Исследование точности оценки параметра экспоненциального распределения методом максимального правдоподобия

... ...

Содержание.
1.Введение…………………………………………………………………............3
2. Теоретическая часть……………………………………………………...........4
2.1 Экспоненциальное распределение…………………………….............4
2.2 Метод максимального правдоподобия. ……………………..………..4
2.3 Доверительный интервал………………………………………………5
2.4. Методы вычисления доверительного интервала………………..…..7
А. Через асимптотическую нормальность производной
логарифма правдоподобия……………………………………….....7
B. Через асимптотическую нормальность оценки
максимального правдоподобия……………………………………..7
C. Через профиль функции правдоподобия………………………..8

3.1Практическая часть……………………………………………………………9
3.1 Алгоритм программы…………………………………………………10
3.2 Код…………………………………………………………………..…11
3.3 Код с комментариями……………………………………………..…12
3.4 Таблица результатов…………………………………………………13
4. Заключение……………………………………………………………………15
5. Список использованной литературы……………………………………….16
6. Приложение………………………………………………………………….17

1. Введение.
Цели работы:
1) Изучить метод максимального правдоподобия;
2) Рассмотреть методы вычисления 95% доверительного интервала;
3) Создать программу-функцию на Matlab для исследования
точности оценки параметра экспоненциального распределения методом максимального правдоподобия.

;
;
C. Через профиль функции правдоподобия.
;
c вероятностью 0.95
;
;
;
[2].
Очень часто все три метода (A-C) дают практически совпадающие результаты. Преимущество метода В) - через асимптотическую нормальность оценки максимального правдоподобия – состоит в простом представлении выводов. К недостаткам можно отнести неинвариантность процедуры B) относительно перепараметризации. Метод А) более удобен с вычислительной точки зрения. Метод C) - через профиль функции правдоподобия рекомендуется использовать в сомнительных случаях. Он инвариантен относительно перепараметризации, и форма полученной доверительной области определяется самими данными [1].
3. Практическая часть.
В качестве практического задания, требуется написать программу-функцию на Matlab, предусмотрев ввод параметровλ и n через список формальных параметров функции, генерирование независимой случайной выборки объёма n длительностей, имеющих экспоненциальное распределение с параметром λ, расчёт и вывод на экран оценки максимального правдоподобия и её 95% доверительного интервала, рассчитанного методом:
1) через асимптотическую нормальность производной логарифма правдоподобия;
2) через профиль функции правдоподобия.
Провести результаты и составить таблицу результатов (Таблица 1, стр. 13) для значений параметров.
На странице 10 представлен алгоритм программы (рис. 3).
Алгоритм программы.
Код программы.
function Lab3 (lambda, n);
T=exprnd (ones (1, n)/lambda);
lambdah=n/sum(T);
a=(1-1.96/sqrt(n))*lambdah;
b=(1+1.96/sqrt(n))*lambdah;
x=a/2:0.01:2*b;
L=n*log(x)-x*sum(T);
Lmax=n*log(lambdah)-lambdah*sum(T);
plot (x, L, [a/2, 2*b], [Lmax-1.92]);
disp ([a, b, Lmax]);
x=lambdah;
while (n*log(x)-x*sum(T)>Lmax-1.92);
x=x+0.01;
end;
b2=x;
x=lambdah;
while (n*log(x)-x*sum(T)>Lmax-1.92);
x=x-0.01;
end;
a2=x;
disp ([a2, b2]);
xlabel ('lambda');
ylabel ('L');
Код программы.
function pravdopodobie (lambda, n);
%Крупеня Дарья, КББ-1-11
%Задаём функцию, lambda - параметр экспоненциального распределения;
%n - число данных
T=exprnd (ones (1, n)/lambda); % генерирование выборки
lambdah=n/sum(T); % оценка максимального правдоподобия
disp ([lambdah]);
a=(1-1.96/sqrt(n))*lambdah; % левый предел доверительного интервала
b=(1+1.96/sqrt(n))*lambdah; % правый предел доверительного интервала
x=a/2:0.01:2*b;
L=n*log(x)-x*sum(T); % логарифм правдоподобия
Lmax=n*log(lambdah)-lambdah*sum(T); % максимальное значение логарифма правдоподобия
plot (x, L, [a/2, 2*b], [Lmax-1.92]); % рисует график
disp ([a, b, Lmax]);
% выводит на экран значения концов доверительного интервала и Lmax
x=lambdah;
while (n*log(x)-x*sum(T)>Lmax-1.92); % ищет правый предел доверительного интервала
% через профиль функции правдоподобия
x=x+0.01; end;
b2=x;
x=lambdah;
while (n*log(x)-x*sum(T)>Lmax-1.92); % левый предел
x=x-0.01; end;
a2=x;
disp ([ a2, b2]); % выводит на экран пределы доверительного интервала
xlabel ('lambda');
ylabel ('L');
Таблица результатов:
λ
0.1
0.1
0.1
0.01
0.01
0.01
n
10