Развитие логического мышления старшеклассников на элективном курсе по тригонометрии

ВКР написана в 2010 году для специальности "Учитель математики" ...

Введение 3
Глава 1. Логическое мышление и его развитие 6
1.1. Мышление: его закономерности и условия развития. 6
1.2. Математическое мышление. 14
1.4. Развитие логического мышления при обучении математике. 24
1.4.1. Актуальность проблемы развития логического мышления учащихся. 25
1.4.2. История проблемы развития логического мышления учащихся. 28
1.4.3. Содержание проблемы развития логического мышления при обучении математике в школе. 29
1.4.4. Пути решения проблемы развития логического мышления учащихся. 32
Глава 2. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования: цели и структура профильного обучения. 34
2.1. Элективные курсы: основные цели, задачи и функции. 37
2.2. Особенности разработки элективных курсов 39
Пояснительная записка к элективному курсу «Тригонометрические уравнения» 43
Урок 1. Простейшие тригонометрические уравнения. (1 час) 49
Урок 2. Простейшие тригонометрические уравнения. (2 час) 58
Урок 3. Историческая справка о развитии тригонометрии.(1 час) 61
Урок 5. Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. (1 час) 65
Урок 7. Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение. (1 час) 71
Урок 8. Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента. (1 час) 74
Урок 9. Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента. (2 час) 77
Урок 11. Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени. (1 час) 83
Урок 12. Решение тригонометрических уравнений с применением формул тройного аргумента. (1 час) 86
Урок 13. Решение тригонометрических уравнений методом универсальной подстановки. (1 час) 89
Урок 14. Решение тригонометрических уравнений методом группировки. (1 час) 92
Урок 15. Решение тригонометрических уравнений, содержащих знак модуля или знак корня. (1 час) 95
Урок16. Использование ограниченности функций при решении тригонометрических уравнений. (1 час) 98
Урок 17. Функциональные методы решения тригонометрических уравнений и комбинированных уравнений. (1 час) 101
Урок 18. Решение нестандартных тригонометрических задач. (1 час) 104
Урок 18. Решение нестандартных тригонометрических задач. (1 час) 104
Урок 19. Решение нестандартных тригонометрических задач. (2 час) 106
Приложение 1 108
Библиографический список 113

Актуальность задачи интеллектуального развития личности, важнейшим компонентом которой является формирование логических умений, операций и приемов их составляющих, обусловлена рядом следующих обстоятельств:
1. Качество усвоения знаний во многом зависит от уровня развития
мышления учащихся: логически развитое мышление способно легче усвоить знания и в большем количестве, чем мышление, логически менее развитое;
2. Организация умственного труда основывается на выборе и
последовательном осуществлении оптимальных для данной ситуации форм, методов и приемов деятельности, а это чаще всего приемы мыслительных операций;
3. В единстве и взаимосвязи с развитием мышления идет развитие речи.
Проблемой развития логического мышления учащихся занимались многие зарубежные и отечественные ученые: Ж. Пиаже, Д. Дьюи, Л.С. Выготский, А.Н. Леонтьев, П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина, Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов, С.А. Рубинштейн, Н.А. Менчинская, М.Н. Скаткин и др.
Отдельные аспекты логической культуры школьников разрабатывали И.Л. Никольская, Ю.И. Веринг, Т.С. Маликов, А.А. Шрайнер, В.Г. Ежкова, Д.Н. Середа. Ученые (И.Я. Лернер, И.Л. Никольская, Н.П. Партиев, Н.А. Подгорецкая, Н.Ф. Талызина, А.А. Столяр и др.) теоретически и экспериментально доказали, что школа еще не обеспечивает выпускникам необходимый уровень логической грамотности.[3]
Согласно «Стандарту среднего(полного) общего образования по математике» одной из целей изучения математики является развитие логического мышления. Также одним из требований к уровню подготовки выпускников является знание и понимание универсального характера законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности.[21]
В настоящее время согласно Положению о формах и порядке проведения государственной (итоговой) аттестации обучающихся, освоивших основные общеобразовательные программы среднего (полного) общего образования от 28 ноября 2008г. Государственная (итоговая) аттестация проводится в форме единого государственного экзамена (далее - ЕГЭ).[15]
Самый эффективный способ подготовки старшеклассников к сдаче ЕГЭ это введённые в 2003 году Министерством образования Российской Федерации так называемые элективные курсы.
Цель работы заключается в разработке элективных занятий по теме "Тригонометрия" в старших классах с целью развития логического мышления учащихся и их подготовки к выполнению заданий ЕГЭ группы В4-В8 и С1-С3, чтобы они смогли в жесткой атмосфере конкурсного экзамена успешно справиться с ними.
Объектом исследования является процесс обучения математики в школе.
Предметом исследования является становление системы развития логического мышления учащихся 10-11 классов при изучении элективного курса по тригонометрии.
В соответствии с проблемой, целью и предметом исследования поставлены следующие задачи:
 изучить и проанализировать психолого-педагогическую литературу по проблеме исследования;
 уточнить понятие логического мышления;
 выявление психолого-педагогических и методических особенностей
 преподавания математики в старших классах с целью повышения эффективности изучения элективного курса по "Тригонометрии".
 разработка содержания и методики изучения элективного курса по "Тригонометрии"
Методы исследования:
 анализ и систематизация материалов,
 сравнительный анализ,
 классификация и теоретическое обобщение фактов,
 анализ содержания психолого-педагогической, математической и методической литературы
 анализ содержания школьных учебников и учебных пособий по теме "Тригонометрия"
 анализ работ по методике преподавания математики.
Практическая значимость исследовательской работы состоит в разработке элективного курса по Тригонометрии, направленного на развитие логического мышления, и в подготовке старшеклассников к сдаче ЕГЭ.

Данный курс способствует развитию логического мышления.
Формы проведения занятий: лекция, беседа, практикум по решению задач, индивидуальная и групповая деятельность учащихся.
Основное содержание курса (19 часов):
1. Простейшие тригонометрические уравнения. (2 часа)
теоретический материал;
решение задач.
2. Историческая справка о развитии тригонометрии.(1 час)
теоретический материал;
3. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители. (1 час)
теоретический материал;
решение задач.
4. Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. (1 час)
теоретический материал;
решение задач.
5. Решение однородных тригонометрических уравнений. (1 час)
теоретический материал;
решение задач.
6. Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение. (1 час)
теоретический материал;
решение задач.
7. Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента. (2 часа)
теоретический материал;
решение задач.
8. Решение тригонометрических уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму. (1 час)
теоретический материал;
решение задач.
9. Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени. (1 час)
теоретический материал;
решение задач.
10. Решение тригонометрических уравнений с применением формул тройного аргумента. (1 час)
теоретический материал;
решение задач.
11. Решение тригонометрических уравнений методом универсальной подстановки. (1 час)
теоретический материал;
решение задач.
теоретический материал;
решение задач.
12. Решение тригонометрических уравнений методом группировки. (1 час)
теоретический материал;
решение задач.
13. Решение тригонометрических уравнений, содержащих знак модуля или знак корня. (1 час)
теоретический материал;
решение задач.
14. Использование ограниченности функций при решении тригонометрических уравнений. (1 час)
теоретический материал;
решение задач.
15. Функциональные методы решения тригонометрических уравнений и комбинированных уравнений. (1 час)
теоретический материал;
решение задач.
16. Решение нестандартных тригонометрических задач. (2 часа)
решение задач.
Промежуточная и итоговая аттестация.
Промежуточный контроль проводится посредством текущей проверки выполнения домашних заданий.
Итоговой формой контроля является контрольная работа, организованная следующим образом:
Учащимся предлагается набор контрольных заданий, каждое из которых оценено в определенное количество баллов в зависимости от сложности уровня задания. Выделяется три уровня сложности: от 0 до 3, от 0 до 6, от 0 до 9 за каждое задание в зависимости от полноты и правильности выполнения. Учащийся сам выбирает уровень сложности заданий, которые он в состоянии решить (уровень сложности каждого задания указан рядом с заданием). Так же учащимся предоставляется замена задания в случае, если учащийся не может справиться с выбранным заданием. При этом с его «счета» снимается один балл. После проведения данной контрольной работы составляется рейтинг и в зависимости от него определяется граница зачета и незачета по количеству набранных баллов.
Контрольные задания
От 0 до 3
От 0 до 6
От 0 до 9
При всех значениях решить уравнение:
Для решения данной контрольной работы учащимся необходимо систематизировать знания, полученные при изучении курса, а именно – основные методы решения тригонометрических уравнений.
В результате усвоение материалов элективного курса учащиеся должны знать:
этапы становления тригонометрии;
основы тригонометрии;
тригонометрические функции, их свойства и графики; периодичность, основной период;
основные методы решения тригонометрических уравнений.
Урок 1. Простейшие тригонометрические уравнения. (1 час)
В начале урока учащимся выдаются памятки с формулами и формулируются некоторые мнемонические правила для запоминания формул приведения и таблицы значений тригонометрических функций некоторых углов.
Памятка основных тригонометрических формул (выдается каждому учащемуся на двустороннем листе формата А4 в уменьшенном качестве):
Мнемонические правила
Значения тригонометрических функций некоторых углов
Часто возникает путаница при использовании значений тригонометрических функций для углов . Это происходит из-за существования некоторой симметрии в значениях функций данных углов. Значения тригонометрических функций для углов следует запоминать следующим образом.
Сначала нужно составить таблицу, в первой строке которой следует записать по возрастанию , а в первом столбце – функции по порядку: . Далее нужно запомнить всего одну клетку из всей таблицы, а именно, что , и заполнить ее.
Затем приписать к единице знак радикала (карандашом). Получили «корень из одного пополам».
Далее в этой же строке заполняем две оставшиеся клетки, в некотором смысле по возрастанию: «корень из двух пополам» и «корень из трех пополам».
Вторую строку таблицы заполняем в обратном порядке. Таким образом, две строки таблицы полностью заполнены.
Учитывая формулу и выполняя
соответствующее деление,
заполняем третью строку таблицы; четвертую строку заполняем, как третью, но в обратном порядке.
Получаем таблицу значений тригонометрических функций для углов .
Понимая, как устроена таблица, учащиеся с легкостью запоминают ее.
Формулы приведения
Для запоминания этих формул необходимо знать два коротких правила:
1. Четверть дает знак.
2. Диаметр дает функцию.
Рассмотрим, например, как найти значение выражения . Сначала следует выполнить подготовительный момент: представить данное выражение в виде
1) , либо в виде
2) .
Предположим, что мы выбрали первый из представленных видов. Тогда, в III четверти косинус отрицательный (ставим знак «минус»). Далее задаем вопрос: «Меняем или не меняем функцию?». попадают на горизонтальный диаметр. Помотав головой вдоль этого диаметра, получаем ответ: «Нет, не меняем». Получим .
Теперь предположим, что мы выбрали второй из представленных видов. Вопрос со знаком решается аналогично – ставим знак «минус». А задавая вопрос: «Меняем или не меняем функцию?» и, помотав головой вдоль соответствующего диаметра, получаем ответ: «Да, меняем», так как попадают на вертикальный диаметр. Получим
.
Далее приступаем к решению простейших тригонометрических
уравнений.
1. Решить уравнение .
Решение. Грубая ошибка, которую допускают при решении этого уравнения состоит в следующем: учащиеся записывают решение , однако они не учитывают, что , следовательно, уравнение решений не имеет.
Ответ: уравнение решений не имеет.
2. Решить уравнение .
Решение. Применив формулу решения простейшего тригонометрического уравнения, получим
.
Далее многие учащиеся для нахождения возводят левую и правую части полученного уравнения в квадрат, не учитывая, что , а это влечет за собой . Так как последнему неравенству удовлетворяет только , то .
Ответ:
Домашнее задание.
Решить уравнения:
, , .
Урок 2. Простейшие тригонометрические уравнения. (2 час)
1. Решить уравнение .
Решение. Для решения данного уравнения мы должны исследовать правую част уравнения для выяснения того, в каких пределах находится ее значение. Так как функция на интервале убывает, и, следовательно, ,
а функция на интервале возрастает, и, следовательно, , то . Отсюда видно, что уравнение решений не имеет.
Ответ: уравнение решений не имеет.
2. Решить уравнение .
Решение. Имеем .
Ошибка, которую допускают многие школьники, состоит в том, что они начинают решать уравнение, предварительно не исследовав его. Так как , то должны выполняться неравенства . Этим неравенствам удовлетворяет единственное . Следовательно, решаемое уравнение равносильно уравнению: , решением которого являются .
Ответ:
3. Решить уравнение .
Решение. Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
Решениями первого и второго уравнений является совокупность решений:
Объединяя их, получим:
Так как . Значит и .
Ответ: .
4. При каких значениях уравнение имеет единственное решение на отрезке .
Решение. Рассмотрим графики функций и на отрезке .
Графиком функции является множество прямых, параллельных оси , причем , так как .
Таким образом уравнение имеет единственное решение, если графики пересекаются в единственной точке, то есть при .
Ответ: .
Домашнее задание:
1. Решить уравнение:
2. При всех значения решить уравнение .
3. Доклады на темы:
История развития тригонометрии.
Тригонометрические задачи древности.
Литература:
1. История математики в 3 томах под редакцией А.П. Юшкевича Изд Наука 1970
2. Г.И. Глейзер, История математики в школе, М-1964 под ред. В.Н. Молодшкова, изд. Просвещение
Урок 3. Историческая справка о развитии тригонометрии.(1 час)
На данном уроке заслушиваются и обсуждаются, подготовленные учащимися, доклады.
В конце урока учащиеся вместе с преподавателем формулируют выводы об основных этапах развития тригонометрии и о тех задачах, которые послужили посылкой развития тригонометрии.
Урок 4. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители. (1 час)
Теоретический материал:
Метод разложения на множители заключается в следующем: если , то всякое решение уравнения (1) является решение совокупности уравнений (2).
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: не всякое решение совокупности (2) уравнений является решением исходного уравнения (1). Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений (2) могут не входить в область определения функции .
Поэтому, если при решении тригонометрического уравнения методом разложения на множители, функции, входящие в уравнение, определены не для всех значений аргумента, после нахождения решения должна быть сделана проверка, чтобы исключить лишние корни. Можно поступить другим способом: находить область допустимых значений исходного уравнения и выбирать только те корни, которые входят в найденную область допустимых значений.
1. Решить уравнение .
Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, уравнение представим в виде:
Грубой ошибкой, которую часто допускают учащиеся, является сокращение левой и правой частей полученного уравнения на , ибо при этом теряются корни. При правильном подходе к решению данного уравнения следует перенести все слагаемые в правую часть и вынести общий множитель за скобки, получая равносильное уравнение:
.
Данное уравнение равносильно совокупности:
Ответ: ;
2. Решить уравнение .
Решение. Используя формулы приведения, преобразуем данное уравнение к виду:
.
Полученное уравнение равносильно следующей совокупности уравнений:
Ответ: ; .
3. При всех значения найти решить уравнение .
Решение. По условию задачи , то есть . Воспользовавшись тем, что , получим уравнение , которое на указанной нами области допустимых значений равносильно совокупности:
Первое уравнение данной совокупности имеет решение .
Рассмотрим второе. При принадлежит пустому множеству, при имеем . Так как , то. Следовательно, .
При этих значения .
Здесь школьники часто забывают сделать проверку на принадлежность найденных решений области допустимых значений исходного уравнения. При решения второго уравнения совокупности не принадлежат области допустимых значений уравнения. Это решение следует исключить.
Ответ: при , ;
При .
Домашнее задание.
Решить уравнения: , .
При всех значения найти решить уравнение .
Урок 5. Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. (1 час)
Теоретический материал:
При решении уравнений указанного типа в основном применяются следующие тригонометрические тождества:
1. Решить уравнение .
Решение. Введем подстановку , тогда наше уравнение примет вид:
, откуда .
Так как и , то корень не подходит. Следовательно, .
Ответ: .
2. Решить уравнение .
Решение. Применяя формулу , преобразуем наше уравнение к виду: .
Обозначая , получим . Следовательно, .
Так как , то корень следует исключить. В итоге имеем:
.
Ответ: .
3. Найти все значения , для которых уравнение имеет решение.
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению: , которое в свою очередь равносильно системе:
Эта система имеет решение, если хотя бы один из корней уравнения принадлежит интервалу .
Рассмотрим два случая:
1) Квадратное уравнение имеет два корня, принадлежащих интервалу .
Для этого должны выполняться условия:
, где .
Полученную систему решаем методом интервалов. Так как , то неравенство выполняется для всех ;
Находя пересечение полученных множеств, имеем принадлежит пустому множеству.
2) Квадратное уравнение имеет только один корень, принадлежащий отрезку . Для этого должно выполняться условие:
, то есть .
Решая данное неравенство, находим .
Объединяя оба случая, получаем .
Ответ: .
Домашнее задание.
Решить уравнения:
.
При всех значениях решить уравнение: .
Урок 6. Решение однородных тригонометрических уравнений. (1 час)
Теоретический материал.
Уравнения вида
(1),
где - действительные числа, называются однородными уравнениями степени относительно функций и .
К данным уравнениям приводятся уравнения вида:
, при этом следует применить формулы синуса и косинуса двойного угла, а также основное тригонометрическое тождество.
Общий поход к решению однородных уравнений основан на том, что корни уравнения или не являются корнями уравнения (1), так как, если, например, , то из уравнения (1) следует, что и , что противоречит основном тригонометрическому тождеству. Следовательно, левую и правую части уравнения (1) можно разделить на и ввести подстановку .
1. Решить уравнение .
Решение. Данное уравнение является однородным уравнением первой степени. Разделив обе его части на , получим равносильное уравнение . Откуда находим семейство , представляющее собой решение исходного уравнения.
Ответ: .
2. Решить уравнение .
Решение. Дано уравнение не является однородным, однако его можно преобразовать к однородному, если представить единицу следующим образом:
.
Тогда наше уравнение примет вид: ,
которое равносильно совокупности трех уравнений:
Решая их, найдем .
Ответ: .
3. Решить уравнение .
Решение. Заменив и разделив на обе части уравнения, получим равносильное уравнение .
При данное уравнение представляет собой линейное уравнение относительно , поэтому это значение параметра является особым случаем и следует отдельно рассматривать исходное уравнение при . В этом случае имеем уравнение (*), которое равносильно совокупности двух уравнений:
Откуда .
Если исходить в данном случае () из уравнения (*), то будут потеряны корни .
При уравнение (*) является квадратным относительно , дискриминант которого зависит от следующим образом: .
Если , то есть , то уравнение (*) не имеет корней
Если , то есть , , откуда .
Ответ: при уравнение не имеет решений;
при ;
при .
Домашнее задание.
Решить уравнения: , .
При всех значениях решить уравнение:
.
Урок 7. Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение. (1 час)
Теоретический материал.
При решении ряда уравнений применяются тригонометрические формулы преобразования суммы и разности в произведение.
1. Решить уравнение .
Решение. Преобразуем данное уравнение к виду .
Уравнение имеет корни , а уравнение - имеет решение только при , так как , и его корнями являются .
Ответ: ; .
2. Решить уравнение .
Применив формулы преобразования разности синусов в произведение, получим
Следовательно, , при этом видно, что второе множество решений целиком содержится в первом.
Ответ: .
3. Решить уравнение .
Решение. Запишем исходное уравнение в виде .
Применив формулы преобразования разности синусов в произведение, получим
.
Обратимся к первому уравнению полученной совокупности. Так как , то из всех следует взять лишь . Тогда имеем .
Решим второе уравнение совокупности. Аналогично первому уравнению здесь подходит только . Поэтому .
Ответ: .
4. При всех значениях решить уравнение .
Запишем данное уравнение в виде .
Применяя формулы преобразования разности синусов и косинусов, получим .
Если , то есть , то .
При имеем .
Ответ: при ;
при .
Домашнее задание.
Решить уравнения: ,
.
При всех значениях решить уравнение .
Урок 8. Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента. (1 час)
Теоретическая часть.
Рассмотрим уравнение . (1)
Разделим левую и правую часть уравнения на :
.
Так как , то существует угол такой, что , , при этом
и .
Тогда уравнение (1) примет вид
, откуда
.
Отметим, что к выбору угла в задачах с параметрами нужно относится внимательно: выбор и выбор будут не всегда равносильны.
1. Решить уравнение .
Решение. Разделим левую и правую часть уравнения на . тогда получим
.
Ответ можно записать в другом виде. Для этого положив и , получим ; .
Ответ: ; .
2. Решить уравнение
.
Решение. Разделив обе части уравнения на , перепишем его в виде .
Учитывая, что , применим к левой части уравнения (*) формулу косинуса суммы двух углов, а к правой части – формулу разности синусов двух углов. Тогда уравнение (*) приводится к виду
или, поскольку
к виду
.
Первое уравнение последней совокупности имеет серию решений , а второе две серии решений ; .
Ответ: ; ; .
Домашнее задание.
Решить уравнения: .
Урок 9. Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента. (2 час)
1. Найти все решения уравнения , удовлетворяющие неравенству .
Решение. Воспользовавшись тем, что, запишем уравнение в виде . Разделив его на и учитывая, что , , получим уравнение равносильное данному
.
Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений и .
Эти уравнения имеют соответственно решения и .
Найденные серии решений составляют множество решений данного уравнения. Из них следует выбрать те, которые удовлетворяют условию .
Пусть , тогда .
Условию задачи удовлетворяют следующие подмножества данной серии исходного уравнения, получающиеся при и :
.
Пусть , тогда
.
Условию задачи удовлетворяют решения, соответствующие четным значениям : .
Ответ: .
2. При всех значениях решить уравнение .
Решение. Воспользовавшись формулой суммы косинусов двух углов, приведем к уравнению (1), рассмотренному в теоретической части .
Разделим левую и правую часть данного уравнения на . Условия, определяющие вспомогательный угол, можно записать так: , , тогда уравнение приводится к виду (*).
Данное уравнение имеет корни лишь в том случае, если , откуда . Следовательно, (**).
Итак, уравнение (*), а вместе с ним и исходное уравнение, имеют решение только при значениях , удовлетворяющих условию (**).
Теперь нужно определить правильно угол . Помочь в выборе выражения для вспомогательного угла может следующее соображение. Поскольку положителен (это видно из формулы ), то сам угол можно выбрать либо в первой, либо во второй четвертях. Но именно в этих четвертях лежат значения арккосинуса. Поэтому в качестве вспомогательного угла можно взять .
Если бы был взят угол , то угол лежал бы в первой четверти и поэтому его косинус принимал бы только положительные значения. Однако вторая формула показывает, сто при косинус вспомогательного угла отрицателен.
Ответ: при
;
при уравнение решений не имеет.
Домашнее задание.