Приближенное вычисление определенных интегралов

Задача: вычисление приближенного значения определенного интеграла. Нахождение определенного интеграла методами прямоугольников, средних прямоугольников, трапеций и др. ...

В данной работе мы разберем три наиболее применяемые формулы приближенного вычисления определенного интеграла:
-формулу прямоугольников,
-формулу трапеций,
-формулу парабол (Симпсона),
Которые учреждённые на геометрическом смысле определенного интеграла.
Сперва нам нужно задаться вопросом, а зачем вообще необходимы приближенные вычисления? Вот мы и раскроем эту тему.

Интеграл (от лат. integer – целый), одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой – измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т.п. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые интегралы, вычисление которых является задачей интегрального исчисления........

В этом случае для полинома степени n имеем следующее,  ,    h – шаг, xi – узлы интерполирования.При n = 0 получаем  метод прямоугольников. График функции f(x)  на отрезке интегрирования  заменяется на горизонтальную линию (полином степени 0). left000Формула прямоугольников.Интегрирование методом прямоугольников (метод Эйлера).Пусть функцию (рисунок справа ) надобно проинтегрировать численным методом на отрезке [a, b]. Разделим отрезок на N равных интервалов (на рисунке N = 4).Площадь каждой из 4-х криволинейных трапеций можно заменить на площадь прямоугольника.Ширина всех прямоугольников одинакова и равна В качестве выбора высоты прямоугольников можно предложить выбрать значение функции на левой границе. В этом случае высота первого прямоугольника составит f(a), второго – f(x1),  третьего– f(x2), последнего – f(x3). Приближенное значение интеграла получается суммированием площадей прямоугольниковЕсли в качестве выбора высоты прямоугольников взять значение функции на правой границе, то в этом случае высота первого прямоугольника составит f(x1), второго – f(x2),  третьего – f(x3), последнего – f(b).Как видно, в этом  случае, одна из формул дает приближение к интегралу с избытком, а вторая c недостатком. Можно предложить еще один способ, очевидно лучший, чем обе эти формулы – использовать для аппроксимации значение функции в середине отрезка интегрирования.В общем виде, если отрезок [a, b] разбить на N равных интервалов интегрирования (h) и к каждому интервалу применить формулу прямоугольников, то получим                          Формула трапецийУпотребление для интерполяции полинома первой степени (прямая линия, проведенная через две точки) приводит к формуле трапеций. В качестве узлов интерполирования берутся концы отрезка интегрирования. Таким образом, криволинейная трапеция заменяется на обычную трапецию, площадь которой может быть найдена как произведение полу суммы оснований на высоту.В случае N отрезков интегрирования для всех узлов, за исключением крайних точек отрезка, значение функции войдет в общую сумму дважды (так как соседние трапеции имеют одну общую сторону).                          Любопытно, что формула трапеций может быть получена, если взять половину суммы формул прямоугольников по правому и левому краям отрезка                  Проиллюстрируем применение формулы трапеций на примере рисунка 1Величину I можно представить, как сумму площадей трапеций (в данном случае четырех)Проверка устойчивости решенияКак правило, чем меньше длина каждого интервала, т.е. чем больше число этих интервалов, тем меньше различаются приближенное и точное значение интеграла. Это справедливо для большинства функций. В методе трапеций ошибка вычисления интеграла (δ) приблизительно пропорциональна квадрату шага интегрирования h 2δ ~ h 2 Таким образом, для вычисления интеграла некоторой функции в пределах a, b необходимо разделить отрезок [a, b] на n0 интервалов и найти сумму площадей трапеций. Затем нужно увеличить число интервалов (n1), опять вычислить сумму трапеций и сравнить полученное значение с предыдущим результатом. Это следует повторять до тех пор (ni), пока не будет достигнута заданная точность результата (критерия сходимости).Для методов прямоугольников и трапеций обычно на каждом шаге итерации число интервалов увеличивается в 2 раза, т.е. ni+1 = 2 ni. Алгоритм процедуры интегрирования можно записать следующим образом:интеграл (I) рассчитывается по формуле, где       ,а критерий сходимостиГлавное преимущество правила трапеций – его простота. Однако если при вычислении интеграла требуется высокая точность, применение этого метода может потребовать слишком большого количества итераций или машинного времени.Пример:Пользуясь правилом трапеций вычислить интеграл        . (Точное решение 1/3)Для n = 1        Для n = 2        Для n = 4        Для n = 64      Правило СимпсонаИспользование трех точек для интерполирования подынтегрального выражения позволяет использовать параболическую функцию (полином второй степени). Это приводит к формуле Симпсона приближенного вычисления интеграла.Рассмотрим произвольный интегралВоспользуемся заменой переменной таким образом, чтобы границы отрезка интегрирования вместо [a,b] стали [-1,1], для этого введем переменную z:, Тогда   и Рассмотрим задачу интерполирования полиномом второй степени (параболой) подынтегральной функции, используя в качестве узлов три равноудаленные узловые точки – z = -1, z = 0, z = +1 (шаг равен 1, длина отрезка интегрирования равна 2).  Обозначим соответствующие значения подынтегральной функции в узлах интерполяции               Система уравнений для нахождения коэффициентов полинома, проходящего через три точки , и Примет вид     или  Коэффициенты легко могут быть полученыВычислим теперь значение интеграла от интерполяционного многочленаПутем обратной замены переменной вернемся к исходному интегралу. Учтем, что   соответствует     соответствует     соответствует  Получим формулу Симпсона для произвольного интервала интегрирования:,   и  При необходимости, исходный отрезок интегрирования может быть разбит на N сдвоенных отрезков, к каждому из которых применяется формула Симпсона. Шаг интерполирования при этом составитДля первого отрезка интегрирования узлами интерполирования будут являться точки a, a+h, a+2h, для второго – a+2h, a+3h, a+4h, третьего  a+4h, a+5h, a+6h  и т.д.  Приближенное значение интеграла получается суммированием N площадей:В данную сумму входят одинаковые слагаемые (для внутренних узлов с четным значением индекса - 2i). Поэтому можно перегруппировать слагаемые в этой сумме таким образом, что эквивалентно, так как Погрешность этого приближенного метода уменьшается пропорционально длине шага интегрирования в четвертой степени, т.е. при увеличении числа интервалов вдвое ошибка уменьшается в 16 разδ  ~ h 4Пример:Пользуясь правилом Симпсона вычислить интеграл     . (Точное решение - 0,2)Для n = 1       Для n = 2       Правило Симпсона позволяет точно рассчитать интеграл не только от квадратичной функции, но и для полинома третей степениКвадратуры Гаусса-Котеса. Числа КотесаОбобщением на случай равно точечной интерполяции полиномом степени n является квадратурная формула Гаусса-Котеса. Числа Котеса – это коэффициенты Aj (веса) в следующей формуле:Индекс j используется для отличия от перечисленных выше итерационных методов.На каждом отрезке интегрирования подынтегральная функция аппроксимируется полиномом степени n (то есть используется n+1 узел).При выводе формул Гаусса-Котеса предполагается эквидистантность (равноточечность, равная удаленность) абсцисс узлов.Числа КотесаnАΣA0A1A2A3A4A5A6A7A81211  (Правило трапеций)26141 (Правило Симпсона)381331     49073212327    5288197550507519   684041216272722721641  717280751357713232989298913233577751 8283509895888-92810496-454010496-9285888989В таблице приведены коэффициенты первых восьми формул Котеса.Легко видеть, что при n = 1 и n = 2 формула Гаусса-Котеса полностью соответствует, соответственно, формуле трапеций и формуле Симпсона.В качестве примера рассмотрим семи точечный алгоритм (степень полинома n = 6):Пример:Используя семи точечную формулу вычислить интеграл                . (Точное решение  -  2,3201169227)Абсолютная ошибка определения интеграла равна  5,3·10-9.Таким образом, использование данного алгоритма с числами Котеса при высоком точечном значении, позволяет находить за один шаг интегралы с достаточной степенью точности.[a, b] формулу алгоритма легко получить заменой переменной  . Она принимает следующий вид:, Квадратурные формулы, полученные при равно точечном интерполировании подынтегрального выражения полиномом степени n, оказываются точными для нахождения интегралов   , где f(x) – это полиномиальная функция степени, меньшей и равной n (за исключением n = 2, для которого точно вычисляется и интеграл от кубической функции). Максимальная степень полинома, для которой квадратурная формула является точной называется алгебраической мерой точности квадратуры.Можно получить квадратурные формулы с алгебраической точностью не хуже 2n-1 , если при интерполировании подынтегрального выражения оптимизировать положение узлов с целью более точного расчета интеграла при заданной степени аппроксимирующего полинома.Квадратуры Гаусса-КристоффеляПри выводе квадратурных формул Гаусса-Кристоффеля свободными параметрами считаются абсциссы (узлы) точек интерполяции и множители Aj (то есть всего 2n параметр). Оптимизация по этим параметрам значительно увеличивает точность квадратурных формул, которые, в общем, имеют видгде w(x) – весовая функция, Aj – веса, xj – узлы. n – это степень полинома, используемого для интерполяции подынтегрального выражения.Узлы интерполирования xj, что очевидно, должны лежать на отрезке интегрирования [a, b]. Для вычисления оптимального положения узлов находят корни полиномов специального вида, так называемых ортогональных полиномов.Если для определенных [a, b] и при любых целых m и l для семейства полиномов Qm(x) (m – степень полинома) выполняется условие, то говорят, что семейство полиномов Qm(x) ортогонально на отрезке [a,b] с весовой функцией w(x). Замечательным свойством ортогональных полиномов является то, что при любом положительном m они имеют ровно m простых (различных) действительных корней, причем все они лежат на отрезке ортогональности [a, b].Кроме того, можно доказать, что наивысшая алгебраическая точность 2n-1 квадратурных формул достигается при расположении узлов интерполирования в точках, соответствующих корням ортогональных полиномов.Соответствующие веса Aj могут быть рассчитаны через систему линейных уравнений (определитель Вандермонда). Вот некоторые общие свойства весов:1)      Aj > 0 ,2)       Ниже в таблице приведены пределы интегрирования [a, b], весовые функции w(x) для некоторых наиболее часто используемых ортогональных полиномов.Ортогональные полиномыПолиномыabw(x)Лежандра– 111Чебышева– 11Лагерра0+∞Эрмита-∞+∞Полиномы ЛежандраC точностью до нормирующего множителяПриведем несколько полиномов Лежандра:Для вычисления полиномов Лежандра можно использовать рекуррентное соотношение:Эти полиномы ортогональны в интервале [-1, 1] с весовой функцией , т.е.Корни полинома Pn(x) действительные, различные (невырожденные) и находятся в интервале [-1, 1]. Квадратурная формула Гаусса-Лагранжа по n точкам имеет видУзлы xj являются корнями полинома Pn(x), а соответствующие веса Aj определяются формулойКвадратурная формула Гаусса-Лагранжа, использующая n точек, дает точные значения интегралов для всех полиномов степени не выше 2n-1.Для произвольного интервала [a, b] уравнение переходит в формулуСуществуют таблицы, в которых приведены узлы и веса для значений n до 512, вычисленные с точностью до 30 значащих цифр.