Контрольная по элементам высшей математики.

Контрольная работа по элементам высшей математики, состоит из 22 заданий: алгебра векторов, уравнение прямой, кривые второго порядка, применение производной к исследованию функций, функции нескольких переменных ...

1. Разложить в базисе (e1, e2 ) векторы AC,BC,AB , изображённые на рисунке 2. Началом отрезка служит точка А(-3; -5), а серединой – точка С(3; -2). Найти координаты конца В отрезка АВ.
3.Найдите углы треугольника с вершинами в точках А(6;7), В(3; 3), С(1; -5).
6. Составьте уравнение медианы BD и высоты AF в треугольнике с вершинами А(1; 2), В(6; 4), С(7; -2).
7. Составьте уравнение средней линии треугольника с вершинами А(5; -2), В(1; 6), С(-3; 2) параллельной стороне ВС.
9. Составьте уравнения сторон треугольника с вершинами А(-1; 2), В(5; 3), С(4; -2).
14. Составьте уравнение параболы, фокус которой имеет координаты (0; -2).
15. Составьте уравнение параболы, директриса которой задана уравнением 4х + 6 = 0.
16. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х3-3х2+3х+2 на отрезке [2; 5].
17. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = хlnx – x на отрезке [1/e; e ].
22. Найдите частные производные первого порядка и полный дифференциал функций u=arctg x+y/x-y

Алгебра векторов
Уравнение прямой
Кривые второго порядка
Применение производной к исследованию функций
Функции нескольких переменных

xM=xA+xB2=3; yM=yA+yB2=2; M=3;2; xN=xA+xC2=1; yN=yA+yC2=0; N=1;0; Уравнение MN y-yMyN-yM=x-xMxN-yM; y-20-2=x-31-3; y-2-2=x-3-2; y=x-1; Ответ: Уравнение MN y=x-1;Известны точка М(7; -8) и нормальный вектор прямой . Составьте уравнение прямой. Ответ на задание 8.xnx-xM+yny-yM=0; -2x-7+3y-8=0; y-8=23x-2*73; y=23x+103; Ответ: Уравнение прямой y=23x+103;Составьте уравнения сторон треугольника с вершинами А(-1; 2), В(5; 3), С(4; -2). Ответ на задание 9. Сторона АВ; y-yAyB-yA=x-xAxB-yA; y-23-2=x+15+1; y-21=x+16; y=16x+136; Сторона АС; y-yAyC-yA=x-xAxC-yA; y-2-2-2=x+14+1; y-2-4=x+15; y=-45x+65; Сторона ВС; ; y-yByC-yB=x-xBxC-yB; y-3-2-3=x-54-5; y-3-5=x-5-1; y=5x-22; Ответ: АВ; y=16x+136; АС; y=-45x+65; ВС; y=5x-22; Найдите угол между прямыми . Ответ на задание 10. Находим угловые коэффициенты: x+5y-3=0; y=-15x+35; k1=-15; 2x-3y+4=0; y=23x+43; k2=23; Тогда угол φ: tgφ=k2-k11+k1*k2=23+151+23*(-15)=13*1515*13=1;=>∠φ=45°; Ответ: Угол между прямыми φ=45°;Составьте уравнение эллипса, фокусы которого имеют координаты , а малая ось равна 14. Ответ на задание 11. Малая полуось b=142=7; Расстояние между фокусами c=42+42=82; a2-c2=b2; => a2=b2+c2=72+(82)2=177; a=177≈13,3; Каноническое уравнение эллипса x2b2+y2a2=1; (т.к. фокусы расположены по оси ординат), тогда уравнение эллипса x249+y2117=1; Ответ: x249+y2117=1;Составьте уравнение равносторонней гиперболы, фокусы которой имеют координаты . Ответ на задание 12. У равносторонней гиперболы полуоси равны a=b; Каноническое уравнение имеет вид: x2-y2=a2; Расстояние между фокусами 2c=32+32=62; c=32; b2=c2-a2; b=0; c2=2a2; a2=c22=(32)22=9; a=3; Тогда x2-y2=9; Ответ: Уравнение равносторонней гиперболы x2-y2=9; Найдите координаты фокусов, длины осей, фокусное расстояние и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением . Ответ на задание 13. x2169+y2144=1;=>a2=169; b2=144;a=13; b=12; a-большая полуось; 2a=26-большая ось;b-малая полуось;2b=24-малая ось; a2-c2=b2;=>a2=c2-b2;169-144=25; c=5; Ответ:c=5; Составьте уравнение параболы, фокус которой имеет координаты (0; -2). Ответ на задание 14. -2=p2; y=-p2;-директриса; Уравнение директрисы для заданной параболы: y=2; p=-4; x2=2py;-уравнение параболы; x2=-8y;-искомое уравнение; Ответ: x2=-8y;Составьте уравнение параболы, директриса которой задана уравнением 4х + 6 = 0. Ответ на задание 15. Выразим x; x=-32;-директриса; По определению x=-p2;=>32=p2;=>p=3; Уравнение параболы имеет вид y2=2px; y2=6x; -искомое уравнение; Ответ: y2=6x;Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х3-3х2+3х+2 на отрезке [2; 5]. Ответ на задание 16. y'=3x2-6x+3=3x2-2x+1=3(x-1)2; y' - + y 2 1 5 x min y1=1-3+3+2=3; y2=23-3*22+3*2+2=4; y5=53-3*52+3*5+2=67; Ответ: Наибольшее значение функции y=67;при x=5; Наименьшее значение функции y=3;при x=1;Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = хlnx – x на отрезке []. Ответ на задание 17.