Курсовая программирование и исследование алгоритмов вычисления определенных интегралов

Курсовая програмирование и исследование алгоритмов вычисления определенных интегралов.
Borland Delphi 7 ...

Глава 1. Теоретическая часть
1.1 Математическая модель
1.2 БЛОК СХЕМА АЛГОРИТМА
БЛОК-СХЕМА МЕТОДА ТРАПЕЦИЙ
Глава 2 Практическая часть
2.1 Основная программа
2.5 Анализ результатов решения
Рисунок 14 - Исследование на погрешность

Целью данной работы является разработка программы для исследования методов вычисления определенных интегралов с помощью метода трапеций и метода парабол (Симпсона). Подынтегральная функция и количество разбиений отрезка задается с клавиатуры. Для визуализации метода можно выбрать любой из исследуемых методов. Исследование заключается в представлении на графике зависимости погрешности данных методов от количества разбиений n. Точное решение интеграла должно быть найдено по формуле Ньютона — Лейбница.
При решении ряда актуальных физических и технических задач встречаются определенные интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определенными интегралами, сами подынтегральные функции которых не являютс я элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов.

ВведениеЦелью данной работы является разработка программы для исследования методов вычисления определенных интегралов с помощью метода трапеций и метода парабол (Симпсона). Подынтегральная функция и количество разбиений отрезка задается с клавиатуры. Для визуализации метода можно выбрать любой из исследуемых методов. Исследование заключается в представлении на графике зависимости погрешности данных методов от количества разбиений n. Точное решение интеграла должно быть найдено по формуле Ньютона — Лейбница. При решении ряда актуальных физических и технических задач встречаются определенные интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определенными интегралами, сами подынтегральные функции которых неявляются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов.Глава 1. Теоретическая часть1.1 Математическая модельМетод трапецийПусть требуется вычислить интеграл . Разобьем сегмент на n равных частей при помощи точек . Метод трапеций заключается в замене интеграла суммой площадей трапеций с основаниями, соответственно равными и , и с высотами, равными .Таким образом, справедлива формула:,Где R - остаточный член. Это формула называется формулой трапеций.Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 1 - Криволинейная трапецияПо методу трапеций интеграл равен сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина (точность), и сумма площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине.Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 2 - Метод трапецийМетод Симпсона (парабол)Для вычисления интеграла снова разобьем сегмент на n равных частей при помощи точек и обозначим через середину сегмента . Метод парабол заключается в замене интеграла суммойплощадей фигур и представляющий собой трапеции, лежащие под параболами, проходящими через три точки графика функции f (x) c абсциссами .Таким образом, справедлива формула:,Где R - остаточный член. Это формула называется формулой Симпсона.Пример примененияРисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 3 - График функцииy0y1y2y3y4y5y6y7y8y9y10x00,10,20,30,40,50,60,70,80,91y10,860,760,680,60,550,50,470,460,430,41Найдем площадь криволинейной трапеции методом трапеций:S=0,1* ( (1+0,41) /2+0,86+0,76+0,68+0,6+0,55+0,5+0,47+0,46+0,43) =0,6025 кв. едНайдем площадь криволинейной трапеции методом Симпсона:S=0,0017*2* (1+0,41+2* (0,76+0,6+0,5+0,46) +4* (0,86+0,68+0,55+0,47+0,43)) ==0,6123 кв. едN = 2S1 = 0S = Sh / 2S1 = SN = 2Nh = (b – a)/NS = f(a)+ f(b)x = ax = x + hS = S + 2Fun(x)a, b, КонецНачалоN, Si = 1, N – 1|S-S1|Да1.2 Блок схема алгоритма Блок-схема метода трапецийN = 2S1 = 0J=SS1 = SN = 2Nh = (b – a)/NS = f(a)+ f(b)x = aS = S + 4Fun(x)a, b, ,n-четноеКонецНачалоN, S|S-S1|ДаS = S + 2Fun(x)Блок-схема метода СимпсонаГлава 2 Практическая часть2.1 Основная программа2.5 Анализ результатов решенияДля открытия программы необходимо запустить project1. exe. После запуска откроется окно программы (рис.4). Предварительно создаем текстовый файл integral. txt в том же каталоге, где расположена программа (рис.9) в этом файле должны сохраниться результаты сравнения.Запускаем программу. С помощью компонента MainMenu выберем вкладки "Ввод", "Решение", "Исследование" и "Заставка".Выбираем вкладку "Ввод - Параметры" открывается Form 2 и вводим параметры (рис.10):Рисунок 9 – МенюРисунок 10 - ПараметрыНажимаем на кнопку "OK" и возвращаемся к основной форме. Выбираем методы решения:Рисунок 12 - Вычисление методов трапецийАналогично выглядит форма, когда вычисляем площадь по методу Симпсона (парабол). Далее выбираем вкладку "Исследование на погрешность" открывается Form 5, нажимаем на кнопку "График", затем на кнопку "Сохранить"Рисунок 14 - Исследование на погрешностьИз графика видно, что метод Симпсона (парабол) намного точнее, почти совпадает с точным значением, вычисленным в пакете Maxima.Затем на кнопку "Сохранить". Откроем каталог, где расположена программа и откроем текстовый файл integral. TxtРисунок 15 - Сохранение результатов сравненияНажмем на кнопку "OK" и вернемся в основной форме, чтобы завершить исследование вычислительных методов для нахождения интеграла.ЗаключениеВ процессе разработки курсовой работы были проработаны следующие методы вычисления определенных интегралов - метод трапеций и метод Симпсона (парабол). Был визуализирован ход вычисления интеграла в виде графика. На графике была представлена зависимость разбиений от заданной точности.В процессе выполнения курсовой работы были закреплены практические навыки по разработке пользовательских приложений при помощи объектно-ориентированного языка программирования Lazarus и современных компьютерных технологий обработки информации, а также навыки в составлении текстовой документации.Список использованной литературыНамиот Д.Е. Основные особенности языка программирования Delphi 7. - М.: ‘Память ’, 2009.Пильщиков В.Н. Программирование на языке Delphi 7. - М.: Феникс 2010.Михеева Е.В. Информационные технологии в профессиональной деятельности: Учебное пособие для сред. проф. образования. - 2-е издание, стер. - М.: Издательский центр "Академия", 2005. - 384 с.Румянцева Е.Л., Слюсарь В.В. Информационные технологии: учеб. пособие / Под. ред. проф. Л.Г. Гагариной. - М.: ИД "ФОРУМ": ИНФРА - М, 2007. - 256 с.: ил.Ильин В.А., Поздняк Э.Г. - Основы математического анализа. Часть 1 - М.: Физматлит, 2008 - 648 с.