Дифференциальные уравнения. Системы нелинейных уравнений. Фазовый портрет.

Задача заключается в том, чтобы нарисовать фазовый портрет уравнения и определить поведение траекторий. ...

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………….……………….3
ТEОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ…………………………..………………………….4
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ…...…………………………………………………. 5
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….13
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………………….14

Дифференциальные уравнения редко решаются аналитически в явном виде. Использование ЭВМ дает приближенное решение дифференциальных уравнений на конечном временном отрезке, что не позволяет понять поведение фазовых траекторий в целом. Поэтому важную роль приобретают методы качественного исследования дифференциальных уравнений.
Итак, целью данной курсовой работы является решение нелинейной системы дифференциальных уравнений второго порядка, построение фазового портрета.

где , - произвольные константы, а параметрическое выражение для фазовых траекторий выглядит
(5)
при условии
(6)
(7)
Из (5) следует, что особых (неподвижных) точек на фазовой плоскости в области I нет, а каждая траектория (при фиксированных , ) с ростом обязательно "садится" на границу областей I и III, поскольку - главный убывающий элемент в выражении (7) при .
Результат в виде семейства из 8 фазовых траекторий выглядит следующим образом (Рис.3):
(Рис.3)
С учётом ограничения (6) две из построенных фазовых траекторий исчезают, остальные теряют свои концы, заступающие за полосу . Это показано на Рис.4.
(Рис.4)
Все фазовые траектории - это куски парабол, что довольно ясно из уравнений (5). Движение по построенным кускам парабол происходит слева направо (при возрастании ).
Используя (5), можем получить явное выражение для функции в фазовой плоскости
(8)
(9)
Формула (9) показывает параболу в явном виде, но только для "обратной функции" . "Инвертированная" на Рис.3 в той же фазовой плоскости, но с разметкой , она будет выглядеть следующим образом (Рис.5):
(Рис.5)
Здесь также надо "вырезать" все куски кривых (или сами кривые), которые находятся ниже верхней прямой, являющейся границей между областями I и III.
В области II уравнение (1) принимает вид
(10)
его решения, очевидно
(11)
где , - произвольные константы, а параметрическое выражение для фазовых кривых выглядит
(12)
при условии
(13)
(14)
Из (12) следует, что особых (неподвижных) точек на фазовой плоскости в области II нет, а каждая траектория (при фиксированных , ) с ростом обязательно "садится" на границу областей II и III, поскольку - главный растущий член в выражении (14) при .