Вход

Дифференциальные уравнения. Системы нелинейных уравнений. Фазовый портрет.

Рекомендуемая категория для самостоятельной подготовки:
Курсовая работа*
Код 291898
Дата создания 03 июля 2014
Страниц 12
Мы сможем обработать ваш заказ 24 мая в 12:00 [мск]
Файлы будут доступны для скачивания только после обработки заказа.
820руб.
КУПИТЬ

Описание

Задача заключается в том, чтобы нарисовать фазовый портрет уравнения и определить поведение траекторий. ...

Содержание

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………….……………….3
ТEОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ…………………………..………………………….4
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ…...…………………………………………………. 5
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….13
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………………….14

Введение

Дифференциальные уравнения редко решаются аналитически в явном виде. Использование ЭВМ дает приближенное решение дифференциальных уравнений на конечном временном отрезке, что не позволяет понять поведение фазовых траекторий в целом. Поэтому важную роль приобретают методы качественного исследования дифференциальных уравнений.
Итак, целью данной курсовой работы является решение нелинейной системы дифференциальных уравнений второго порядка, построение фазового портрета.

Фрагмент работы для ознакомления

где , - произвольные константы, а параметрическое выражение для фазовых траекторий выглядит
(5)
при условии
(6)
(7)
Из (5) следует, что особых (неподвижных) точек на фазовой плоскости в области I нет, а каждая траектория (при фиксированных , ) с ростом обязательно "садится" на границу областей I и III, поскольку - главный убывающий элемент в выражении (7) при .
Результат в виде семейства из 8 фазовых траекторий выглядит следующим образом (Рис.3):
(Рис.3)
С учётом ограничения (6) две из построенных фазовых траекторий исчезают, остальные теряют свои концы, заступающие за полосу . Это показано на Рис.4.
(Рис.4)
Все фазовые траектории - это куски парабол, что довольно ясно из уравнений (5). Движение по построенным кускам парабол происходит слева направо (при возрастании ).
Используя (5), можем получить явное выражение для функции в фазовой плоскости
(8)
(9)
Формула (9) показывает параболу в явном виде, но только для "обратной функции" . "Инвертированная" на Рис.3 в той же фазовой плоскости, но с разметкой , она будет выглядеть следующим образом (Рис.5):
(Рис.5)
Здесь также надо "вырезать" все куски кривых (или сами кривые), которые находятся ниже верхней прямой, являющейся границей между областями I и III.
В области II уравнение (1) принимает вид
(10)
его решения, очевидно
(11)
где , - произвольные константы, а параметрическое выражение для фазовых кривых выглядит
(12)
при условии
(13)
(14)
Из (12) следует, что особых (неподвижных) точек на фазовой плоскости в области II нет, а каждая траектория (при фиксированных , ) с ростом обязательно "садится" на границу областей II и III, поскольку - главный растущий член в выражении (14) при .

Список литературы

1. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения (4-е изд.). М.: Наука, 1974
2.Эрроусмит Д, Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Качественная теория с приложениями. М.: Мир, 1986. - 243
Пожалуйста, внимательно изучайте содержание и фрагменты работы. Деньги за приобретённые готовые работы по причине несоответствия данной работы вашим требованиям или её уникальности не возвращаются.
* Категория работы носит оценочный характер в соответствии с качественными и количественными параметрами предоставляемого материала. Данный материал ни целиком, ни любая из его частей не является готовым научным трудом, выпускной квалификационной работой, научным докладом или иной работой, предусмотренной государственной системой научной аттестации или необходимой для прохождения промежуточной или итоговой аттестации. Данный материал представляет собой субъективный результат обработки, структурирования и форматирования собранной его автором информации и предназначен, прежде всего, для использования в качестве источника для самостоятельной подготовки работы указанной тематики.
© Рефератбанк, 2002 - 2022