Вход

Численное моделирование задач фокусировки и наблюдения волн

Рекомендуемая категория для самостоятельной подготовки:
Дипломная работа*
Код 291972
Дата создания 01 июля 2014
Страниц 38
Мы сможем обработать ваш заказ 29 сентября в 12:00 [мск]
Файлы будут доступны для скачивания только после обработки заказа.
7 730руб.
КУПИТЬ

Описание

Численное моделирование задач фокусировки и наблюдения волн ...

Содержание

Содержание
ВВЕДЕНИЕ 4
1. НЕФОРМАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 6
1.1. Цель работы 6
1.2. Методы решения обратных задач 7
1.2.1. Метод оптимизации 7
1.2.2. Метод продолжения 7
1.2.3. Метод граничного управления 8
2. МЕТОД ГРАНИЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ 9
2.1. Прямая задача 9
2.2. Связывающий оператор 11
2.3. Управляемость 14
3. ФОРМАЛЬНО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 15
3.1. Задача фокусировки волн 15
3.2. Наблюдение и задача с глубинными источниками 16
4. ДИСКРЕТНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. 19
4.1. Задача фокусировки волн 19
4.2. Задача наблюдения 22
5. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ. 23
5.1. Задача фокусировки волн 23
5.2. Задача наблюдения 27
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 29
ЛИТЕРАТУРА 30
ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ 32

Введение

Обратные задачи – это тип задач, который часто возникает во многих разделах науки, когда значения параметров должны быть получены из наблюдаемых данных. Сфера применения обратных задач очень обширна: геофизика (сейсморазведка, электроразведка, каротаж, магнитотеллурическое зондирование), медицина (ЯМР-томография, УЗИ, рентгеновская томография), физика (квантовая механика, акустика, электродинамика), экология (диагностика состояния воздуха, воды, космический мониторинг), экономика (теория оптимального управления, финансовая математика), астрономия, компьютерная томография, дефектоскопия и т.д.
Сам термин предполагает, что имеется некоторая прямая задача. Как правило, прямые задачи – это обычные корректно поставленные задачи, для которых решение существует, единственно и устойчиво к малым вариациям данных в подходящих функциональных пространствах. Большинство обратных задач, наоборот являются некорректными в связи с неустойчивостью их решения. Вследствие этого существующие методы решения не всегда дают хороший результат.
Обратная задача называется одномерной, если неизвестные функции зависят, лишь от одной переменной, и многомерной, если они являются функциями нескольких переменных. Наиболее полно изучены одномерные задачи [4-7].
По многомерным задачам результатов существенно меньше, особенно в части, касающейся конструктивных методов и алгоритмов. В непереопределенных постановках, когда требуется определить, скажем, скорость звука в области по одному измерению на ее границе наиболее полные результаты (теоремы единственности и оценки условной устойчивости) получены в работах В.Г. Романова [1,8]. Они получены в предположении либо аналитичности искомой функции по части переменных, либо в предположении регулярности поля лучей (когда любые две точки области соединяет единственная кратчайшая римановой метрики ). В переопределенных постановках, когда имеется много граничных измерений естественным и эффективным методом оказывается метод граничного управления [16,17]. Он дает конструктивные процедуры однозначного восстановления коэффициентов волнового уравнения, системы Максвелла и т.д. без каких-либо существенных ограничений на искомые коэффициенты.
В данной работе приведено решение обратных динамических задач для волнового уравнения: фокусировки волн внутри среды и наблюдения волн на границе, с помощью метода граничного управления. Описан метод численного решения данных задач, а также приведены численные эксперименты по решению задач для однородной среды.

Фрагмент работы для ознакомления

Если решена задача о фокусировки и состояние сфокусированно в малой окрестности некоторой точки , то мы можем наблюдать на границе волну, вызванную источником и фиксировать времена первых вступлений от этого вируального глубинного источника во всех точках σ. По этой схеме "фокусировка-наблюдение" можно получить времена первых вступлений для всех точек области расположенных от σ на расстояние . При этом возникает геометрическая задача определения функции скорости . Это известная обратная кинематическая задача с внутренними источниками [21].
4. ДИСКРЕТНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
4.1. Задача фокусировки волн
Пусть имеется однородная среда. Скорость распространения волн в среде равна 3000м/с. В качестве источников возьмем точечные источники. Этот тип источников интересен с точки зрения практического применения, он не входит в класс источников, заявленных ранее (2.2), так как такие управления не принадлежат , однако состояния образованные данными источниками принадлежат . Решение волнового уравнения от точечного источника записывается в виде
,
где - некоторый импульс, s – задержка по времени.
Минимальное расстояние между источниками/приемниками составляет 5 метров. В качестве возьмем прямоугольный импульс, длительностью 2мс. Наименьший интервал между двумя временными задержками составляет 2мс.
Рис. 4.1. Трехмерная область решения задачи. Место расположения источников/приемников
Рис. 4.2. Прямоугольный импульс с нулевой задержкой по времени
Для того чтобы минимизировать функционал необходимо определить элементы данного функционала, а именно оператор
и . В дискретной постановке данным операторам в соответствие ставится матричный операторы.
Количество управлений равно , в соответствие оператору , ставится матрица размерностью . В соответствие ставится вектор длиной . В соответствие ставится скаляр .
Каждый элемент матрицы , за исключением случая, когда источник и приемник совмещены, вычисляется по формуле
.
Невозможность вычисления элементов, стоящих на главной диагонали по этой формуле связано с особенностью в решении. Данные элементы вычислим явным образом по формуле:
Если задержки по времени от двух управлений не равны между собой, то функция будет принимать нулевое значение везде в . В противном случае формула примет вид:
, где .
Здесь - длительность импульса.
При вычислении вектора использовались те же формулы. Отличие заключается в том, что одно из управлений фиксировано и действует начиная с момента времени 0.
Для минимизации функционала использовалась функция quadprog MatLAB, которая позволяет минимизировать квадратичные функционалы методом наименьших квадратов.
4.2. Задача наблюдения
Так как процедура численного дифференцирования не является корректной и множество управлений конечно, что естественно вместо формулы (3.2) в задаче визуализации находить непосредственно из равенства (3.1) путем разложения по базисным функциям:
, (4.1)
где
и
.
Равенство (4.1) примет вид:
.
Отсюда находим неизвестные коэффициенты и . Здесь - множество точек наблюдения.
5. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ
5.1. Задача фокусировки волн
Первым экспериментом стал эксперимент, показывающий фокусировку волн от «линейки» источников. Количество источников/приемников составляет 25, располагаются вдоль оси Ox. Количество задержек по времени – 20.
а)
б)
в)
г)
Рис. 5.1. Результат фокусировки волны в малой области от «линейки» источников: а) вид сверху б) вид сбоку в) поворот 45°, смещение вверх 45° г) смещение вверх на 30°
При данном расположении источников/приемников и выборе условий решения обратной задачи решение находится с точностью . Большая ошибка соответствует тому, что выбранного количества управлений не достаточно для хорошего решения данной задачи.
Вторым экспериментом по фокусировке волн, стал эксперимент не с «линейкой» источников, а с «площадкой». Расположена «площадка источников» в плоскости z=0. Количество источников/приемников увеличилось до 225. Количество управлений увеличилось до 4500. Остальные параметры остались теми же.
а)
б)
Рис. 5.2. Результат фокусировки волны в малой области от «площадки» источников: а) вид результата фокусировки спереди б) вид результата фокусировки сзади
Относительная ошибка фокусировки составляет .
5.2. Задача визуализации волн
Задача визуализации волн решалась только для случая с «линейкой» источников.
а)
б)
Рис. 5.3. График распространения волны, инициированной «виртуальным» глубинным источником, результатом фокусировки от «линейки» источников: а) результат отрисовки функцией mesh б) результат отрисовки функцией waterfall
Как видно из рисунка, волна распространяется в обратном направлении времени, максимальный вклад в реакцию на границе вносит именно «глубинный» источник в момент времени 0.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Разработанный алгоритм может работать как для однородной, так и для неоднородной среды. Это связано с тем, что при разработке метода и постановке численных экспериментов нигде при решении обратной задачи не учитывалась однородность среды.
В заключении отметим следующие результаты:
Был изучен метод граничного управления;
Решена задача фокусировки волн;
Решена задача визуализации волн;
Были проведены численные эксперименты, которые показывают возможность решения данных задач методом граничного управления.
Также отметим важность решения данных задач. Как было замечено, задача фокусировки волн является существенной при решении задачи построения скоростного разреза среды. В дальнейшем решения таких задач, как задача взаимодействия двух глубинных источников и задача построения скоростного разреза по заданной внутренней метрике, приведет к существенным результатам в области решения обратных задач методом граничного управления.
ЛИТЕРАТУРА
1. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 263 с.
2. Белишев М. И., Благовещенский А. С. Динамические обратные задачи теории волн. СПб: изд-во Санкт-Петербургского университета, 1999. 265 с.
3. Kabanikhin S. I. Definitions and examples of inverse and ill-posed problems // Journal of inverse and ill-posed problems. 2008. 16. №4. P. 317-357.
4. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1951. 15. № 4. С. 309-360.
5. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка, 1987. 332 с.
6. Крейн М. Г. Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи // Докл. АН СССР. 1954. 94. № 6. С.767-770.
7. Благовещенский А. С. О локальном методе решения нестационарной обратной задачи для неоднородной струны // Тр. мат. ин-та АН СССР. 1971. 65. С. 28-38.
8. Романов В. Г. Устойчивость в обратных задачах. М.: Научный мир, 2004. 304 с.
9. Natterer F, Wubbeling F. A propagation-backpropagation method for ultrasound tomography // Inverse Problems. 1995. 11. P. 1225-1232.
10. Natterer F. Reectors in wave equation imaging // Wave Motion. 2008. 45. P. 776-784.
11. Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. Новосибирск: Наука (Сиб. отд.), 1988. 166 с.
12. Beilina L. Adaptive element/difference method for inverse lastic scattering waves // Appl. Comput. Math. 2002. 1. №2. P. 158-174.
13. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 222 с.
14. Klibanov M. V., Timonov A. Carleman estimates for coefficient inverse problems and numerical applications. Utrecht (The Netherlands): VSP, 2004. 279 p.
15. Clason C., Klibanov M.V. The quasi-reversibility method for thermoacoustic tomography in a heterogeneous medium // SIAM J. SCI. COMPUT. 2007. 30. №2. P. 1-23.
16. Belishev M.I. Boundary control in reconstruction of manifolds and metrics (the BC-method) // Inverse Problems. 1997. 13. P. 1-45.
17. Belishev M.I. Recent progress in the boundary control method // Inverse Problems. 2007. 23. №5. P. 1-67.
18. Pestov L. N. On reconstruction of the speed of sound from a part of boundary // Journal of inverse and ill-posed problems. 1999. 7. №5. P. 481-486.
19. Lasiecka I., Lions J-L., Triggiani R. Non homogeneous boundary value problems for second order hyperbolic operators // J. Math. Pures Appl. 1986. 65. P. 149-192.
20. Bardos C., Lebeau G., Rauch J. Sharp sufficient conditions for the observation control and stabilization of the waves from the boundary // SIAM J. Contr. Opt. 1992. 30. P. 1024-1065.
21. Аниконов Ю.Е., Пивоварова Н.Б., Славина Л.Б. Трехмерное поле скоростей фокальной зоны Камчатки. – В кн.: Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974, вып. 5, ч. 1, C 92-117.
22. Segerlind L.J., Applied Finite Element Analysis. New York/ London/ Sydney/ Toronto: John Willey and Sons Inc, 1976. 392 p.
23. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980. 454 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Программная реализация решения задачи фокусировки энергии
Для решения обратной задачи фокусировки волн методом граничного управления был написан комплекс функций, позволяющий проводить численные эксперименты решения задачи для различных входных параметров.
Для разработки данного комплекса была выбрана математическая среда MatLab. Все функции написаны на m-языке.
Структура комплекса функций (рис. П.1):
1) Ctfifj.m – функция расчета матричного оператора.
2) Ctfif0.m – функция расчета вектор-функции.
3) Ctf0f0.m – функция вычисления скалярного произведения волны самой на себя.
4) Int_1.m, Int_2.m, Int_3.m, Int_4.m – функции, необходимые для подсчета интегралов в матричном операторе.
5) Stup.m, Intstup.m – функция импульса, а также интеграл от функции импульса по времени.
6) Minimize.m – функция подсчета минимума функционала.
7) Reakciya_st.m – функция вычисления реакции от соответствующего импульса.
8) Matr_reakcii.m – функция подсчета матрицы реакции от всех управлений.
9) Reakciya_U_f0.m – функция подсчета реакции от зафиксированного управления.
10) Surfu.m – функция отрисовки результата фокусировки.
Рис. П.1. Структура комплекса функций.
1) Stup.m
function y=stup(t,d,x)
A=10000; %Мощность импульса
if t<0
y=0;
elseif t>d
y=0;
else
y=A; %Функция предполагает ступеньку по времени, длительностью d
end
2) Intstup.m
function y=Intstup(t,d,x)
A=10000; %Мощность импульса
if t<0
y=0;
elseif t>d
y=A*d; % Функция интеграл от ступеньки, вычисляется в явном виде
else
y=A*t; % Длительность d
end
3) Int_1.m
function y=Int_1(s,dR_f,l,dR_g,R,dt,T) % s,l – соответствующие управлениям
c=3; % задержки, dR_f, dR_g – длительность
t_s=max(R/c+l*dt,s*dt); % соответствующий управлений по
t_e=min(T,dR_g+R/c+l*dt); % времени, R – расстояние между
sum=0; % управлениями. Интегрирование
shag_dt=0.000001; % происходит методом
for t=t_s:shag_dt:t_e % прямоугольников.
sum=sum+(shag_dt/2)*((stup((t )-R/c-l*dt,dR_g,T-l*dt)/R)*intstup((t )-s*dt,dR_f,T-s*dt)+(stup((t+shag_dt)-R/c-l*dt,dR_g,T-l*dt)/R)*intstup((t+shag_dt)-s*dt,dR_f,T-s*dt));
end % Для сокращения времени подсчета,
y=sum; % интегрирование ведется от t_s до t_e, а не от 0
% до T.
4) Int_2.m
function y=int_2(s,dR_f,l,dR_g,R,dt,T) %Аналогично Int_1.m
c=3;
t_s=max(R/c+s*dt,l*dt);
t_e=min(T,dR_g+l*dt);
sum=0;

Список литературы

ЛИТЕРАТУРА

1. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 263 с.
2. Белишев М. И., Благовещенский А. С. Динамические обратные задачи теории волн. СПб: изд-во Санкт-Петербургского университета, 1999. 265 с.
3. Kabanikhin S. I. Definitions and examples of inverse and ill-posed problems // Journal of inverse and ill-posed problems. 2008. 16. №4. P. 317-357.
4. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1951. 15. № 4. С. 309-360.
5. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка, 1987. 332 с.
6. Крейн М. Г. Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи // Докл. АН СССР. 1954. 94. № 6. С.767-770.
7. Благовещенский А. С. О локальном методерешения нестационарной обратной задачи для неоднородной струны // Тр. мат. ин-та АН СССР. 1971. 65. С. 28-38.
8. Романов В. Г. Устойчивость в обратных задачах. М.: Научный мир, 2004. 304 с.
9. Natterer F, Wubbeling F. A propagation-backpropagation method for ultrasound tomography // Inverse Problems. 1995. 11. P. 1225-1232.
10. Natterer F. Reectors in wave equation imaging // Wave Motion. 2008. 45. P. 776-784.
11. Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. Новосибирск: Наука (Сиб. отд.), 1988. 166 с.
12. Beilina L. Adaptive element/difference method for inverse lastic scattering waves // Appl. Comput. Math. 2002. 1. №2. P. 158-174.
13. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 222 с.
14. Klibanov M. V., Timonov A. Carleman estimates for coefficient inverse problems and numerical applications. Utrecht (The Netherlands): VSP, 2004. 279 p.
15. Clason C., Klibanov M.V. The quasi-reversibility method for thermoacoustic tomography in a heterogeneous medium // SIAM J. SCI. COMPUT. 2007. 30. №2. P. 1-23.
16. Belishev M.I. Boundary control in reconstruction of manifolds and metrics (the BC-method) // Inverse Problems. 1997. 13. P. 1-45.
17. Belishev M.I. Recent progress in the boundary control method // Inverse Problems. 2007. 23. №5. P. 1-67.
18. Pestov L. N. On reconstruction of the speed of sound from a part of boundary // Journal of inverse and ill-posed problems. 1999. 7. №5. P. 481-486.
19. Lasiecka I., Lions J-L., Triggiani R. Non homogeneous boundary value problems for second order hyperbolic operators // J. Math. Pures Appl. 1986. 65. P. 149-192.
20. Bardos C., Lebeau G., Rauch J. Sharp sufficient conditions for the observation control and stabilization of the waves from the boundary // SIAM J. Contr. Opt. 1992. 30. P. 1024-1065.
21. Аниконов Ю.Е., Пивоварова Н.Б., Славина Л.Б. Трехмерное поле скоростей фокальной зоны Камчатки. – В кн.: Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974, вып. 5, ч. 1, C 92-117.
22. Segerlind L.J., Applied Finite Element Analysis. New York/ London/ Sydney/ Toronto: John Willey and Sons Inc, 1976. 392 p.
23. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980. 454 с.


Пожалуйста, внимательно изучайте содержание и фрагменты работы. Деньги за приобретённые готовые работы по причине несоответствия данной работы вашим требованиям или её уникальности не возвращаются.
* Категория работы носит оценочный характер в соответствии с качественными и количественными параметрами предоставляемого материала. Данный материал ни целиком, ни любая из его частей не является готовым научным трудом, выпускной квалификационной работой, научным докладом или иной работой, предусмотренной государственной системой научной аттестации или необходимой для прохождения промежуточной или итоговой аттестации. Данный материал представляет собой субъективный результат обработки, структурирования и форматирования собранной его автором информации и предназначен, прежде всего, для использования в качестве источника для самостоятельной подготовки работы указанной тематики.
© Рефератбанк, 2002 - 2022