Теория вероятностей

Решение 6 задач по теории вероятности с подробным решением. ...

Задача 9 2
Задача 19 3
Задача 29 6
Задача 39 7
Задача 49 8
Задача 59 9

Автомат изготавливает одинаковые детали, 5% произведённой продукции оказывается бракованной. Найти вероятность того, что из четырёх последовательно изготовленных деталей будут бракованными не более двух.

245) Вероятность попадания в интервал найдём с помощью функции распределения по формуле:Pα<X<β=Fβ-FαПолучим:P1<X<2=F2-F1=181∙24-181∙14=181∙16-1=181∙15=527Ответ: A=181;MX=2.4, DX=0.24, P1<X<2=527.Задача 29Заданы математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределённой случайной величины X. Требуется: 1) написать плотность распределения вероятностей fx и схематично построить её график;2) найти вероятность того, что X примет значение из интервала α, β.a=5, σ=6, α=4, β=9Решение1) Плотность распределения вероятностей нормально распределённой случайной величины имеет вид:fx=1σ2πe-x-a22σ2Подставим данные задачи:fx=162πe-x-52722) Вероятность попадания в интервал для нормально распределённой случайной величины вычисляется по формуле:Pα<X<β=Фβ-aσ-Фα-aσПодставим данные задачи:P4<X<9=Ф9-56-Ф4-56=Ф23-Ф-16=Ф0.67+Ф0.17=0.2486+0.0675=0.3161Ответ: fx=162πe-x-5272; P4<X<9=0.3161.Задача 39Производится некоторых опыт, в котором случайное событие A может появиться с вероятностью p. Опыт повторяют в неизменных условиях n раз.n=900, p=0.8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события A отклонится от p=0.8 не более, чем на 0.1.РешениеВоспользуемся формулой:pmn-p≤ε≈2ФεnpqПо условию задачи введём обозначения: n=900, p=0.8, q=1-p=1-0.8=0.2, ε=0.1. Получим:p=pmn-p≤ε≈2Ф0.1∙9000.8∙0.2=2Ф0.1∙5625=2Ф7.5=2∙0.5=1Ответ: p=1.Задача 49В результате 10 независимых измерений некоторой случайной величины X, выполненных с одинаковой точностью, получены опытные данные, приведённые в таблице. Предполагая, что результаты измерений подчинены нормальному закону распределения вероятностей, оценить истинное значение величины X при помощи доверительного интервала, покрывающего истинное значение величины X с доверительной вероятностью 0.95.x1x2x3x4x5x6x7x8x9x108.78.96.99.49.38.59.29.98.66.4РешениеТ.к. дисперсия выборки не известна, то доверительный интервал для неизвестного математического ожидания будет следующим:X-tγ∙Sn<X<X+tγ∙SnНайдём неизвестные величины X, S.X=110∙i=110xi=8.7+8.9+6.9+9.4+9.3+8.5+9.2+9.9+8.6+6.410=85.810=8.58S2=110∙i=110xi2-8.582=8.72+8.92+6.92+9.42+9.32+8.52+9.22+9.92+8.62+6.4210-73.