Методы оптимальных решений 7 вариант

По методичке ВЗФЭИ Москва 2012 год. ...

1.7 Основы теории игр

2.7 Решите графическим методом типовую задачу оптимизации. Осуществите проверку правильности решения с помощью средств MS Excel.
Завод – производитель высокоточных элементов выпускает два различных вида деталей – Х и Y. Фонд рабочего времени составляет 4000 чел.-ч в неделю. Для производства одной детали Х требуется 1 чел.-ч, детали Y – 2 чел.-ч. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей Х и 1750 деталей Y в неделю. Для производства одной детали Х требуется 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла, а производства одной детали Y – 5 кг металлических стержней и 2 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла – 10 000 кг в неделю. Еженедельно завод поставляет 600 деталей Х своему постоянному заказчику. В соответствии с профсоюзным соглашением общее число деталей, производимых в течение одной недели, должно составлять не менее 1500 штук.

3.7 Годовая потребность автозавода в аккумуляторах «АКБ Подольск 6 СТ44А» составляет 18 тыс. шт. Затраты на размещение заказа – 220 руб. Доставка заказа осуществляется в течение семи дней. Годовые издержки на хранение запасов – 20 руб. на одно изделие. Предприятие работает 365 дней в году.
Определите:
а) оптимальный объем заказа;
б) период поставок;
в) точку заказа;
г) затраты на управление запасами за год.

4.7 В бухгалтерии организации в определенные дни непосредственно с сотрудниками работают два бухгалтера. Если сотрудник заходит в бухгалтерию для оформления документов (доверенностей, авансовых отчетов и пр.) в тот момент, когда оба бухгалтера заняты обслуживанием ранее обратившихся коллег, то он уходит из бухгалтерии, не ожидая обслуживания. Статистический анализ показал, что среднее число сотрудников, обращающихся в бухгалтерию в течение часа, равно 10 (λ), а среднее время, которое затрачивает бухгалтер на оформление документа, – 10 (Тср мин.)
Оцените основные характеристики работы данной бухгалтерии как СМО с отказами. Определите, сколько бухгалтеров должно работать в бухгалтерии в отведенные дни с сотрудниками, чтобы вероятность обслуживания сотрудников была выше 85%.

5.7 Статистический анализ показал, что случайная величина Х (длительность обслуживания клиента в парикмахерской) следует показательному закону распределения с параметром µ=0,9 , а число клиентов, поступающих в единицу времени (случайная величина Y), – закону Пуассона с параметром λ=2,2.
Организуйте датчики псевдослучайных чисел для целей статистического моделирования (использования метода МонтеКарло). Получите средствами MS Excel 15 реализаций случайной величины Х и 15 реализаций случайной величины Y

Теория игр — это раздел математической экономики, изучающий решение конфликтов между игроками и оптимальность их стратегий.

Игры с бесконечным числом шаговИгры в реальном мире или изучаемые в экономике игры, как правило, длятся конечное число ходов. Математика не так ограничена, и в частности, в теории множеств рассматриваются игры, способные продолжаться бесконечно долго. Причём победитель и его выигрыш не определены до окончания всех ходов. Здесь вопрос обычно состоит в том, чтобы найти не оптимальное решение, а хотя бы выигрышную стратегию. (Используя аксиому выбора можно доказать, что иногда даже для игр с полной информацией и двумя исходами — «выиграл» или «проиграл» — ни один из игроков не имеет такой стратегии.) Существование выигрышных стратегий для некоторых интересных игр имеет важные последствия дескриптивная теория множеств.Дискретные и непрерывные игрыБольшинство изучаемых игр дискретны: в них конечное число игроков, ходов, событий, исходов и т.п. Однако эти составляющие могут быть расширены на множество вещественных чисел. Игры, включающие такие элементы, часто называются дифференциальными. Они связаны с какой-то вещественной шкалой (обычно — шкалой времени), хотя происходящие в них события могут быть дискретными по природе. Дифференциальные игры также рассматриваются в теории оптимизации, находят своё применение в технике и технологиях, физике.Безусловно, следует указать и на наличие определенных границ применения аналитического инструментария теории игр. В следующих случаях он может быть использован лишь при условии получения дополнительной информации.Во-первых, это тот случай, когда у игроков сложились разные представления об игре, в которой они участвуют, или когда они недостаточно информированы о возможностях друг друга. Например, может иметь место неясная информация о платежах конкурента (структуре издержек). Если неполнотой характеризуется не слишком сложная информация, то можно применять опыт подобных случаев с учетом определенных различий.Во-вторых, теорию игр трудно применять при множестве ситуаций равновесия. Эта проблема может возникнуть даже в ходе простых игр с одновременным выбором стратегических решений.В-третьих, если ситуация принятия стратегических решений очень сложна, то игроки часто не могут выбрать лучшие для себя варианты. Например, на рынок в разные сроки могут вступить несколько предприятий или реакция уже действующих там предприятий может оказаться более сложной, нежели быть агрессивной или дружественной.Экспериментально доказано, что при расширении игры до десяти и более этапов игроки уже не в состоянии пользоваться соответствующими алгоритмами и продолжать игру с равновесными стратегиями.К сожалению, ситуации реального мира зачастую очень сложны и настолько быстро изменяются, что невозможно точно спрогнозировать, как отреагируют конкуренты на изменение тактики. Тем не менее, теория игр полезна, когда требуется определить наиболее важные и требующие учета факторы в ситуации принятия решений в условиях конкурентной борьбы. Эта информация важна, поскольку позволяет учесть дополнительные переменные или факторы, имеющие возможность повлиять на ситуацию, и тем самым повысить эффективность решения.В заключение следует особо подчеркнуть, что теория игр является очень сложной областью знания. При обращении к ней надо соблюдать известную осторожность и четко знать границы применения. Слишком простые толкования таят в себе скрытую опасность. Анализ и консультации на основе теории игр из-за их сложности рекомендуются лишь для особо важных проблемных областей. Опыт показывает, что использование соответствующего инструментария предпочтительно при принятии однократных, принципиально важных плановых стратегических решений, в том числе при подготовке крупных кооперационных договоров.Задание 2.7. Решите графическим методом типовую задачу оптимизации. Осуществите проверку правильности решения с помощью средств MS Excel.Завод – производитель высокоточных элементов выпускает два различных вида деталей – Х и Y. Фонд рабочего времени составляет 4000 чел.-ч в неделю. Для производства одной детали Х требуется 1 чел.-ч, детали Y – 2 чел.-ч. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей Х и 1750 деталей Y в неделю. Для производства одной детали Х требуется 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла, а производства одной детали Y – 5 кг металлических стержней и 2 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла – 10 000 кг в неделю. Еженедельно завод поставляет 600 деталей Х своему постоянному заказчику. В соответствии с профсоюзным соглашением общее число деталей, производимых в течение одной недели, должно составлять не менее 1500 штук. Определите, сколько деталей каждого вида следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю, если доход от производства детали Х составляет 30 ден. ед./шт., а детали Y – 40 ден. ед./шт. Постройте экономико-математическую модель задачи, дайте необходимые комментарии к ее элементам и получите решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?Решение:Пусть х1 - оптимальное количество произведенных деталей типа Х,х2 –оптимальное количество произведенных деталей типа Y.Ограничения:Ограничение по фонду рабочего времени: х1 + 2х2 ≤ 4000;Ограничение по количеству:х1 + х2 ≥ 1500;600 ≤ х1 ≤ 2250;х1 ≤ 1750Ограничение по ресурсу металлического стержня: 2х1 + 5х2 ≤ 10000;Ограничение по ресурсу листовой металл: 5х1 + 2х2 ≤ 10000;4130040933450Составим функцию прибыли: L = 30х1 + 40х2 max, причем х1, х2 ≥0Решим задачу графически:Построим область допустимых решений. (Рис. 1.1.)В первую очередь найдем область допустимых решений, т.е. точки х1 и х2, которые удовлетворяют системе ограничений.По условию задачи х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, т.е. мы рассматриваем только те точки, которые принадлежат первой четверти.Рассмотрим неравенство 1 системы ограничений, построим прямую. х1 + 2х2 ≤ 4000Прямая х1 + х2 = 4000 проходит через точки (0; 2000) и (4000; 0). Знак неравенства меньше либо равно нуля, следовательно, нас интересуют точки, лежащие ниже построенной прямой.Рассмотрим неравенство 2 системы ограничений, построим прямую.х1 + х2 ≥ 1500Прямая х1 + х2 = 1500 проходит через точки (0;1500) и (1500;0). Нас интересуют точки, лежащие выше построенной прямой.Рассмотрим неравенство 3 системы ограничений, построим прямую.х1 ≥ 600х1 = 600Прямая проходит параллельно оси х2. Нас интересуют точки, лежащие выше построенной нами прямой. Рассмотрим неравенство 4 системы ограничений, построим прямую.х1 ≤ 2250х1 = 2250Прямая проходит параллельно оси х2. Нас интересуют точки, лежащие левее построенной нами прямой.Рассмотрим неравенство 5 системы ограничений, построим прямую.х1 ≤ 1750х1 = 1750Прямая проходит параллельно оси х2. Нас интересуют точки, лежащие левее построенной нами прямой.Рассмотрим неравенство 6 системы ограничений, построим прямую.2х1 + 5х2 ≤ 100002х1 + 5х2 = 10000 Прямая проходит через точки (0;2000) и (5000;0). Нас интересуют точки, лежащие ниже прямой. Рассмотрим неравенство 7 системы ограничений, построим прямую.5х1 + 2х2 ≤ 100005х1 + 2х2 = 10000Прямая проходит через точки (2000;0) и (0; 5000). Нас интересуют точки, лежащие ниже прямой.Рис. 1.1. Область допустимых решенийВернемся к исходной функции L.L = 30х1 + 40х2Допустим, значение функции L=1 (произвольно выбранное число), тогда 1 = 30х1 + 40х2.Данное уравнение является уравнением прямой на плоскости. Нам известно, что данная прямая перпендикулярна вектору, координатами которого являются коэффициенты функции, а именно вектору ON = (30;40).Следовательно, с геометрической точки зрения функция L изображается как множество перпендикулярных вектору ON = (30;40).Значение функции L будет возрастать при перемещении прямой в направлении вектора ON. Будем перемещать прямую до тех пор, пока она полностью не пройдет область допустимых решений.В нашем случае касание прямой произойдет в вершине D (1500, 1250). В точке значение функции L будет наибольшим. (Рис. 1.2.)Рис.1.2. Максимум целевой функцииПроверка решения с помощью средств MS Excel.Введение исходных данных (Рис. 1.3.): Рис. 1.3. Введение исходных данныхВведение зависимости для целевой функции (Рис. 1.4) , введение формул для левых частей ограничений (Рис. 1.5.)lefttopРис.1.4. Введение зависимости для целевой функцииРис. 1.5. Введение формул для левых частей ограниченийЗапуск команды «поиск решения»: указываем адрес целевой функции, указываем адреса изменяемых ячеек, прописываем ограничения (Рис.1.6.);Рис.1.6. Запуск команды «поиск решения»Получаем конечные значения (Рис.1.8.):Рис. 1.8. Конечные значенияВывод: найдено верное решение.Ответ: Доход от реализации продукции будет максимальным, т.е. 95000 ден. ед.