среднеквадратичной погрешности. Построить график функции и графики многочленов.
x -1,6 -0,8 0 0,8 1,6
y 1 -2,1 -4 -4 -1,4
Задание 17
Вычислить приближённое значение интеграла ∫_a^b▒〖f(x)dx〗,используя квадратурные формулы:
а) центральных прямоугольников с шагом h=0,4; дать априорную оценку погрешности;
б) трапеций с шагами h=0,4 и h=0,2; оценить погрешность последнего результата по правилу Рунге и уточнить последний результат по Рунге;
в) Симпсона с шагом h=0,4.
∫_4.2^5.8▒〖e^cos⁡〖(1/x)〗 dx 〗

∫_1.4^1.9▒(-5-3x+x^2-x^4 ) dx
Используя априорную оценку погрешности формулы центральных прямоугольников, определить шаг интегрирования, достаточный для достижения точности ε=0.01, и вычислить интеграл с этим шагом. Вычислив точное значение интеграла, подтвердить достижение указанной точности.

В данном случае maxx∈[0,64,0,66]φ'x=φ'1≈0.165.Тогдаk<lnxk-Xx0-Xlnq=lnε21.45-1.4504ln0.165≈0.8Таким образом, необходима всего 1 итерация, чтобы получить решение с точностью ε2=0.0001.Задание 6Определить погрешность СЛАУ Ax=b, если элементы матрицы A заданы точно, а элементы вектора правых частей b получены в результате округления. Матрица A и вектор b даны в задании 5.Решение:Оценкой относительной погрешности решения x при условии, что матрица A задана точно является величина∆xx≤μ∆bbгде μ=CondA – число обусловленности матрицы A.CondA=A∙A-1Найдём обратную матрицуA=2.496-1.2-1.5321.8591.1141.574-2.1761.374-1.031==2.4961.1141.5741.374-1.03+1.21.8591.574-2.176-1.031-1.5321.8591.114-2.1761.374≈-14.082Алгебраические дополненияA11=1.1141.5741.374-1.03=-3.311; A12=-1.8591.574-2.176-1.031=-1.508;A13=1.8591.114-2.1761.374=4.978; A21=--1.2-1.5321.374-1.03=-3.342A22=2.496-1.532-2.176-1.031=-5.907; A23=-2.496-1.2-2.1761.374=-0.818A31=-1.2-1.5321.1141.574=-0.182; A32=-2.496-1.5321.8591.574=-6.777A33=2.496-1.21.8591.114=5.011A-1=-114.082-3.311-3.342-0.182-1.508-5.907-6.7774.978-0.8185.011Для оценки погрешности будем использовать норму ∙∞.A-1∞=114.082max3.311+3.342+0.182;1.508+5.907+6.777;4.978+0.818 +5.011≈1.008A∞=max2.496+1.2+1.532;1.859+1.114+1.574;2.176+1.374 +1.031≈5.228μ=A∞∙A-1∞=1.008∙5.228≈5.269Погрешность вектора свободных членовb=-5-1-5.472, b∞=5.472, ∆b=0.50.50.0005, ∆b∞=max0.5; 0.5;0.0005=0.5Относительная погрешность решения СЛАУ:∆x∞x∞≤5.2690.55.472=0.481Таким образом, относительная погрешность не превосходит 48.1%.Задание 9Решить систему Ax=b методом прогонкиA=21000512-1000-414-4000512100024, b=-26712552Решение:Перепишем систему в видеAixi-1+Cixi+Bixi+1=biТогдаA=05-452, C=21214124, B=1-1-410Определяем прогоночные коэффициенты:α2=-B1C1=-12; β2=b1C1=-22=-1Остальные коэффициенты определяются по рекуррентным формуламαi+1=-BiCi+Aiαiβi+1=bi-AiβiCi+Aiαi, i=2,…,n-1 (n=5)Рассчитаем коэффициенты:α=0-1/22/1938/129-129/1738, β=0-1144/19134/435085/1738Теперь находим x:x5=xn=bn-AnβnCn+Anαn=-1Остальные значения определяем по рекуррентной формулеxi=αi+1∙xi+1+βi+1, i=n-1,…,1Рассчитаем xi:x4=-1291738∙-1+50851738=3;x3=38129∙3+13443=4;x2=219∙4+14419=8;x1=-12∙8-1=-5;Получаем x=-5843-1.Задание 10Решить систему уравнений Ax=b с точностью 0.05 методами: 1) простой итерации; 2) Зейделя.A=-6110-65-5-2-885-7-10116-483-583, b=-16757-118932Решение: 1) метод простой итерации.Представим матрицу A в виде:A=83-583-6110-65-7-10116-4-5-2-885Условие преобладание диагональных элементов выполнено, следовательно, метод простой итерации будет сходиться.Приведём систему к виду:A'x=b'Для этого разделим каждую строку на элемент, стоящий на главной диагонали:A'=1-5/838/833/83-3/551-3/551/22-7/116-5/581-1/29-1/17-2/85-8/851b'=-16/83757/110-41/432/85Перенесём переменные, стоящие на главной диагонали:x=A''x+b'A''=05/83-8/83-3/833/5503/55-1/227/1165/5801/291/172/858/850b'=-16/83757/110-41/432/85Рекуррентная формула для n-го приближения:xn+1=A''xn+b'Процесс останавливается, когда xn+1-xn=maxxn+1-xni<ε=0.05. В качестве начального приближения примем вектор b.Сведём вычисления в таблицу:nxnxn+1xn+1-xn∞0-0.1936.882-10.250.3761.19616.2951-9.6554-0.437651.38911.19616.2951-9.6554-0.437651.13296.4403-9.6502-0.313790.14521.13296.4403-9.6502-0.313791.13676.4315-9.6373-0.313610.013На третьей итерации xn+1-xn∞=0.013<0.05В качестве решения задачи принимаем (оставляем 2 знака после запятой, поскольку реальная точность выше необходимой почти на порядок)x=1.146.43-9.64-0.312) метод ЗейделяОтметим, что условие преобладания диагональных элементов соблюдено. Запишем матрицу системы:A=83-583-6110-65-7-10116-4-5-2-885, b=-16757-118932Разложим матрицу A=B+CB=83000-611000-7-101160-5-2-885, С=0-58300-65000-40000Рекуррентная формула для n-го приближения:xn+1=-B-1Cxn+B-1bПроцесс останавливается, когда xn+1-xn=maxxn+1-xni<ε. Для вычисления -B-1C, B-1b и последующих итераций будем использовать математический пакет MathCad:В качестве начального приближения примем векторСведём вычисления в таблицу:nxnxn+1xn+1-xn∞0-0.1936.871-9.669-0.3831.1676.4355-9.638-0.310571.3611.1676.4355-9.638-0.310571.13516.4321-9.6377-0.312492.936*10-4На второй итерации xn+1-xn∞=2.936*10-4<0.05В качестве решения задачи принимаем (оставляем 2 знака после запятой, поскольку реальная точность выше необходимой на 2 порядка)x=1.146.43-9.64-0.31Задание 11Выполнить три итерации по методу Зейделя для системы уравнений Ax=b (не переставляя строк). В качестве начального приближения взять нулевой вектор. Изобразить графически поведение итерационного процесса. Сопоставить его сходимость с выполнением достаточных условий сходимости метода.A=1511, b=21Решение: Разложим матрицу A=B+CB=1011,C=0500B-1=10-11,-B-1C=-10-110500=0-505B-1b=10-1121=2-1Рекуррентная формула для n-го приближения:xn+1=-B-1Cxn+B-1bПроцесс останавливается, когда xn+1-xn=maxxn+1-xni<ε. xn+1=0-505xn+2-1nxnxn+1xn+1-xn∞0002-1112-17-6527-632-3125Изобразим графически поведение итерационного процессаТочное решение будет на прямой, проходящей через x1, x2, x3. Действительно, X=01 является точным решением системы Ax=b.Необходимым и достаточным условием сходимости метода Зейделя является условие, при котором все корни уравнения (собственные числа матрицы -B-1C) C+Bλ=0 по модулю меньше единицы.λ5λλ=λ2-5λλ2-5λ=0, λλ-5=0⟹λ1=0, λ2=5 Следовательно, итерационный процесс метода Зейделя расходится.Задание 12Функция y=y(x) задана таблицей своих значений. Применяя метод наименьших квадратов, приблизить функцию многочленами 1-й и 2-й степеней. Для каждого приближения определить величин среднеквадратичной погрешности. Построить график функции и графики многочленов.