задачи по эконометрике

Пермский институт экономики и финансов. решение задач по эконометрике. 3 задания в каждом еще по 9 ...

Задание № 2.
По данным, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:
1. Построить линейное уравнение множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.
2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности.
3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии.
4. Сделать вывод о силе связи результата и факторов.
5. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.
6. Дать оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.
7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений.
8. Рассчитать ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости 5 или 10% (α=0,05; α=0,10).
9.Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

Задание № 1.
По данным, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:
1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
2. Рассчитать параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.
3. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
5. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
6. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выбрать лучшее уравнение регрессии и дать его обоснование.
7. Р ассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α=0,05.
8. Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

Параметр найдём по формуле:
.
Таким образом, уравнение регрессии примет вид:
.
Произведя обратную замену, получим:
.
д) Уравнение гиперболы линеаризуется при помощи замены , тогда уравнение имеет вид:
.
Для расчётов используем данные таблицы:
№
1
87,9
3813
0,0114
43,37884
14538969
0,000129
932,715323
8296039,82
141535865
81299075,56
0,7554
2
95,6
5014
0,0105
52,44770
25140196
0,000109
3705,14664
1713097,105
83255649,03
61083603,36
0,2610
3
106,2
6400
0,0094
60,26365
40960000
0,000089
6864,07877
215369,1091
35587443,49
41339756,16
0,0725
4
122,2
7708
0,0082
63,07692
59413264
0,000067
10594,3559
8331050,47
4996316,118
26230786,56
0,3745
5
135
9848
0,0074
72,94815
96983104
0,000055
12941,9437
9572487,386
12621,09848
8889938,56
0,3142
6
151,7
12455
0,0066
82,10283
155127025
0,000043
15409,1982
8727287,151
6654327,001
140325,16
0,2372
7
172,2
15284
0,0058
88,75726
233600656
0,000034
17783,5878
6247939,039
24541994,86
6024079,36
0,1635
8
193
18928
0,0052
98,07254
358269184
0,000027
19677,1942
561291,9423
46889546,26
37190482,56
0,0396
9
197,5
23695
0,0051
119,97468
561453025
0,000026
20034,3888
13400074,04
51908982,28
118056917,2
0,1545
10
201,7
25151
0,0050
124,69509
632572801
0,000025
20353,3906
23017055,55
56607425,62
151816898
0,1908
Сумма
1463
128296
0,0744
805,71767
2178058224
0,000604
128296
80081691,61
451990170,8
532071862,4
2,5631
Среднее
146,3
12829,6
0,0074
80,5718
217805822
0,000060
12829,6
8008169,161
45199017,08
53207186,24
0,2563
53207186,24
0,0000049
7294,325619
0,0022
Параметр найдём по формуле:
.
Параметр найдём по формуле:
.
Уравнение регрессии примет вид:
.
3. Тесноту связи для линейного уравнения регрессии определим по линейному коэффициенту парной корреляции:
связь между признаками сильная.
Для остальных моделей рассчитываем индекс корреляции:
связь между признаками сильная
связь между признаками сильная
связь между признаками сильная
связь между признаками сильная.
Коэффициент детерминации, объясняющий долю дисперсии, вызванной факторным признаком, определяется по формуле:
, таким образом 95,2% изменения потребления домашних хозяйств связано с изменением реальных располагаемых денежных доходов.
, таким образом 97,5% изменения потребления домашних хозяйств связано с изменением реальных располагаемых денежных доходов.
, таким образом 98,1% изменения потребления домашних хозяйств связано с изменением реальных располагаемых денежных доходов.
, таким образом 91% изменения потребления домашних хозяйств связано с изменением реальных располагаемых денежных доходов.
, таким образом 84,9% изменения потребления домашних хозяйств связано с изменением реальных располагаемых денежных доходов.
Так как все , следовательно, зависимость между признаками сильная.
4. Коэффициент эластичности вычислим по формулам:
, таким образом при увеличении размера реальных располагаемых денежных доходов на 1% фактическое конечное потребление домашних хозяйств увеличивается на 1,976%.
для остальных регрессий
, таким образом при увеличении размера реальных располагаемых денежных доходов на 1% фактическое конечное потребление домашних хозяйств увеличивается на 2,103%.
, таким образом при увеличении размера реальных располагаемых денежных доходов на 1% фактическое конечное потребление домашних хозяйств увеличивается на 2,193%.
, таким образом при увеличении размера реальных располагаемых денежных доходов на 1% фактическое конечное потребление домашних хозяйств увеличивается на 1,847%.
, таким образом при увеличении размера реальных располагаемых денежных доходов на 1% фактическое конечное потребление домашних хозяйств увеличивается на 1,612%.
5. Величина средней ошибки аппроксимации определяется как среднее отклонение расчётных значений от фактических:
, таким образом среднее отклонение фактических и расчётных значений составляет 13,26%, так как допустимый предел отклонения , то можно сказать, что линейная модель не корректно описывает указанную зависимость.
, таким образом среднее отклонение фактических и расчётных значений составляет 5,65%, так как допустимый предел отклонения , то можно сказать, что степенная модель корректно описывает указанную зависимость.
, таким образом среднее отклонение фактических и расчётных значений составляет 6,56%, так как допустимый предел отклонения , то можно сказать, что экспоненциальная модель корректно описывает указанную зависимость.
, таким образом среднее отклонение фактических и расчётных значений составляет 19,49%, так как допустимый предел отклонения , то можно сказать, что логарифмическая модель не корректно описывает указанную зависимость.
, таким образом среднее отклонение фактических и расчётных значений составляет 25,63%, так как допустимый предел отклонения , то можно сказать, что экспоненциальная модель не корректно описывает указанную зависимость.
Так как ошибки аппроксимации для линейной, логарифмической и гиперболической моделей превышают норму, то данные модели не точно описывают зависимость. Наиболее подходящей является степенная зависимость.
6. Проведём сравнение фактического и критического значений -критерия Фишера. находится по формуле:
.
находим с помощью статистических таблиц на уровне значимости
.
Так как все , то гипотеза о случайном отклонении коэффициентов от нуля отвергается, следовательно, коэффициенты статистически значимы.
По данным пунктов 4, 5, 6 можно сделать вывод о том, что наилучшей из предложенных является степенная модель, потому что:
, то есть связь между признаками сильная.
, то 97,5% изменения потребления домашних хозяйств связано с изменением размера назначенных пенсий.
, то отклонение расчётных данных от фактических составляет 5,65%, таким образом степенная функция достаточно точно описывает зависимость.
7. Прогнозное значение находится путём подстановки в уравнение регрессии прогнозного значения ()
.
Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза
, где .
Строится доверительный интервал следующим образом:
, где
.
а) Для линейной модели.
.
Строим доверительный интервал
, таким образом при увеличении реальных располагаемых денежных доходов на 15% фактическое потребление домашних хозяйств с вероятностью 0,95 при использовании линейной модели находится в интервале от 12396,316 млрд. руб. до 20868,044 млрд. руб.
б) Для степенной модели.
.
Строим доверительный интервал
, таким образом при увеличении размера реальных располагаемых денежных доходов на 15% фактическое потребление домашних хозяйств с вероятностью 0,95 при использовании степенной зависимости находится в интервале от 12618,485 млрд. руб. до 18777,401 млрд. руб.
в) Для экспоненциальной модели.
.
Строим доверительный интервал
, таким образом при увеличении размера реальных располагаемых денежных доходов на 15% фактическое потребление домашних хозяйств с вероятностью 0,95 при использовании экспоненциальной модели находится в интервале от 12228,347 млрд. руб. до 17549,051 млрд. руб.
г) Для логарифмической модели.
.
Строим доверительный интервал
, таким образом при увеличении размера реальных располагаемых денежных доходов на 15% фактическое потребление домашних хозяйств с вероятностью 0,95 при использовании логарифмической модели находится в интервале от 11334,132 млрд. руб. до 22929,95 млрд. руб.
д) Для гиперболической модели.
.
Строим доверительный интервал
, таким образом при увеличении размера реальных располагаемых денежных доходов на 15% фактическое потребление домашних хозяйств с вероятностью 0,95 при использовании гиперболической модели находится в интервале от 9875,294 млрд. руб. до 24865,81 млрд. руб.
8. Таким образом можно сделать вывод о том, что наиболее оптимальным является степенное уравнение. Оно наиболее корректно и точно определяет зависимость между факторами.
Задание № 2.
По данным, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:
1. Построить линейное уравнение множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.
2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности.
3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии.
4. Сделать вывод о силе связи результата и факторов.
5. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.
6. Дать оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.
7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений.
8. Рассчитать ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости 5 или 10% (α=0,05; α=0,10).
9. Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.
Страна
Индекс человеческого развития
Ожидаемая продолжительность жизни, лет,
Суточная калорийность питания населения, ккал на душу,
Австрия
0,904
77,0
3343
Австралия
0,922
78,2
3001
Аргентина
0,827
72,9
3136
Белоруссия
0,763
68,0
3101
Бельгия
0,923
77,2
3543
Бразилия
0,739
66,8
2938
Великобритания
0,918
77,2
3237
Венгрия
0,795
70,9
3402
Германия
0,906
77,2
3330
Греция
0,867
78,1
3575
Дания
0,905
75,7
3808
Египет
0,616
66,3
3289
Израиль
0,883
77,8
3272
Индия
0,545
62,6
2415
Испания
0,894
78,0
3295
1. Линейное уравнение множественной регрессии имеет вид:
.
Параметры , , определим из системы уравнений.
.
Величины , , , , , , найдём, составив вспомогательную таблицу:
№
1
0,904
77
3343
69,608
3022,072
5929
11175649
257411
0,817
0,900
0,00002
2
0,922
78,2
3001
72,100
2766,922
6115,24
9006001
234678,2
0,850
0,913
0,00007
3
0,827
72,9
3136
60,288
2593,472
5314,41
9834496
228614,4
0,684
0,813
0,00021
4
0,763
68
3101
51,884
2366,063
4624
9616201
210868
0,582
0,714
0,00236
5
0,923
77,2
3543
71,256
3270,189
5959,84
12552849
273519,6
0,852
0,910
0,00017
6
0,739
66,8
2938
49,365
2171,182
4462,24
8631844
196258,4
0,546
0,686
0,00283
7
0,918
77,2
3237
70,870
2971,566
5959,84
10478169
249896,4
0,843
0,901
0,00030
8
0,795
70,9
3402
56,366
2704,59
5026,81
11573604
241201,8
0,632
0,781
0,00020
9
0,906
77,2
3330
69,943
3016,98
5959,84
11088900
257076
0,821
0,903
0,00001
10
0,867
78,1
3575
67,713
3099,525
6099,61
12780625
279207,5
0,752
0,929
0,00380
11
0,905
75,7
3808
68,509
3446,24
5730,49
14500864
288265,6
0,819
0,888
0,00029
13
0,616
66,3
3289
40,841
2026,024
4395,69
10817521
218060,7
0,379
0,686
0,00496
13
0,883
77,8
3272
68,697
2889,176
6052,84
10705984
254561,6
0,780
0,914
0,00094
14
0,545
62,6
2415
34,117
1316,175
3918,76
5832225
151179
0,297
0,587
0,00176
15
0,894
78
3295
69,732
2945,73
6084
10857025
257010
0,799
0,918
0,00059
Сумма
12,407
1103,9
48685
921,288
40605,91
81632,61
159451957
3597808
10,453
12,443
0,018
Среднее
0,827
73,593
3245,67
61,419
2707,06
5442,174
10630130
239853,9
0,697
0,830
0,00123
0,013
26,195
95778,4
 
 
 
 
 
 
Таким образом система уравнений примет вид:
.
Решив систему, получим:
, , .
Таким образом уравнение примет вид:
, таким образом при увеличении ожидаемой продолжительности жизни на 1 год индекс человеческого развития увеличивается на 0,0198, а при увеличении суточной калорийности питания населения на 1 ккал индекс человеческого развития увеличивается на 0,00003.
2. Рассчитаем частные коэффициенты эластичности следующим образом:
, таким образом при увеличении ожидаемой продолжительности жизни на 1% индекс человеческого развития увеличивается на 1,762%
, таким образом при увеличении суточной калорийности питания населения на 1% индекс человеческого развития увеличивается на 0,114%
3. Стандартизованные коэффициенты регрессии найдём по формулам:
, таким образом при увеличении ожидаемой продолжительности жизни на 1 среднеквадратическое отклонение индекс человеческого развития увеличивается на 0,898 от своего среднеквадратического отклонения.
, таким образом при увеличении суточной калорийности питания населения на 1 среднеквадратическое отклонение индекс человеческого развития увеличивается на 0,0796 от своего среднеквадратического отклонения.
4. Таким образом ожидаемая продолжительность жизни оказывает большее влияние на индекс человеческого развития нежели суточная калорийность питания населения.
5. Парные коэффициенты корреляции найдём по формулам:
.
Частные коэффициенты корреляции найдём по формулам:
.
Определим множественный коэффициент корреляции следующим образом:
.
Так как , то зависимость индекса человеческого развития от ожидаемой продолжительности жизни и суточной калорийности питания населения сильная.
Так как , то 92,6% индекса человеческого развития связано с ожидаемой продолжительностью жизни и суточной калорийностью питания населения и с другими факторами.
6. Выдвинем гипотезу о случайном отличии коэффициентов , , от нуля.
Общий критерий проверяет гипотезу о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи:
.
Сравнивая и приходим к выводу об отклонении гипотезы , так как с вероятностью 0,95 делаем заключение о статистической значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи .
7. Прогнозное значение факторов составляют 80% от их максимальных значениях, тогда:
.
Таким образом
.
8. Стандартную ошибку регрессии найдём по формуле:
.
Стандартная ошибка прогноза
вычислим в MS Excel
.
Доверительный интервал имеет вид:
, где
.
Таким образом, доверительный интервал на уровне значимости имеет вид:
.
9. Следовательно, зависимость между признаками сильная линейная.
Так как , то уравнение в целом статистически значимо.
Так как , то 92,6% дисперсии объясняется указанными факторами.
Задание № 3. По данным, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:
1.Построить график динамики
2. Провести расчёт параметров трендов разной формы
3. Оценить качество каждого тренда через среднюю ошибку аппроксимации и коэффициент детерминации
4. Оценить статистическую значимость трендов через -критерий, а значимость параметров тренда – через -критерий
5. Выбрать лучшую форму тренда и выполнить точечный прогноз на 2012 год
6. Оценить ошибку прогноза и построить доверительный интервал прогноза для уровня значимости 0,05
7. Определить коэффициенты автокорреляции всех возможных порядков
8. Построить автокорреляционную функцию временного ряда. Охарактеризовать структуру этого ряда.
Представлены сведения об уровне среднегодовых цен на мировых рынках на немытую шерсть из Австрии, амер. центы за килограмм
Год
Цена
Год
Цена
1980
98,2
1994
282,0
1981
79,7
1995
258,5
1982
117,8
1996
259,5
1983
305,1
1997
343,2
1984
251,9
1998
567,1
1985
182,4
1999
520,9
1986
197,9
2000
446,6
1987
227,0
2001
307,5
1988
234,8
2002
302,6
1989
259,6
2003
240,4
1990
302,5
2004
323,2
1991
328,5
2005
395,8
1992
306,5
2006
325,7
1993
269,3
2007
358,5
1.Графически изобразим сведения об уровне среднегодовых цен на мировых рынках на немытую шерсть из Австрии:
2.
2.
а) Уравнение парной линейной регрессии имеет вид:
.
Для расчёта параметров и воспользуемся функцией «регрессия»:
Вывод итогов
Регрессионная статистика
Множественный R
0,658332
R-квадрат
0,433401
Нормированный R-квадрат
0,411609
Стандартная ошибка
83,93531
Наблюдения
28
Дисперсионный анализ
df
SS
MS
F
Значимость F
Регрессия
1
140112,5
140112,5
19,88784
0,00014
Остаток
26
183173,6
7045,137
Итого
27
323286,1
Коэффициенты
Стандартная ошибка
t-статистика
P-Значение
Нижние 95%
Y-пересечение
162,0444
32,59389
4,97162
3,62E-05
95,04669
Переменная X 1
8,75728
1,963701
4,459578
0,00014
4,720831
.
Таким образом, уравнение линейной регрессии примет вид:
, таким образом ежегодно цена на мировых рынках на немытую шерсть из Австрии увеличивается на 8,757 амер. центов за килограмм.
б) Перед построением степенной модели проведём процедуру линеаризации переменных путём логарифмирования обеих частей этого уравнения:
.
Для расчёта параметров и воспользуемся функцией «регрессия»:
Вывод итогов
Регрессионная статистика
Множественный R
0,822132
R-квадрат
0,675902
Нормированный R-квадрат
0,663436
Стандартная ошибка
0,255085
Наблюдения
28
Дисперсионный анализ
df
SS