Вход

ТСМО

Рекомендуемая категория для самостоятельной подготовки:
Курсовая работа*
Код 292541
Дата создания 23 июня 2014
Страниц 35
Мы сможем обработать ваш заказ 26 сентября в 12:00 [мск]
Файлы будут доступны для скачивания только после обработки заказа.
780руб.
КУПИТЬ

Описание

Разработать систему массового обслуживания (систему ПРО) с отка-зами и упорядоченным обслуживанием. Создать аналитическую и имита-ционную модель СМО и проверить их адекватность. ...

Содержание

Содержание

1. Введение 4
2. Разработка аналитической модели 8
2.1. Математическое описание 8
2.2. Расчёт параметров СМО 10
2.3. Анализ полученных результатов моделирования 13
3. Разработка имитационной модели 14
3.1. Математическое описание 14
3.2. Описание блок-схемы алгоритма. 16
3.3. Анализ полученных результатов моделирования 17
4. Сопоставление полученных результатов 19
5. Заключение 22
Список используемой литературы 23
Приложение А 24
Приложение Б 25
Приложение В 26
Приложение Г 28
Приложение Д 30
Приложение Е 31
Приложение Ж 34
Приложение И 35

Введение

1. Введение
Работу системы противоракетной обороны можно рассмотреть на основе модели системы массового обслуживания [1].
Схематично система ПРО выглядит следующим образом:


Рис. 1.1. Система ПРО

Система ПРО n-канальная, на вход системы поступают ракеты про-тивника. Ракеты в пределах полосы налетов могут быть обстреляны любым каналом системы.
Ширина полосы налетов определяется техническими возможно-стями каналов системы. Предполагается, что вне пределов полосы налетов ракеты не обнаруживаются и не могут быть обстреляны ни одним из n ка-налов системы ПРО.
Глубина зоны обстрела определяется рубежом перехвата и рубе-жом прекращения огня, которые являются одинаковыми для всех n кана-лов. Если обозначить через среднюю дальность перехвата, а через - среднюю дальность прекращения стрел ьбы, то можно записать следующее приближенное выражение для глубины зоны обстрела : . Ре-ально же и определяются высотой полета и скоростью движения ракет.
При анализе системы ПРО в качестве канала обслуживания рассмат-ривается канал наведения. Канал наведения – полный комплекс техниче-ских средств, достаточный для обнаружения и поражения ракет противни-ка. Канал наведения может содержать радиолокационную станцию наведе-ния и одну или несколько пусковых установок. Так как мы рассматриваем систему с частичной взаимопомощью между каналами, то предполагается, что несколько каналов могут обстреливать одну цель.

Основным параметром любой системы массового обслуживания яв-ляется число каналов обслуживания. Каналом обслуживания называется вся совокупность технических устройств, обеспечивающих обслуживание заявки.
Работа каждого канала характеризуется временем, которое затрачи-вается на обслуживание одной заявки. В общем случае это время является случайным. Для простейших пуассоновских систем время обслуживания распределено по показательному закону с параметром . Это эквивалентно тому, что на выходе непрерывно занятого канала будет простейший поток обслуженных заявок с параметром . Как правило, все каналы имеют оди-наковую интенсивность обслуживания . В этом случае нет необходимости различать каналы (первый, второй, и т. д.). Помимо этого, будем считать, что заявка может обслуживаться любым из n каналов, т. е. любой из n каналов «доступен» для заявки.
Другим важным параметром СМО является интенсивность (плот-ность) потока заявок . Здесь уместно напомнить, что заявки различаются лишь моментом поступления на обслуживание, а интенсивность потока заявок  определяется через средний интервал между поступлениями двух заявок[1]
. (1.1)
Помимо вышесказанных параметров, эффективность работы СМО зависит от дисциплины (алгоритма) обслуживания. Алгоритм обслужива-ния определяет порядок распределения заявок между свободными канала-ми.
Эффективная скорострельность одного канала .
Каждый канал обслуживания обеспечивается пусковыми установ-ками, а каждая пусковая установка производит в среднем выстрелов в минуту. Тогда эффективная скорострельность одного канала определится так[1]
, (1.2)
где – вероятность поражения цели одной выпущенной по ней ракетой.

Существенным вопросом при рассмотрении работы системы ПРО является вопрос о получении информации о результатах стрельбы. Здесь возможны различные случаи.
Самым простым является случай, когда канал обслуживания обстре-ливает цель в течение времени после чего обстрел цели прекращается независимо от того, поражена цель или нет. Считая, что каждый из каналов производит пуассоновский поток эффективных (успешных) выстрелов с параметром , можно приближенно вычислить вероятность поражения цели одним каналом по формуле [1]
. (1.3)
Если считать, что каждый канал производит регулярный поток вы-стрелов с параметром , то вероятность поражения цели одним таким каналом можно приближенно вычислить по формуле [1]
. (1.4)

Если цель обстреливалась одновременно каналами и каждый из них поражает цель независимо от других, то вероятность поражения цели будет равна [1]
. (1.5)

Среднее время пребывания цели в зоне обстрела [1]
, (1.6)
где – скорость полета ракеты, при условии, что она обстреливается.
Вероятность поражения цели при условии, что она обстреливается одним каналом, будет определяться как вероятность выполнения неравен-ства [1]
. (1.7)

Принимая во внимание допущение о пуассоновском характере сис-темы, считаем, что среднее время, затрачиваемое на поражение цели, равно [1]

. (1.8)

Поток эффективных выстрелов является пуассоновским с парамет-ром . Так как рассматриваются только пуассоновские системы, считаем, что время пребывания цели в зоне обстрела является показательным с параметром [1]
. (1.9)

В этом случае справедлива формула [1]
. (1.10)

Если допустить, что сумма случайных величин распределена по показательному закону с математическим ожиданием , то время занятости канала будет также подчинено показательному закону с па-раметром
. (1.11)
Таким образом, поток освобождений канала ПРО . Если время пе-редачи информации мало, то формула (1.11) примет вид

(1.12)

Поток освобождений канала слагается из двух потоков: потока по-ражающих выстрелов с параметром и потока уходов непоражённых ра-кет из зоны обстрела с параметром . То есть канал освобождается либо по причине поражения ракеты, либо по причине выхода ракеты из зоны об-стрела непоражённой.
При анализе работы системы ПРО необходимо знать характеристики налета. Будем считать, что налетающие ракеты образуют пуассоновский поток [1] с интенсивностью , который определяется так

, (1.13)
где – средний линейный интервал между целями.
В нашем случае время передачи информации мало и заявки «терпе-ливые», значит формула (1.12) преобразуется в формулу (1.14) и интен-сивность потока обслуживания определяется так

. (1.14)

Для вычисления параметров системы в дальнейшем будем использо-вать формулы (1.9), (1.13) и (1.14).

Таким образом, имеем следующую постановку задачи:
рассматривается работа n-канальной системы ПРО с ограниченным временем пребывания заявки в системе. На вход системы поступает про-стейший поток заявок с интенсивностью . Если к моменту поступления заявки в систему свободен хотя бы один из n каналов, то эта заявка прини-мается к обслуживанию только одним (любым) из свободных каналов. Ес-ли к моменту поступления заявки в систему все каналы заняты, то данная заявка остается не обслуженной. На занятый канал действует пуассонов-ский поток освобождений с интенсивностью * =  + , которая складыва-ется из интенсивности потока обслуживаний одного канала  и интенсив-ности потока уходов заявки из-под обслуживания .

Фрагмент работы для ознакомления

среднее время занятости канала
, (3.7)
где s – количество циклов программы, – разница между текущим модельным временем и временем прихода следующей заявки на i-ом шаге цикла, – количество занятых каналов на i-ом шаге цикла.
среднее время простоя канала
, (3.8)
где s – количество циклов программы, – разница между текущим модельным временем и временем прихода следующей заявки на i-ом шаге цикла, – количество свободных каналов на i-ом шаге цикла .
Таким образом, используя имитационную модель можно получить требуемые параметры.
Имитационное моделирование включает следующие этапы:
1) Время прихода следующей заявки можно вычислить через текущее время следующим образом
,(3.9)
где - текущее модельное время.
2) Время обслуживания заявки можно рассчитать следующим образом
. (3.10)
Для каждой заявки, стоящей на обслуживании, проверяется, не истекло ли время её обслуживания. Если время истекло, то заявка считается обслуженной и занятые ею приборы освобождаются.
3) Для каждой пришедшей заявки проверяется, можно ли ее поставить на обслуживание. Это возможно, если в текущий момент времени число свободных каналов больше нуля. В этом случае заявка принимается на обслуживание и обслуживается одним каналом.
Для увеличения достоверности моделирования необходимо брать время моделирования достаточно большим (порядка 109 итераций модельного цикла). Однако в этом случае реализация процесса является слишком продолжительной.
3.2. Описание блок-схемы алгоритма.
Описание блок-схемы (см. приложение Д):
1) Начало алгоритма;
2) Далее идет блок описания переменных;
3) Установка начальных значений и обнуление счётчиков заявок, выполненных заявок, отказов;
4) Обнуление счетчиков занятых каналов;
5) Основной цикл моделирования «Цикл 1», который заканчивается, когда модельное время превысит заданное;
6) Вложенный «Цикл 2» отвечает за освобождение занятых каналов: если время заявки истекло, то канал освобождается и увеличивается счетчик обслуженных заявок;
7) На каждом шаге основного цикла проверяется «текущее модельное время превышает время прихода следующей заявки», то генерируется новая заявка. Заявка генерируется в виде случайного промежутка времени, который распределён по пуассоновскому закону;
8) Во вложенном цикле 3 происходит поиск свободных каналов;
9) Если свободный канал найден, то сгенерированная заявка ставится на обслуживание и генерируется ее время обслуживание, иначе увеличивается счетчик отказов.
10) После завершения основного цикла вычисляются требуемые параметров СМО:
- вероятность занятости канала по формуле (3.6)
- среднее время занятости канала по формуле (3.7)
- среднее время простоя канала по формуле (3.8)
В соответствии с изложенным алгоритмом была написана программа (листинг программы представлен в приложении Е).
3.3. Анализ полученных результатов моделирования
При имитационном моделировании для получения статистически достоверных результатов необходимо некоторое число реализаций. Чем больше , тем точнее оценки. В нашем случае количество реализаций можно найти по формуле[3]:
, (3.11)
где - дисперсия; - задаваемая точность; -уровень значимости.
Это общеизвестная формула для расчета числа экспериментов при неизвестном законе распределения случайной величины,
При использовании данной формулы необходимо знать дисперсию , которая изначально неизвестна. Поэтому зададимся произвольным числом реализаций (10 реализаций), определим дисперсию (например, параметра при числе каналов 3), и найдём необходимое количество реализаций.
В таблице 3.3.1 представлены полученные реализации.
Таблица 3.3.1

3
1
0.518
0.000006
2
0.525
0.000021
3
0.520
0.000000
4
0.526
0.000037
5
0.529
0.000090
6
0.524
0.000014
7
0.510
0.000100
8
0.508
0.000139
9
0.526
0.000033
10
0.515
0.000028
Среднее: 0.520
Сумма: 0.000466
Посчитаем дисперсию:
Зададимся точностью и уровнем значимости : пусть погрешность не более 1%, поэтому точность можно взять, а уровень значимости . В этом случае число реализаций по формуле (3.11) .
Будем использовать для имитационного моделирования по 10 реализаций, что должно дать хорошие по точности результаты.
В случае многократного моделирования погрешность уменьшается в раз.
В результате имитационного моделирования получены интересующие нас вероятностные характеристики системы (см. таблицу 3.3.2).
Таблица 3.3.2
Усредненные результаты имитационного моделирования
Число каналов обслуживания,
, мин
, мин
0.520
0.708
0.709
0.422
0.682
0.888
0.374
0.703
1.241
Проводя моделирование при увеличении числа обслуживающих каналов от 3 до 5, наблюдаем:
уменьшение вероятности занятости канала 0.520 до 0.374;
время занятости канала колеблется около 0,7 мин;
увеличение времени простоя канала 0.709 до 1.241.
Как и в аналитической модели, при имитационном моделировании подтвердилось предположение о поведении расчетных характеристик при изменении числа каналов обслуживания. То есть, очевидно, что при увеличении числа обслуживающих приборов среднее время простоя канала должны возрасти, а вероятность занятости канала уменьшиться.
Существенным достоинством имитационной модели является возможность при многократном моделировании получить достаточно точные оценки рассчитываемых вероятностных показателей. Поэтому было произведено 10-ти кратное моделирование и усреднение полученных данных. Подробные результаты представлены в приложении Г.
4. Сопоставление полученных результатов
Исходно нам неизвестно, по какому закону распределены выборки искомых параметров, полученных в результате аналитического и имитационного моделирования. Для оценки однородности таких выборок (и, соответственно, для подтверждения гипотезы о том, что выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности), существуют специальные критерии, например, критерий Вилкоксона [2] , критерий Лапласа [2] (сравнение двух средних произвольно распределенных генеральных совокупностей (большие независимые выборки)), критерий Колмогорова [3]. Но данные критерии требуют достаточно большого числа элементов в выборке и в нашем случае не подходят. Входящий поток заявок имеет распределение Пуассона, которое описывается следующей функцией плотности вероятности:
,
где - случайная величина.
Тогда можно воспользоваться критерием Фишера [2] для дисперсий выборок (при выполнении критерия можно считать, что генеральные дисперсии различаются незначимо).
Суть критерия заключается в следующем:
Находятся дисперсии выборок параметров для двух моделей:
, (4.1)
, (4.2)
где - элемент выборки; - среднее значение по выборке; - число элементов выборки.
Составляется отношение или , так, чтобы
Далее это отношение сравнивается с табличным значением критерия Фишера. Если , то гипотезу об однородности выборок принимаем.
Оценка однородности дисперсий выборок вероятности занятости канала :
Таблица 4.1 – Вероятность занятости канала
Аналитическая
модель
Имитационная
модель
3
0.505
0.520
4
0.430
0.422
5
0.364
0.374
Дисперсии в соответствие с формулами (4.1), (4.2) принимают следующие значения:
Значение критерия Фишера по таблице по степеням свободы равно 9.31
Как видно, гипотеза об однородности дисперсий двух выборок подтверждается.
Оценка однородности дисперсий выборок среднего времени занятости канала :
Таблица 4.2 – Среднее время занятости канала
Аналитическая
модель
Имитационная
модель
3
0.692
0.708
4
0.692
0.682
5
0.692
0.703
В этом случае невозможно оценить однородность выборок, так как параметр не зависит от n и есть величина постоянная.
Оценка однородности дисперсий выборок среднего времени простоя канала :
Таблица 4.3 – Среднее время простоя канала
Аналитическая
модель
Имитационная
модель
3
0.678
0.709
4
0.917
0.888
5
1.211
1.241
Дисперсии в соответствие с формулами (4.1), (4.2) принимают следующие значения:
Значение критерия Фишера по таблице по степеням свободы равно 9.31
Как видно, гипотеза об однородности дисперсий двух выборок подтверждается.
Исходя из вышеприведенных расчетов, можно сделать вывод, что все четыре пары выборок однородны. Наименьшее расхождение по дисперсиям между моделями, как видно, получилось в среднем времени простоя канала, наибольшее – в вероятности занятости канала.
Также видно при сравнении конкретных числовых значений, что расхождение по параметрам мало (в худшем случае составляет примерно 4%). Разработанные разными подходами модели дают достаточно точные результаты с малым расхождением, что позволяет говорить об их адекватности с большой вероятностью.
Здесь также стоит отметить, что оценка адекватности была произведена достаточно грубо: пришлось предположить закон распределения, а также оценка проводилась с малым числом данных (по 3 числа в выборке, что для статистических критериев мало, желательно иметь выборку содержащую не меньше 100 чисел). В нашем случае пришлось использовать статистический критерий для малого числа данных, таким образом, получилась грубая оценка.
5. Заключение
В процессе выполнения данной индивидуальной работы мы познакомились с системами массового обслуживания на примере системы ПРО. Данная система ПРО была рассмотрена как система массового обслуживания с отказами и частичной взаимопомощью между каналами обслуживания.
Для заданной системы были построены две модели: аналитическая модель и имитационная модель. Обе системы рассматриваются при следующих упрощениях: рассматривается простейший пуассоновский поток входящих заявок, простейший пуассоновский поток обслуживания, система работает в стационарном режиме. В аналитической модели путем решения алгебраической системы уравнений можно определить вероятностные характеристики системы – вероятность обслуживания, среднее число занятых каналов, вероятность занятости канала и др.
Имитационная модель строилась с учетом всех особенностей функционирования реальной системы и поэтому она достаточно точно описывает все вероятностные процессы. В основу имитационной модели положено рассмотрение работы системы на некотором отрезке времени. В результате этого можно определить вероятностные характеристики системы. Листинг программы имитационного моделирования приведён в Приложении Е.
Анализ адекватности моделей был произведен с помощью критерия Фишера. Необходимо отметить, что в виду вышеуказанных допущений (малое число элементов выборок) оценка адекватности моделей получилась приближенной.
На этапе сравнения двух построенных моделей с помощью статистического критерия был сделан вывод - с точки зрения вычисления такой характеристики системы как вероятность отказа модели (аналитическая и имитационная) адекватны.
Также была выявлена зависимость вероятностных характеристик системы от числа обслуживающих приборов. При увеличении числа обслуживающих приборов от 3 до 5, наблюдаем:
уменьшение вероятности занятости канала:
- для аналитической модели от 0.505 до 0.364;
- для имитационной модели от 0.520 до 0.374;
среднее время занятости канала:
- для аналитической модели не изменяется;
- для имитационной модели незначительно колеблется около значения 0,7;
увеличение среднего времени простоя канала:
- для аналитической модели от 0.678 до 1.211;
- для имитационной модели от 0.709 до 1.241;
Соответствующие зависимости в виде графиков представлены в Приложении И.
Список используемой литературы
1. Южаков А.А. Прикладная теория систем массового обслуживания: Учеб. Пособие / Перм. гос. техн. ун-т. – Пермь, 2004. – 121 с.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М: Высшая школа, 1977.
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М: Высшая школа, 2001. – 575 с.
4. Южаков А.А. АСНИ: Методические указания к курсовому проектированию и индивидуальной работе. – Пермь: ПГТУ, 1995.
5. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания. -М.: Сов. радио, 1971.-520 с.
6. ГОСТ 19.105-78. ЕСПД. Общие требования к программным документам.
7. ГОСТ 2.105-95. ЕСКД. Общие требования к текстовым документам.
8. Тараканов К.В., Овчаров Л.А., Тырышкин А.Н. Аналитические методы исследования систем – М: Советское радио, 1974.
9. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. Перевод с английского под редакцией д-ра техн. наук Б.Ц. Цыбакова– М: изд. «Мир», 1979.
Приложение А
Блок-схема программы аналитического моделирования
Приложение Б
Листинг программы аналитического моделирования работы системы ПРО
Program A_Model;
Uses crt;
Const
lambda=2.708; {поток заявок}
mu=0.825; {поток обслуживания}
eta=0.619; {параметр нетерпения}
var
n: integer;
muz,ro,alfa: real; {вспомогательные переменные}
k,p0,pzk,Pobs,lam0,tzk,tpk: real;
Function Rf(h:integer,a:real):real;
Var i:integer;
mul:real;
Begin
mul:=1;
for i:=1 to h do
mul:=mul*a/I;
Rf:=mul;
end;
Function Pf(h:integer,a:real):real;
Var i,j:integer;
mul,sum:real;
Begin
sum:=1;
for i:=1 to h do
begin
mul:=1;
for j:=1 to i do
mul:=mul*a/j;
sum:=sum+mul;
end;
Pf:=sum;
end;
Begin
Write(' Введите число каналов обслуживания n =');
Readln(n);
muz:=mu+eta;
alfa:=lambda/muz;
k:=alfa*Rf(n-1,alfa)/Rf(n,alfa);

Список литературы

Список используемой литературы

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М: Высшая школа, 1977.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М: Высшая школа, 2001. – 575 с.

3. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания. -М.: Сов. радио, 1971.-520 с.

4. ГОСТ 19.105-78. ЕСПД. Общие требования к программным документам.

5. ГОСТ 2.105-95. ЕСКД. Общие требования к текстовым документам.

6. Тараканов К.В., Овчаров Л.А., Тырышкин А.Н. Аналитические методы исследования систем – М: Советское радио, 1974.

7. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. Перевод с англий-ского под редакцией д-ра техн. наук Б.Ц. Цыбакова– М: изд. «Мир», 1979.
Пожалуйста, внимательно изучайте содержание и фрагменты работы. Деньги за приобретённые готовые работы по причине несоответствия данной работы вашим требованиям или её уникальности не возвращаются.
* Категория работы носит оценочный характер в соответствии с качественными и количественными параметрами предоставляемого материала. Данный материал ни целиком, ни любая из его частей не является готовым научным трудом, выпускной квалификационной работой, научным докладом или иной работой, предусмотренной государственной системой научной аттестации или необходимой для прохождения промежуточной или итоговой аттестации. Данный материал представляет собой субъективный результат обработки, структурирования и форматирования собранной его автором информации и предназначен, прежде всего, для использования в качестве источника для самостоятельной подготовки работы указанной тематики.
© Рефератбанк, 2002 - 2022