эконометрика НГУЭУ вариант 56

ЗАДАЧА 1
В базе данных магазина, торгующего поддержанными автомобилями, содержится информация об их потребительских свойствах и ценах.
Для анализа зависимости цены автомобиля Y от его возраста Х1 и мощности двигателя Х2 из базы данных выбраны сведения о 16 автомобилях. Эти сведения приведены в таблице 1.1. ...

СОДЕРЖАНИЕ
ЗАДАЧА 1 3
1. ПАРНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ 3
2. МНОЖЕСТВЕННАЯ ЗАВИСИМОСТЬ 9
3. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ 11
ЗАДАЧА 2 13
ЗАДАЧА 3 17
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 20

ЗАДАЧА 1
В базе данных магазина, торгующего поддержанными автомобилями, содержится информация об их потребительских свойствах и ценах.
Для анализа зависимости цены автомобиля Y от его возраста Х1 и мощности двигателя Х2 из базы данных выбраны сведения о 16 автомобилях. Эти сведения приведены в таблице 1.1.
ЗАДАЧА 2
В базе данных магазина также содержится информация об объеме ежемесячных продажах автомобилей за прошлый год, представленная в таблице 2.1.
ЗАДАЧА 3
1. Для регрессионных моделей и с помощью критерия Дарбина-Уотсона проверить наличие или отсутствие автокорреляции на уровне значимости =0,01.
2. Для регрессионной модели проверить наличие или отсутствие мультиколлинеарности, используя:
а) парный коэффициент корреляции (приближенно);
б) критерий «хи-квадрат» на уровне значимо сти =0,01.
Решение.

9
8,7
4,0
183
75,69
16
33489
34,8
1592,1
732
10
3,5
5,0
109
12,25
25
11881
17,5
381,5
545
11
3,6
7,0
185
12,96
49
34225
25,2
666
1295
12
6,3
3,0
106
39,69
9
11236
18,9
667,8
318
13
2,7
6,0
128
7,29
36
16384
16,2
345,6
768
14
5,7
4,0
127
32,49
16
16129
22,8
723,9
508
15
3,7
5,0
111
13,69
25
12321
18,5
410,7
555
16
3,4
6,0
148
11,56
36
21904
20,4
503,2
888
Сумма
76,3
81
2196
433,57
441
313136
347
10737,6
11261
При n=16 находим: , ,
= - 1,2673; .
Таким образом, .
;
.
Таким образом, .
Коэффициенты парной корреляции найдем по формулам:
Подставляя значения из таблицы 1.1, получим:
Проанализируем тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля по схеме: если , то гипотеза о существенном отличии коэффициента от нуля принимается, в противном случае – отвергается. В этой формуле - квантиль распределения Стьюдента, (1-) – доверительная вероятность, (n-2) – число степеней свободы.
В нашей задаче 1-=0,9. Значит =0,1. Табличное значение: ==1,761. Для получаем:
Следовательно, коэффициент корреляции существенно отличается от нуля, и существует сильная линейная отрицательная связь между ценой и возрастом автомобиля.
Аналогично для получаем:
Следовательно, коэффициент корреляции существенно не отличается от нуля, и сильная линейная отрицательная связь между ценой автомобиля и мощностью двигателя отсутствует.
Вычислим коэффициенты детерминации.
,
т.е. вариация цены на 71,48% объясняется вариацией возраста автомобиля.
,
т.е. вариация цены на 8,6% объясняется вариацией мощности двигателя.
Для оценки статистической значимости рассчитаем фактические значения F-статистики Фишера (m=1 - для парной регрессии).
Количество степеней свободы: df1=m=1, df2=n-df1-1=16-1-1=14.
Доверительная вероятность 1-=0,9, значит уровень значимости =0,1.
Табличное значение F-статистики Фишера: Fm =3,10.
Т.к. Fm <Fф1, то статистическая значимость уравнения регрессии признается. Т.к. Fm > Fф2, то статистическая значимость уравнения регрессии не признается.
Для оценки статистической значимости параметров используем t-критерий Стьюдента.
,
Табличное значение: ==1,761.
Т.к. > 1,761, то коэффициент существенно отличается от нуля. Т.к. < 1,761, то коэффициент существенно не отличается от нуля.
Рис.1.3 Результаты регрессионного анализа
зависимости «цена автомобиля-возраст»
Рис.1.4 Результаты регрессионного анализа
зависимости «цена автомобиля-мощность двигателя»
Рассчитаем точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей по первой регрессионной модели .
При х1=3 тыс.у.е.
.
Отсюда 6,3191 тыс.у.е., 8,4431тыс.у.е.
Рассчитаем точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей по второй регрессионной модели .
При х2=165, тыс.у.е.
.
Отсюда 2,6309 тыс.у.е., 8,1649 тыс.у.е.
2. Множественная зависимость
2.1. По методу наименьших квадратов найти оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели .
2.2. Проверить статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с надежностью 0,9.
2.3. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной вероятностью 0,95.
Найдем уравнение множественной регрессии, воспользовавшись ППП Excel. Для этого выполним следующие действия:
1. Проверяем доступ к пакету анализа. В главном меню последовательно выбираем Сервис → Надстройки. Устанавливаем флажок Пакет анализа.
2. В главном меню выбираем Сервис → Анализ данных → Регрессия. Щелкаем по кнопке ОК.
3. Заполняем диалоговое окно ввода данных и параметров вывода:
Входной интервал Y – диапазон, содержащий данные результативного признака;
Входной интервал Х1 – диапазон, содержащий данные факторного независимого признака;
Входной интервал Х2 – диапазон, содержащий данные факторного независимого признака;
При заполнении параметра «Входной интервал Х» в диалоговом окне следует указать не один столбец, а все столбцы, содержащие значения факторных признаков.
Метки – это флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;
Константа-ноль – флажок, указывающий на наличие либо отсутствие свободного члена в уравнении;
Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;
Новый рабочий стол – можно задать произвольное имя нового листа.
4. Щелкаем по кнопке ОК.
Таким образом уравнение множественной регрессии имеет следующий вид: .
Проверим статистическую значимость параметров.
Коэффициент детерминации составил: R2 = 0,9749.
Т.к. R2=0,9749, то регрессия у на х1 и х2 объясняет 97,49% колебаний значений у. Это свидетельствует о значительном суммарном влиянии независимых переменных х1 и х2 на зависимую переменную у.
Проверим статистическую значимость уравнения множественной регрессии. Рассчитаем фактическое значение F-статистики Фишера.
Табличное значение Fm =3,10. Т.к. Fm <, то признается статистическая значимость уравнения регрессии.
Точечный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей найдем по формуле:
,
где =(1,3,165)-вектор независимых переменных, для которого определяется прогноз.
тыс.у.е.
Интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей найдем по формуле:
,
где - квантиль распределения Стьюдента, (1-) – доверительная вероятность, (n-3) – число степеней свободы,
Используя ППП Excel, стандартная ошибка составит: =0,366357.
Табличное значение: =2,145. Поэтому:
.
Следовательно, 9,6828 тыс.у.е., 8,1112 тыс.у.е.
3. Экономическая интерпретация
Рассмотрим зависимость цены автомобиля от его возраста. Так как =-0,8455 и проверка значимости этого коэффициента показала его существенное отличие от нуля, то есть основание утверждать, что переменными у и х1 существенно достаточно тесная отрицательная линейная зависимость, которая может быть отражена с помощью найденного уравнения регрессии .
Коэффициент 11,183 имеет экономический смысл, он формально определяет цену при х1=0, т.е. цену нового автомобиля.
Коэффициент -1,2673 характеризует размер прироста цены, обусловленного приростом возраста на единицу, т.е. при увеличении возраста на 1 год следует ожидать уменьшения цены на 1,2673 тыс.у.е.
Уравнение регрессии характеризует среднее значение цены в зависимости от возраста автомобиля. Слово «среднее» означает, что реальное значение цены уi, соответствующее некоторому реальному возрасту xi1, будет находиться в некоторой окрестности значения .
Рассмотрим зависимость цены автомобиля от мощности двигателя. Т.к. =0,2934 и проверка значимости этого коэффициента показала его несущественное отличие от нуля, то есть основание утверждать, что переменными у и х2 не существует достаточно тесная положительная линейная зависимость, которая может быть отражена с помощью найденного уравнения регрессии .
Коэффициент 1,6524 не имеет экономического смысла, он формально определяет цену при х2=0, т.е. цену автомобиля при нулевой мощности двигателя.
Коэффициент 0,0227 характеризует размер прироста цены, обусловленного приростом мощности двигателя на единицу, т.е. при увеличении мощности двигателя на 1 л.с. следует ожидать увеличения цены автомобиля на 0,0227 тыс.у.е.
Уравнение регрессии характеризует среднее значение цены автомобиля в зависимости от мощности двигателя. Слово «среднее» означает, что реальное значение цены уi, соответствующее некоторой реальной мощности xi2, будет находиться в некоторой окрестности значения .
Рассмотрим зависимость цены автомобиля от двух факторов – возраста и мощности двигателя. Найденное уравнение множественной регрессии .
Коэффициент -1,4573 показывает, что при увеличении возраста на 1 год и фиксированной (неизменной) мощности двигателя следует ожидать снижения цены автомобиля на 1,4573 тыс.у.е.
Коэффициент 0,04047 показывает, что при увеличении мощности двигателя на 1 л.с. и фиксированном возрасте следует ожидать увеличения цены на 0,04047 тыс.у.е.
Задача 2
В базе данных магазина также содержится информация об объеме ежемесячных продажах автомобилей за прошлый год, представленная в таблице 2.1.
Таблица 2.1
Месяц, t
Объем продаж (тыс.у.е.), zt
1
614
2
601
3
676
4
587
5
721
6
633
7
613
8
775
9
687