мамематика

расчеты ...

Рассмотрим игру двух лиц, интересы которых противоположны. Такие игры называют антагонистическими играми двух лиц. В этом случае выигрыш одного игрока равен проигрышу второго, и можно описать только одного из игроков.
Предполагается, что каждый игрок может выбрать только одно из конечного множества своих действий. Выбор действия называют выбором стратегии игрока.
Если каждый из игроков выбрал свою стратегию, то эту пару стратегий называют ситуацией игры. Следует заметить, каждый игрок знает, какую стратегию выбрал его противник, т.е. имеет полную информацию о результате выбора противника.
Чистой стратегией игрока I является выбор одной из n строк матрицы выигрышей А, а чистой стратегией игрока II является выбор одного из столбцов этой же матрицы.
1. Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.
Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Игроки B1 B2 a = min(Ai)
A1 2 1 1
A2 3 5 3
A3 -1 1 -1
b = max(Bi) 3 5
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 3, которая указывает на максимальную чистую стратегию A2.
Верхняя цена игры b = min(bj) = 3.
Седловая точка (2, 1) указывает решение на пару альтернатив (A2,B1). Цена игры равна 3.
2. Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы.
Иногда на основании простого рассмотрения матрицы игры можно сказать, что некоторые чистые стратегии могут войти в оптимальную смешанную стратегию лишь с нулевой вероятностью.
Говорят, что i-я стратегия 1-го игрока доминирует его k-ю стратегию, если aij ≥ akj для всех j Э N и хотя бы для одного j aij > akj. В этом случае говорят также, что i-я стратегия (или строка) – доминирующая, k-я – доминируемая.
Говорят, что j-я стратегия 2-го игрока доминирует его l-ю стратегию, если для всех j Э M aij ≤ ail и хотя бы для одного i aij < ail. В этом случае j-ю стратегию (столбец) называют доминирующей, l-ю – доминируемой.
Стратегия A2 доминирует над стратегией A1 (все элементы строки 2 больше или равны значениям 1-ой строки), следовательно исключаем 1-ую строку матрицы. Вероятность p1 = 0.

3 5
-1 1
В платежной матрице отсутствуют доминирующие столбцы.
Мы свели игру 3 x 2 к игре 2 x 2.
3. Находим решение игры в смешанных стратегиях.

Рассмотрим игру двух лиц, интересы которых противоположны. Такие игры называют антагонистическими играми двух лиц. В этом случае выигрыш одного игрока равен проигрышу второго, и можно описать только одного из игроков.
Предполагается, что каждый игрок может выбрать только одно из конечного множества своих действий. Выбор действия называют выбором стратегии игрока.
Если каждый из игроков выбрал свою стратегию, то эту пару стратегий называют ситуацией игры. Следует заметить, каждый игрок знает, какую стратегию выбрал его противник, т.е. имеет полную информацию о результате выбора противника.
Чистой стратегией игрока I является выбор одной из n строк матрицы выигрышей А, а чистой стратегией игрока II является выбор одного из столбцов этой же матрицы.
1. Проверяем, имеет ли платежная матриц а седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.
Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Игроки B1 B2 a = min(Ai)
A1 2 1 1
A2 3 5 3
A3 -1 1 -1
b = max(Bi) 3 5
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 3, которая указывает на максимальную чистую стратегию A2.
Верхняя цена игры b = min(bj) = 3.
Седловая точка (2, 1) указывает решение на пару альтернатив (A2,B1). Цена игры равна 3.
2. Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы.
Иногда на основании простого рассмотрения матрицы игры можно сказать, что некоторые чистые стратегии могут войти в оптимальную смешанную стратегию лишь с нулевой вероятностью.
Говорят, что i-я стратегия 1-го игрока доминирует его k-ю стратегию, если aij ≥ akj для всех j Э N и хотя бы для одного j aij > akj. В этом случае говорят также, что i-я стратегия (или строка) – доминирующая, k-я – доминируемая.
Говорят, что j-я стратегия 2-го игрока доминирует его l-ю стратегию, если для всех j Э M aij ≤ ail и хотя бы для одного i aij < ail. В этом случае j-ю стратегию (столбец) называют доминирующей, l-ю – доминируемой.
Стратегия A2 доминирует над стратегией A1 (все элементы строки 2 больше или равны значениям 1-ой строки), следовательно исключаем 1-ую строку матрицы. Вероятность p1 = 0.

3 5
-1 1
В платежной матрице отсутствуют доминирующие столбцы.
Мы свели игру 3 x 2 к игре 2 x 2.
3. Находим решение игры в смешанных стратегиях.

В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x3. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. 3x1-8x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 = 1000 2x1 + 7x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 = 150 04x1 + 12x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 = 1000 Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид: EQ A = \b\bc\| (\a \al \co5 \hs3 (3;-8;1;0;0;2;7;0;1;0;04;12;0;0;1))Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом. Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана. Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x3,x4, x5 Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X1 = (0,0,1000,150,1000) Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно. БазисBx1x2x3x4x5x310003-8100x415027010x510000412001F(X0)0-2-3000Переходим к основному алгоритму симплекс-метода. Итерация №0. 1. Проверка критерия оптимальности. Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. 2. Определение новой базисной переменной. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю. 3. Определение новой свободной переменной. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2 и из них выберем наименьшее: min (- , 150 : 7 , 1000 : 12 ) = 213/7 Следовательно, 2-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (7) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки. БазисBx1x2x3x4x5minx310003-8100-x415027010213/7x510000412001831/3F(X1)0-2-300004. Пересчет симплекс-таблицы. Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x4 в план 1 войдет переменная x2. Строка, соответствующая переменной x2 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x4 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=7 На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1. В остальных клетках столбца x2 плана 1 записываем нули. Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x2 и столбец x2. Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ. НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (7), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы: Bx 1x 2x 3x 4x 51000-(150 • -8):73-(2 • -8):7-8-(7 • -8):71-(0 • -8):70-(1 • -8):70-(0 • -8):7150 : 72 : 77 : 70 : 71 : 70 : 71000-(150 • 12):704-(2 • 12):712-(7 • 12):70-(0 • 12):70-(1 • 12):71-(0 • 12):70-(150 • -3):7-2-(2 • -3):7-3-(7 • -3):70-(0 • -3):70-(1 • -3):70-(0 • -3):7 Получаем новую симплекс-таблицу: БазисBx1x2x3x4x5x38200/737/7018/70x2150/72/7101/70x55200/74/700-12/71F(X1)450/7-8/7003/70Итерация №1. 1. Проверка критерия оптимальности. Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. 2. Определение новой базисной переменной. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю. 3. Определение новой свободной переменной. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1 и из них выберем наименьшее: min (11713/7 : 52/7 , 213/7 : 2/7 , 7426/7 : 4/7 ) = 75 Следовательно, 2-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (2/7) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки. БазисBx1x2x3x4x5minx311713/752/70111/7022123/37x2213/72/7101/7075x57426/74/700-15/711300F(X2)642/7-11/7003/7004. Пересчет симплекс-таблицы. Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x2 в план 2 войдет переменная x1. Строка, соответствующая переменной x1 в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x2 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=2/7 На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1. В остальных клетках столбца x1 плана 2 записываем нули. Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x1 и столбец x1. Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы: Bx 1x 2x 3x 4x 511713/7-(213/7 • 52/7):2/752/7-(2/7 • 52/7):2/70-(1 • 52/7):2/71-(0 • 52/7):2/711/7-(1/7 • 52/7):2/70-(0 • 52/7):2/7213/7 : 2/72/7 : 2/71 : 2/70 : 2/71/7 : 2/70 : 2/77426/7-(213/7 • 4/7):2/74/7-(2/7 • 4/7):2/70-(1 • 4/7):2/70-(0 • 4/7):2/7-15/7-(1/7 • 4/7):2/71-(0 • 4/7):2/7642/7-(213/7 • -11/7):2/7-11/7-(2/7 • -11/7):2/70-(1 • -11/7):2/70-(0 • -11/7):2/73/7-(1/7 • -11/7):2/70-(0 • -11/7):2/7 Получаем новую симплекс-таблицу: БазисBx1x2x3x4x5x37750-37/21-3/20x17517/201/20x57000-20-21F(X2)150040101. Проверка критерия оптимальности. Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи. Окончательный вариант симплекс-таблицы: БазисBx1x2x3x4x5x37750-37/21-3/20x17517/201/20x57000-20-21F(X3)15004010Оптимальный план можно записать так: x1 = 75 F(X) = 2•75 + 3 = 153 Составим двойственную задачу к прямой задаче. 3y1 + 2y2 + 4y3≤2 - 8y1 + 7y2 + 12y3≤3 1000y1 + 150y2 + 1000y3 → min y1 ≥ 0 y2 ≥ 0 y3 ≥ 0 Решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов. Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи. Из теоремы двойственности следует, что Y = C*A-1. Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис. EQ A = (A3, A1, A5) = \b\bc\| (\a \al \co3 \hs3 (1;3;0;0;2;0;0;04;1))Определив обратную матрицу D = А-1 через алгебраические дополнения, получим: EQ D = A\s\up5(-1) = \b\bc\| (\a \al \co3 \hs3 (1;-3/2;0;0;1/2;0;0;-2;1))Как видно из последнего плана симплексной таблицы, обратная матрица A-1 расположена в столбцах дополнительных переменных. Тогда Y = C*A-1 = EQ (0, 2, 0) x \b\bc\| (\a \al \co3 \hs3 (1;-3/2;0;0;1/2;0;0;-2;1)) = (0;1;0)Оптимальный план двойственной задачи равен: y1 = 0 y2 = 1 y3 = 0 Z(Y) = 1000*0+150*1+1000*0 = 150 Критерий оптимальности полученного решения. Если существуют такие допустимые решения X и Y прямой и двойственной задач, для которых выполняется равенство целевых функций F(x) = Z(y), то эти решения X и Y являются оптимальными решениями прямой и двойственной задач соответственно. Определение дефицитных и недефицитных (избыточных) ресурсов. Вторая теорема двойственности. Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели: 3*75 + (-8)*0 = 225 &lt; 1000 2*75 + 7*0 = 150 = 150 04*75 + 12*0 = 300 &lt; 1000 1-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 1-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y1 = 0. Неиспользованный экономический резерв ресурса 1 составляет 775 (1000-225). Этот резерв не может быть использован в оптимальном плане, но указывает на возможность изменений в объекте моделирования (например, резерв ресурса можно продать или сдать в аренду). 2-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y2&gt;0). 3-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 3-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y3 = 0. Неиспользованный экономический резерв ресурса 3 составляет 700 (1000-300). Этот резерв не может быть использован в оптимальном плане, но указывает на возможность изменений в объекте моделирования (например, резерв ресурса можно продать или сдать в аренду). Таким образом, отличную от нуля двойственные оценки имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов. Обоснование эффективности оптимального плана. При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим: 3*0 + 2*1 + 04*0 = 2 = 2 -8*0 + 7*1 + 12*0 = 7 &gt; 3 1-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x1&gt;0). 2-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 2-го вида использовать экономически не выгодно. И действительно в оптимальном плане прямой задачи x2 = 0. Поскольку теневая (альтернативная) цена больше рыночной цены этого продукта, то выгоднее продать ресурсы по рыночным ценам. При этом разница между ценами (7 - 3 = 4) показывает величину изменения целевой функции F(x) при введении дополнительной единицы xi. Анализ устойчивости оптимального плана. Проведем анализ устойчивости оптимального плана и оценим степень влияния изменения ресурсов на значение целевой функции. Чувствительность решения к изменению коэффициентов целевой функции. Так как любые изменения коэффициентов целевой функции оказывают влияние на оптимальность полученного ранее решения, то наша цель - найти такие диапазоны изменения коэффициентов в целевой функции (рассматривая каждый из коэффициентов отдельно), при которых оптимальные значения переменных остаются неизменными. Пусть каждое значение параметра целевой функции изменится на ∆ сi. Найдем интервалы, при которых будет экономически выгодно использование ресурсов. Допустимые диапазоны изменения коэффициентов в целевой функции определятся из соотношений: 1-ый параметр целевой функции может изменяться в пределах: ∆c-1 = min [yk/d1k] для d1k&gt;0. ∆c+1 = |max[yk/d1k]| для d1k&lt;0. EQ ∆c-1 = min[\f(1;1/2), +∞] = 2EQ ∆c+1 = |max[0, -∞]| = 0Таким образом, 1-параметр может быть уменьшен на 2 или увеличен на 0 Интервал изменения равен: (c1 - ∆c1-; c1 + ∆c1+) [2-2; 2+0] = [0;2] Если значение c1 будет лежать в данном интервале, то оптимальный план не изменится. Чувствительность решения к изменению запасов сырья. Из теоремы об оценках известно, что колебание величины bi приводит к увеличению или уменьшению f(X). Оно определяется величиной yi в случае, когда при изменении величин bi значения переменных уi в оптимальном плане соответствующей двойственной задачи остаются неизменными. Поэтому необходимо найти такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы ограничений исходной ЗЛП, в которых оптимальный план двойственной задачи не менялся бы. Найдем интервалы устойчивости ресурсов. Нижняя граница для: ∆b-1 ∆b-1 = min[xk/dk1] для dk1&gt;0. EQ ∆b-1 = min[\f(775;1), +∞] = 775Таким образом, 1-ый запас может быть уменьшен на 775 1-ый вид ресурса в оптимальном плане недоиспользован, является недефицитным. Увеличение данного ресурса приведет лишь к росту его остатка. При этом структурных изменений в оптимальном плане не будет, так как двойственная оценка y1 = 0. Другими словами, верхняя граница b+1 = +∞ EQ ∆b+1 = +∞Интервал изменения равен: (b1 - ∆b-1; +∞) [1000-775; +∞] = [225;+∞] 2-ый запас может изменяться в пределах: ∆b-2 = min[xk/dk2] для dk2&gt;0. ∆b+2 = |max[xk/dk2]| для dk2&lt;0. EQ ∆b-2 = min[\f(75;1/2), +∞] = 150EQ ∆b+2 = |max[\f(775;-3/2),\f(700;-2), -∞]| = 350Таким образом, 2-ый запас может быть уменьшен на 150 или увеличен на 350 Интервал изменения равен: (b2 - ∆b-2; b2 + ∆b+2) [150-150; 150+350] = [0;500] Нижняя граница для: ∆b-3 ∆b-3 = min[xk/dk3] для dk3&gt;0. EQ ∆b-3 = min[\f(700;1), +∞] = 700Таким образом, 3-ый запас может быть уменьшен на 700 3-ый вид ресурса в оптимальном плане недоиспользован, является недефицитным. Увеличение данного ресурса приведет лишь к росту его остатка. При этом структурных изменений в оптимальном плане не будет, так как двойственная оценка y3 = 0. Другими словами, верхняя граница b+3 = +∞ EQ ∆b+3 = +∞Интервал изменения равен: (b3 - ∆b-3; +∞) [1000-700; +∞] = [300;+∞] В оптимальный план не вошла основная переменная x1, т.е. ее не выгодно использовать. Определим максимально возможное значение в рамках полученных двойственных оценок: x1 может изменяться в пределах: EQ max[0, -∞] ≤ x1 ≤ min[\f(75;1), +∞]0 ≤ ∆b1 ≤ 75 [1000-75; 1000] = [925;1000] В оптимальный план не вошла основная переменная x3, т.е. ее не выгодно использовать. Определим максимально возможное значение в рамках полученных двойственных оценок: x3 может изменяться в пределах: EQ max[0, -∞] ≤ x3 ≤ min[\f(775;1), +∞]0 ≤ ∆b3 ≤ 775 [1000-775; 1000] = [225;1000] Решение задачи линейного программирования графическим методомНеобходимо найти максимальное значение целевой функции F = 2x1+3x2+3 → max, при системе ограничений:3x1-8x2≤1000(1)2x1+7x2≤150(2)04x1+12x2≤1000(3)x1≥0(4)x2≥0(5)Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).Построим уравнение 3x1-8x2 = 1000 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1= 0. Находим x2 = -125. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 333.33. Соединяем точку (0;-125) с (333.33;0) прямой линией.Построим уравнение 2x1+7x2 = 150 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1= 0. Находим x2 = 21.43. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 75. Соединяем точку (0;21.43) с (75;0) прямой линией.Построим уравнение 04x1+12x2 = 1000 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 83.33. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 250. Соединяем точку (0;83.33) с (250;0) прямой линией.илиГраницы области допустимых решенийПересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.Обозначим границы области многоугольника решений.Рассмотрим целевую функцию задачи F = 2x1+3x2+3 → max.