Стохастическая линия в школьном курсе математики".

Дипломная работа состоит из введения, 2 глав, заключения, списка литературы и приложения, в котором разработаны 17 занятий спецкурса ...

1 НАУЧНО – МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ЛИНИИ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ.

1.1 Генетическая основа изучения комбинаторных представлений у детей дошкольного возраста.

Введение стохастической линии в школьный курс математики, ставшее велением времени, одновременно породило немало проблем. К ее изучению и преподаванию оказались не готовы все: авторы учебников, учителя, методисты и ученики.
Математики и педагоги столкнулись с парадоксальной ситуацией: в начальной школе изучать комбинаторно- вероятностные понятия оказалось рано, а в старших классах уже поздно (мешает излишняя формализация знаний, присущая математике).
Выход из этой ситуации ученые, методисты, авторы учебников пытаются найти, используя современные достижения в области психологии, педагогики и дидактики математики (О.С. Медведева, Е.Е. Белокурова, Е.А. Бунимович, В.Д. Селютин, А.Г. Мордкович, Г.В. Дорофеев и др.).
Стохастическое мышление детей должно развиваться непрерывно в системе образования: детский сад – начальная школа – средняя школа - ВУЗ.
в детском саду и начальной школе должна быть раскрыта генетическая основа, те реальные объекты, процессы и явления, которые служат источником возникновения и развития комбинаторно- вероятностных, статистических понятий и методов.
Раскроем генетическую основу стохастической линии школьного курса математики, которая связана с понятиями «множество», «величина», их отношениями и операциями над ними. Следует заметить, что эти понятия служат генетической основой и для других линий школьного курса математики (числовой, функциональной, геометрической и т.д.).
Понятие множества осознается детьми тогда, когда они уже умеют расчленять целое на части, совокупность на отдельные элементы, отличать многое от единичного, когда они понимают, что всем реальным объектам присущи те или иные свойства. Именно свойства отдельных объектов представляют основу для их объединения в множества. Сам способ мышления о множестве исходит из того, что элементы, из которых оно составляется, заранее четко осмысленны (определены) и обладают свойствами, не зависящими от способа образования этого множества. Эти свойства называют характеристическими.
Важно понимать, что понятие «множество – элемент», с одной стороны более широкое понятие, чем «общее отдельное», так как множество может состоять из одного элемента, быть пустым, его элементами могут быть не только реальные объекты, но и любые мыслимые объекты и явления.
С другой стороны, в математике рассматриваются лишь те множества, для которых высказывание «элемент, а принадлежит множеству М» может принимать лишь два истинностных значения «истина» и «ложь».
В реальной действительности это высказывание может принимать более двух истинностных значений . Поэтому в настоящее время быстро развивается новое направление в математике – теория размытых множеств, которая более адекватно отражает реальный мир, чем канторовская теория множеств, особенно для решения задач современной экономики.
Еще одна особенность отличает понятие «множество-элемент» от реальных прообразов этого отношения. В математике предполагается, что всегда можно выделить из множества любой его элемент.
Понятие величины генетически связано с такими целостностями, разбиение которых на части приводит к образованию объектов той же природы, то есть процесс членения не должен приводить к изменению качественных характеристик получаемых частей.
Для реальных объектов процесс членения, при условии сохранения их качественной структуры, возможен лишь до какого-то определенного этапа. Например, если распилить бревно на 100 частей, то не получим 100 бревен.
Математическое понятие «величина» подразумевает возможность неограниченного членения целого с сохранением качественных характеристик частей, что является идеализацией реального отношения части к целому.
Понятие «величина» в математике предполагает и другую идеализацию реальных отношений - возможность составления целого из частей. Например, если разделить площадь куска ткани на 5 частей, а затем сшить, то не получим первоначальный кусок ткани. А если длину отрезка разделить на три равные части, то из этих частей можно составить длину исходного отрезка.
Если сравнить свойства множеств и величин, то важно отметить, что когда рассматривается определенная величина, то она всегда связана с объектом – носителем. Целостность этой величины первична по отношению к ее частям.
Если множество существует в силу того, что существуют его элементы, обладающие определенными свойствами, то часть величины существует в силу того, что есть величина, как нечто целое.
Отличает эти понятия и отношение членения на части. Математическая величина – это однородное и делимое, поэтому при делении величины получаются качественно однородные части (часть длины – длина, часть площади – площадь, часть объема – объем и т.д.). А в результате членения множества мы можем получить его части, качественные характеристики которых могут быть различны. Например, R = Q + 1.
В связи с этим, множество можно составить из любых элементов, а величину как угодно можно членить на части.
Выделение из множества некоторых подмножеств на основе заданного характеристического свойства позволяет сравнивать множества с точки зрения «часть – целое», то есть точно так же как величины. На этой основе формируются представления о понятиях «отношение включения» и «отношение равенства множеств».
Таким образом, через отношения включения и равенства понятия «множество» и «величина» взаимосвязаны друг с другом.
Среди операций над множествами наиболее простой и естественной является операция объединения множеств, не имеющих общих элементов. Например, сдвинув расположенные рядом конечные множества предметов, получим новое множество, которое и будет объединением первоначальных множеств.
Объединение пересекающихся множеств является психологически более трудной операцией. Прежде чем объединить эти множества, нужно выделить их общую часть, а для этого нужно увидеть каждое множество по отдельности.
Операция вычитания множеств наиболее проста, когда одно множество является подмножеством другого. Для выполнения этой операции необходимо увидеть в множестве его правильную часть и те элементы, которые ей не принадлежат. Более сложен случай, когда одно множество не является правильной частью другого. В этом случае сначала необходимо найти их общую часть, а затем отделить ее от уменьшаемого множества.
Операцию пересечения множеств можно совершать лишь мысленно, так как необходимо, не изменяя множеств, увидеть их общую часть. Как видим, операция пересечения играет ведущую роль среди других теоретико-множественных операций.
Над величинами, как и над множествами, можно производить операции сложения, вычитания, разбиения на равные части. В отличие от множеств эти операции производятся только над однородными величинами. Сравнение величин порождает отношения «больше», «меньше», «равно».
Как сравнение величин, так и операции над ними допускают предметную интерпретацию. Например, если взять две узкие полоски бумаги, то над ними можно проделать все операции как над элементом величины «длина».
Рассматривая различные отношения, связанные либо с конкретными множествами, либо с величинами, можно заметить, что некоторые отношения имеют общую структуру, хотя и заданы на разных множествах объектов.
Наиболее важными из них являются отношения эквивалентности и порядка. С содержательной точки зрения отношение эквивалентности означает «взаимозаменяемость» объектов относительно некоторого свойства, заданного на этом множестве, и определяется свойствами рефлективности, транзитивности и симметричности.
Отношение эквивалентности на множестве выделяет в нем некоторые подмножества – классы эквивалентности. В связи с тем, что элементы одного и того же класса взаимозаменяемы, всякий его элемент несет полную информацию (в рамках заданного отношения) о любом элементе этого же класса. Поэтому отношение эквивалентности на множестве позволяет переходить от рассмотрения свойств отдельного элемента множества к рассмотрению свойств целого класса элементов на примере одного представителя данного класса.
Множество всех классов эквивалентности некоторого множества М называют фактормножеством. На этом множестве также можно задать определенные операции, сводя их к операциям над элементами.
Следовательно, отношение эквивалентности может быть использовано для получения новых математических объектов путем разбиения множества на классы эквивалентности. Например, при разбиении множества рациональных чисел получаем – классы эквивалентных друг другу дробей, векторов – классы равных друг другу сонаправленных отрезков и т.д.
Кроме рассматриваемого выше отношения эквивалентности, часто приходится рассматривать такие отношения, когда объекты некоторого множества соотносятся по старшинству, по важности, по относительному расположению друг к другу, по следованию во времени и т.д. Математическим образом подобных отношений служит понятие «отношение порядка».
Важная роль рассматриваемых выше понятий состоит не только в том, что они позволяют конструировать новые математические объекты, но и в том, что многие из них являются наглядными моделями алгебраических операций, что имеет огромное значение как для процесса обучения математике, так и обучения другим предметам.
Так, например, моделью одной из важнейших логических операций является математическое понятие «классификация». С точки зрения математики под классификацией понимают разбиение множества объектов на классы эквивалентности по любым признакам. Внутри класса эквивалентности объекты могут различаться по нехарактеристическому для этого класса свойству. На основе его можно выделить классы и упорядочивать их. Этот процесс называется сериацией. Он позволяет выделить в классифицируемом множестве иерархию подмножеств.
Другой вид классификации, связанный с первым, но отличный от него, основан на том, что на множестве сразу задается несколько свойств, причем каждое может принимать одновременно несколько значений. Например, классификация объектов по форме, цвету, которые в свою очередь принимают значения: треугольник, квадрат, круг, синий, зеленый, красный и т.д. Классификация по одному признаку выделяет одни классы эквивалентности, по другому – другие. Результат классификации по обоим признакам будет представлять собой пересечение полученных классов эквивалентности. Такие классификации называют булевыми. Они широко применяются в начальной школе.
Особую роль для развития стохастического мышления детей играет операция декартова произведения множеств, так как из его определения следует правило произведения: пусть элемент (а) можно выбрать К-способами, а элемент (в) - S – способами, тогда пару элементов (а, в) можно выбрать К х S способами.
Это правило распространяется на n – множеств и позволяет решать основные комбинаторные задачи, связанные с подсчетом числа элементов различных конечных множеств, перебором конечного числа вариантов и т.д. (перестановки, размещения, сочетания).
Рассмотренная выше генетическая основа для развития стохастической линии школьного курса математики и теория развивающего обучения В.В. Давыдова – Д. Б. Эльконина определили структуру содержания программы обучения и методического пособия к ней для детского сада(2), а также содержание экспериментальных учебников для начальной школы под редакцией Н.Я. Виленкина. Сейчас эти учебники опубликованы в виде тетрадей для массовой школы под редакцией Л.Г. Петерсон [3].

1.2. Основные понятия и методы комбинаторики.

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям.
Основные правила комбинаторики
При вычислении количества различных комбинаций используются правила умножения и сложения. Сложение используется тогда, когда множе¬ства не совместны. Умножение используется тогда, когда для каждой комбинации перво¬го множества имеются все комбинации второго множества.
Пример 1. Из 28 костей домино берутся 2 кости. В каком числе комбинаций вторая кость будет приложена к первой?
На первом шаге имеется два варианта: выбрать дубль (7 комбина¬ций) или не дубль (21 комбинация). В первом случае имеется 6 вариан¬тов продолжения, во втором - 12.
Общее число благоприятных комбинаций равно: .
А всего вариантов выбора 2 костей из 28 равно 378; т. е. при боль¬шом числе экспериментов в 7 случаях из 9 (294/378 = 7/9) при выборе 2 костей одна кость окажется приложенной к другой.
Размещения с повторениями
Размещение с повторением также в комбинаторике называется кортежем.
Задача 1: сколько разных числовых последовательностей, длины 5, можно со¬ставить из 9 цифр?
Перенумеруем разряды:
1 2 3 4 5
В первый разряд можно поставить одну из 9 цифр. Независимо от того, какая цифра поставлена, во второй разряд можно также поставить одну из 9 цифр и т. д. И получается 95 различных чисел.
Для двоичной системы счисления (используются только две цифры: 0 или 1) получаем 25 различных числовых последовательностей. Для системы с основанием к и числом разрядов п соответственно получаем:
(1)
n -число позиций (разрядов); k-число элементов в каждой позиции (цифр).
Тогда задача ставится следующим образом: имеется k ти¬пов предметов (количество предметов каждого типа неограниченно) и п позиций (ящиков, кучек, разрядов). Требуется определить, сколько раз¬ных комбинаций можно составить, если могут повторяться в позициях предметы ? Ответ дается формулой (1).
Пример 2. Сколько разных числовых последовательностей может содержать 10-разрядное слово в троичной системе счисления? В первый такой разряд можно поста¬вить один из трех символов (0, 1 или 2), во второй такой разряд - также один из трех символов и т. д. Всего получаем З10 чисел.
В одних случаях имеются ограничения на количество разных предметов, которые можно помещать на позиции. Пусть, например, имеется п позиций и на каждую i-ю позицию можно поставить ki пред¬метов. Сколько в этом случае существует разных расстановок предме¬тов по позициям?
Получается формула:
(2)
Пример 3. В эстафете 100+300+500+1000 метров на первую пози¬цию тренер может выставить одного из 3 бегунов, на вторую - одного из 5, на третью - одного из 6, на четвертую - единственного бегуна (на каждую позицию выставляются разные бегуны). Сколько вариантов рас¬становки участников эстафетного забега может составить тренер?
В соответствии с формулой (2) получаем, что число вариантов рав¬но: .
Размещения без повторений
Задача 2: Сколько разных числовых последовательностей, длины 5, можно за¬писать с помощью десяти цифр при условии, что в числовых последовательностях не использу¬ются одинаковые цифры?
Перенумеруем разряды:
1 2 3 4 5
В первый разряд можно поставить одну из 10 цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).
Независимо от того, какая цифра помещена в первый разряд, во втором можно поставить только одну из 9 цифр, в третий - одну из 8 цифр и т. д. Всего существует различных числовых последовательностей, в каждой из которых нет двух одинаковых цифр.
Тогда, если имеется k позиций и п разных предметов, при¬чем каждый представлен в единственном экземпляре, то количество разных расстановок:
( 3)
В формуле (3) s означает факториал числа s, т. е. произведение всех чисел от 1 до s. Таким образом, s = s.
Пример 4. Из группы в 25 человек требуется выбрать старосту, заместителя старосты и профорга. Сколько вариантов выбора руко¬водящего состава группы? Старосту выбрать можно одним из 25 способов. Поскольку выбранный староста не может быть своим за¬местителем, то для выбора заместителя старосты остается 24 ва¬рианта. Профорга выбирают одним из 23 способов. Всего вариан¬тов: .
Пример 5. На дискотеку пришло 12 девушек и 15 юношей. Объявлен "бе¬лый" танец. Все девушки выбрали для танцев юношей (и никто из них не отказался). Сколько могло образоваться танцующих пар?

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений
.
Перестановки без повторений
В предыдущем материале комбинации отличались как составом предметов, так и их порядком. Однако если в последней задаче юношей было бы тоже 12, то все комбинации отличались бы только порядком. Рассмотрим, сколько различных комбинаций можно получить, перестав¬ляя п предметов.
Положим в (3) , тогда получим
(4)
Пример 6. У кассы вокзала стоит 6 человек. Сколько суще¬ствует различных вариантов установки их в очередь друг за другом? Расставим 6 человек произвольным образом и начнем их переставлять всеми возможными способами. Число полученных перестановок в со¬ответствии с формулой (4) будет равно 6! = 720.
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок
Pn = n!,
где .
Перестановки с повторениями
Часто требуется переставлять предметы, некоторые из которых неотличимы друг от друга. Рассмотрим вариант перестано¬вок, который называется перестановками с повторениями.
Пусть имеется п1 предметов 1-го типа, n2 предмета 2-го, пк пред¬метов -го типа и при этом п1+ п2+...+ пк = п. Количество разных перестановок предмето в
(5)
Для обоснования (5) сначала будем переставлять п предметов в предположении, что они все различны. Число перестановок равно п! Заметим, что в любой выбранной расстановке пере¬становка n1 одинаковых предметов не меняет комбинации, а перестановка n2 также не меняет ком¬бинации и т. д. Поэтому получаем выражение (5).
Пример 7. Найдем количество перестановок букв слова КОМ¬БИНАТОРИКА. В этом слове 2 буквы «к», 2 буквы «о», 1 буква «м», 1 буква «б», 2 буквы «и», 1 буква «н», 2 буквы «а», 1 буква «т» и 1 буква «р».
Таким образом, число перестановок букв этого слова равно:
Р(2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1) = 13!/(2! 2! 2! 2!)= 13!/16.
Сочетания без повторений
Если требуется выбрать к предметов из п, и при этом порядок выби¬раемых предметов неважен, то имеем
. (6)
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по k элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.
Формула (6) может быть получена следующим образом. Выберем по очереди к предметов из п. Число таких вариантов будет равно . В этих расстановках к выбранных предмета имеют свои определенные позиции. Нас не интересуют в данном случае позиции выбран¬ных предметов. От перестановки этих предметов интересующий нас вы¬бор не меняется. Поэтому полученное выражение нужно разделить на
Пример 8. Из группы в 25 человек нужно выбрать троих для рабо¬ты в колхозе. Если их выбирать последовательно, первого, второго, третьего, то получим варианта. Так как нас не интересует порядок выбора, а только состав выбранной бри¬гады, поэтому полученный результат нужно разделить еще на 3!
Пример 9. В середине 60-х годов в России появились две лоте¬реи, которые были названы "Спортлото": лотерея 5/36 и 6/49. Рассмотрим одну из них, например, 6/49. Играющий покупает билет, на котором имеется 49 клеточек. Каждая клеточка соответ¬ствует какому-либо виду спорта. Нужно выделить (зачеркнуть) 6 из этих клеточек и отправить организаторам лотереи.
После розыгрыша лоте¬реи объявляются шесть выигравших номеров. Награждается угадав¬ший все шесть номеров, пять номеров, четыре номера и даже угадав¬ший три номера. Соответственно, чем меньше угадано номеров (видов спорта), тем меньше выигрыш.
Подсчитаем, сколько существует разных способов заполнения кар¬точек "Спортлото" при условии, что используется лотерея 6/49. Ка¬залось бы, заполняя последовательно номер за номером, получим: . Но ведь порядок заполнения не имеет значения, тогда получаем:


Эту же задачу можно решить и другим способом. Но¬мера выпишем все подряд и под выбираемыми номерами поставим 1, а под осталь¬ными 0. Тогда различные варианты заполнения карточек будут отли¬чаться перестановками. Переставляются 6 предметов одного вида (единицы) и 49 - 6 = 43 предмета другого вида (нули), т. е. опять


Если все участники заполняют карточки по-разному, то в среднем один из примерно 14 миллионов угадает все 6 номеров. А сколько чело¬век в среднем угадают 5 номеров?
Выберем один из угаданных номеров ( ) и его заменим на один
из не угаданных ( ). Итого: человек из 14 миллионов
угадают 5 номеров. А сколько угадают 4 номера? Выберем из 6 уга¬данных два и затем из 43 не угаданных тоже два и перемножим число вариантов выбора. Тогда получим: человек.
Также найдем, что 3 номера угадают 246820 человек, т. е. при¬мерно 1,77% от всех играющих.
Сочетания с повторениями
Пример 10. Требуется купить 6 пирожных. В магазине имеются пирожные следующих видов: эклеры наполеоны, слоеные песочные. Сколько вариантов выбора? Решение: выбранные пирожные заменяем единицами, и добавляем три нуля (разделителя). Каждой перестановке однозначно соответствует некоторый выбор. Например, одному из ва¬риантов покупки будет соответствовать такой код: 1101110101. Пиро¬жные покупаются следующим образом. Количество единиц слева до первого нуля соответствует покупке эклеров, между первым и вторым нулем - покупке песочных, между вторым и третьим - покупке слое¬ных, единицы после третьего нуля соответствуют числу покупаемых наполеонов. В случае приведенного кода покупается 2 эклера, 3 песоч¬ных, 1 слоеное и 1 наполеон. Количество вариантов покупки пирожных равно числу перестановок из 6 объектов одного типа (единиц) и 3 объек¬тов второго типа (нулей).
Пусть имеются предметы п разных типов (без ограничения числа предметов каждого типа) и требуется определить, сколько комбинаций можно сделать из них, чтобы в каждую комбинацию входило к предме¬тов. Каждую комбинацию шифруем с помощью 0 и 1, причем 1 соот¬ветствуют предметам, а 0 выполняют функцию разделителей. Тогда записав к единиц и добавив п - 1 нуль, мы получим комбинацию, при которой выбираются к предметов первого типа и ни одного предмета остальных типов. Переставляя всеми способами эти к единиц и п - 1 нуль, мы будем каждый раз получать некоторую расстановку, состоя¬щую из к предметов. Тогда
(7)
Свойства чисел сочетаний
Приведем свойства чисел сочетаний, которые часто ис¬пользуются при преобразованиях формул комбинаторики.
1. .
2. .
3. .
Первое свойство:

.
Второе легко доказывается, если оба члена правой части представить по формуле (6).
Третье свой¬ство можно доказать методом математической индукции. Для приме¬ра, при п = 2 имеем:
.
Для п = 3 получаем:
.







1.3.Основные понятия и методы статистики.

Математическая статистика - область современной математики, основанная на теории вероятностей и занятая поиском законов изменения и способов измерения случайных величин, обоснованием методов расчетов, производимых с такими величинами.
Математическая статистика возникла (XVII в) и развивалась вместе с теорией вероятностей. Развитие математической статистики (вторая половина XIX - начало XX в) обязано, в первую очередь, П.Л. Чебышеву, А.А. Маркову, А.М. Ляпунову, а также К. Гауссу, А. Кетле,
В XX в. Существенный вклад в математическую статистику был сделан советскими математиками (В.И. Романовский, Е.Е. Слуцкий, А.Н. Колмогоров, Н.В. Смирнов), а также английскими (Стъюдент, Р. Фишер, Э. Пирсон) и американскими (Ю. Нейман, А. Вальд) учеными.
Еще в середине XIX начале XX века наблюдаются попытки провести аналогии между физическими и психологическими исследованиями, в области построения лабораторного эксперимента, анализа и обработки экспериментальных данных. Почти одновременно в физику и психологию приходят вероятностные и статистические методы, вариационное исчисление дифференциальных уравнений. О том, чтобы математически описать деятельность мозга мечтал И.П. Павлов.
В математической статистике выделяют два фундаментальных понятия: генеральная совокупность и выборка.
Совокупностью – называется счетное множество некоторых объектов или элементов, интересующих исследователя; Свойством совокупности называется реальное или воображаемое качество, присущее некоторым всем ее элементам. Свойство может быть случайным или неслучайным. Параметром совокупности называется свойство, которое можно квантифицировать в виде константы или переменной величины. Гомогенной или однородной называется совокупность, характеристики которой присущи каждому ее элементу. Гетерогенной или неоднородной называется совокупность, характеристики которой сосредоточены в отдельных подмножествах элементов.
Важным параметром является объем совокупности – количество образующих ее элементов. Величина объема зависит от того, как определена сама совокупность, и какие вопросы нас конкретно интересуют. Понятно, что совокупности большого объема можно исследовать только выборочным путем.
Выборкой называется некоторая часть генеральной совокупности, то, что непосредственно изучается. Выборки классифицируются по объему, репрезентативности, способу отбора и схеме испытаний. Репрезентативная – выборка адекватно отображающая генеральную совокупность в качественном и количественном отношениях. Репрезентативная выборка представляет собой меньшую по размеру , но точную модель той генеральной совокупности которую она должна отражать , иначе результаты не совпадут с целями исследования.
Методами статистической обработки результатов эксперимента называются математические приемы, формулы, способы количественных расчетов, с помощью которых показатели, получаемые в ходе эксперимента, можно обобщать, приводить в систему, выявляя скрытые в них закономерности.
Некоторые из методов математико-статистического анализа позволяют вычислять так называемые элементарные математические статистики, характеризующие выборочное распределение данных, например, выборочное среднее, выборочная дисперсия, мода, медиана и ряд других. Иные методы математической статистики, например, дисперсионный, регрессионный анализ, позволяют судить о динамике изменения отдельных статистик выборки. С помощью третьей группы факторного анализа методов корреляционного анализа, методов сравнения выборочных данных, можно говорить о статистических связях, существующих между переменными величинами, которые исследуют в данном эксперименте.
Все методы математико-статистического анализа делятся на первичные и вторичные. Первичными называют методы, с помощью которых можно получить показатели, которые отражают результаты производимых в эксперименте измерений. С помощью вторичных методов статистической обработки экспериментальных данных доказываются, проверяются или опровергаются гипотезы, связанные с экспериментом. Эти методы сложнее, чем методы первичной статистической обработки, и требуют очень хорошей подготовки в области статистики и элементарной математики.
К первичным методам статистической обработки относят: выборочную среднюю величину, дисперсию, моду и медиану.
Выборочное среднее значение как статистический показатель представляет собой среднюю оценку изучаемого в эксперименте психологического качества. Эта оценка характеризует степень его развития в целом у той группы испытуемых, которая была подвергнута психодиагностическому обследованию. Сравнивая только средние значения двух или нескольких выборок, мы можем судить об относительной степени развития у людей, составляющих эти выборки, оцениваемого качества.
Дисперсия характеризует, на сколько частные значения отклоняются от средней величины в заданной выборке. Чем больше дисперсия, тем больше отклонения или разброс данных. Иногда вместо дисперсии для выявления разброса частных данных используют производную от дисперсии величину, называемую выборочное отклонение. Оно равно квадратному корню, извлекаемому из дисперсии, и обозначается тем же самым знаком, что и дисперсия, только без квадрата.
Медианой называется значение изучаемого признака, которое делит выборку, упорядоченную по величине данного признака, пополам. Справа и слева от медианы в упорядоченном ряду остается по одинаковому количеству признаков. Модой называют количественное значение исследуемого признака , наиболее часто встречающегося в выборке .
Выборочное среднее (среднее арифметическое) значение как статистический показатель представляет собой среднюю оценку изучаемого в эксперименте психологического качества. Эта оценка характеризует степень его развития в целом у той группы испытуемых, которая была подвергнута психодиагностическому обследованию. Сравнивая непосредственно средние значения двух или нескольких выборок, мы можем судить об относительной степени развития у людей, составляющих эти выборки, оцениваемого качества.
Выборочное среднее определяется при помощи следующей формулы:
где х - выборочная средняя величина или среднее арифметическое значение по выборке; n - количество испытуемых в выборке или частных психодиагностических показателей, на основе которых вычисляется средняя величина; хk - частные значения показателей у отдельных испытуемых. Всего таких показателей n, поэтому индекс k данной переменной принимает значения от 1 до n; ∑ - принятый в математике знак суммирования величин тех переменных, которые находятся справа от этого знака. Выражение соответственно означает сумму всех х с индексом k, от 1до n. В психодиагностических обследованиях большая точность расчетов не требуется.
Числовой характеристикой выборки, не требующей вычислений, является мода. Модой называют количественное значение исследуемого признака, наиболее часто встречающееся в выборке. Для симметричных распределений признаков, для нормального распределения, значение моды совпадает со значениями среднего и медианы. Для других типов распределений, несимметричных, это не характерно. Допустим в последовательности значений признаков 1, 2, 5, 2, 4, 2, 6, 7, 2 модой является значение 2, так как оно встречается чаще других значений(4 раза).
Как найти моду?
1) В том случае, когда все значения в выборке встречаются одинаково часто, принято считать, что этот выборочный ряд не имеет моды. Например: 5, 5, 6, 6, 7, 7 - в этой выборке моды нет.
2) Когда два соседних (смежных) значения имеют одинаковую частоту и их частота больше частот любых других значений, мода вычисляется как среднее арифметическое этих двух значений. Например, в выборке 1, 3, 3 3, 5, 5, 5, 7 частоты рядом расположенных значений 3 и 5 совпадают и равняются 3. Эта частота больше, чем частота других значений 1 и 7 (у которых она равна 1). Следовательно, модой этого ряда будет величина =3,5
3) Если два несмежных (не соседних) значения в выборке имеют равные частоты, которые больше частот любого другого значения, то выделяют две моды.
Пример 11. В ряду 10, 11, 11, 11, 12, 13, 15, 15, 15, 17 модами являются значения 11 и 15. В таком случае говорят, что выборка является бимодальной.
Могут существовать и так называемые мультимодальные распределения, имеющие более двух вершин (мод).
Медианой называется значение изучаемого признака, которое делит выборку, упорядоченную по величине данного признака, пополам. Справа и слева от медианы в упорядоченном ряду остается по одинаковому количеству признаков.
Пример 12. Для выборки 2, 3, 4, 4, 6, 8, 7, 9,10 медианой будет значение 6, так как слева и справа от него остается по четыре показателя. Если ряд включает в себя четное число признаков, то медианой будет среднее, взятое как полу сумма величин двух центральных значений ряда. Для следующего ряда 0, 1, 1, 2, 4, 4, 5, 5, 6, 7 медиана будет равна 4.
Знание медианы полезно для того, чтобы установить, является ли распределение частных значений изученного признака симметричным и приближающимся к нормальному распределению.
Разброс (или размах) выборки обозначается буквой R. Это самый простой показатель, который можно получить для выборки - это разность между максимальной и минимальной величинами данного вариационного ряда, т.е. R= хmax - хmin
Понятно, что чем сильнее варьирует измеряемый признак, тем больше величина R, и наоборот. Однако может случиться так, что у двух выборочных рядов и средние, и размах совпадают, однако характер варьирования будет различный. Например, даны две выборки:
Х = 10 15 20 25 30 35 40 45 50X = 30 R = 40
Y = 10 28 28 30 30 30 32 32 50 Y=30 R = 40
При равенстве средних и разбросов для этих двух выборочных рядов характер их варьирования различен. Для того чтобы более четко представлять характер варьирования выборок, следует обратиться к их распределениям.
Дисперсия - это среднее арифметическое квадратов отклонений значений переменной от её среднего значения.
Дисперсия как статистическая величина характеризует, насколько частные значения отклоняются от средней величины в данной выборке. Чем больше дисперсия, тем больше отклонения или разброс данных.

1.4.Основные понятия и методы теории вероятности.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайного события (или просто события).
Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Выпадение шестерки при подбрасывании игральной кости, отказ технического устройства- это примеры событий . С событиями связываются некоторые числа, характеризующие степень объективной возможности появления этих событий, называемые вероятностями событий.
Существует несколько подходов к понятию «вероятность»
Построение теории вероятностей основывается на аксиоматическом подходе и опирается на элементарные понятия теории множеств. Этот подход называется теоретико-множественным.
Пусть производится некоторый опыт со случайным исходом. Рассмотрим множество W всех возможных исходов опыта и каждый его элемент будем называть элементарным событием, а множество Ω – пространством элементарных событий. Любое событие A в теоретико-множественной трактовке есть некоторое подмножество множества Ω: .
Достоверным называется событие W, которое происходит в каждом опыте.
Невозможным называется событие Æ, которое в результате опыта произойти не может.
Несовместными называются события, которые не могут произойти одновременно в одном опыте.
Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B, AÈB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или одновременно оба.
Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается A×B, AÇB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходят оба события A и B вместе.
Противоположным к событию A называется такое событие , которое заключается в том, что событие A не происходит.
События Ak (k=1, 2, ..., n) образуют полную группу, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие.
Зависимые и независимые события. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Событие А называется независимым от события В, если его вероятность не зависит от появления или не появления cобытия В, в противном случае событие А называют зависимым от события В.
Вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В произошло, называется условной вероятностью
и вычисляется
(2.1)
Теорема сложения несовместных событий. Вероятность появления суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий
(2.2)
Следствие. Вероятность появления суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий
(2.3)
Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
(2.4)
Теорема может быть обобщена на

В настоящее время теория вероятностей завоевала очень серьезное место в науке и прикладной деятельности. Её методы, идеи, и результаты не только используются, но и буквально пронизывают все технические и естественные науки, экономику, организацию производства, связи, лингвистику и археологию. В настоящее время без достаточно развитых представлений о случайных событиях и их вероятностях, невозможна продуктивная деятельность людей ни в одной сфере жизни общества.
Мы должны научить жить наших детей в вероятностной ситуации, а значит, извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в различных ситуациях со случайными исходами.
Как уже известно, современная концепция школьного математического образования ориентирована на учет индивидуальности ребенка, его склонностей и интересов. Этим определяются критерии отбора содержания, разработка и внедрение новых методик, изменения в требованиях к математической подготовке учащихся. И поэтому, когда речь идет о формировании личности с помощью математики, насущной задачей является необходимость развития у школьников вероятностной интуиции и статистического мышления.
Согласно данным психологов, а также из наблюдений учителей математики школы, заметно падает интерес к математике в среднем звене и связано это с тем, что у ученика зачастую создается ощущение непроницаемой стены между изучаемыми абстрактно-формальными объектами и реальным миром. Именно вероятностно-статистическая линия, или, как ее стали называть в последнее время, - стохастическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету "математика", пропаганде его значимости и универсальности.
У нас имеется первый комплект учебников для массовой школы, который содержит разделы по теории вероятностей. И получилось так, что многие учителя оказались в нелегком положении. Большинство из них не помнит даже самих «элементов», не говоря уже о методике их преподавания в школе, направленной на формирования недетерминированных представлений и развитие особого типа мышления.
Особо встает проблема методической готовности учителей, которые способны реализовать вероятностно-статистическую линию в школьном курсе математики.
Необходимо поставить глобальную задачу перед системой образования: включить в дидактику концептуальный принцип вероятностного подхода, который должен определять в целом содержание современного стиля мышления учащихся, а значит и вектор развития современной науки. При этом данный принцип должен иметь определенный инструментарий, который может быть представлен в виде содержательных, нормативных и процессуальных дидактических функций, позволяющих технологизировать процесс формирования и развития современного стиля мышления в процессе обучения учащихся в школе.
Таким образом, актуальность темы работы обусловлена:
1. необходимостью изучения важных элементов теории вероятностей и математической статистики в основной школе;
2. «новизной» изучаемого материала, потому что данный материал не изучался долгое время ;
3. слабой разработанностью методики преподавания данного материала в школьном курсе математики;
4. проблемой изложения этого материала в разных учебных пособиях.
В связи с этим мною была выбрана тема «Стохастическая линия в школьном курсе математики».
Цель моей дипломной работы: на основе изучения имеющегося материала и специальной литературы, разработать спецкурс «Элементы комбинаторики и теории вероятности в школьном курсе математики» для учащихся 8-9 классов.
Объект исследования: процесс изучения математической статистики и элементов теории вероятностей в школьном курсе математики .
Предмет исследования: элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности в школьном курсе математики.
Гипотеза: развитие вероятностного мышления, изучение вероятностно-статистической линии школьниками на основе разработанной методики способствует качественному и полноценному усвоению материала, развитию правильных представлений о данном разделе математики и умений полученные знания применять в практической жизни.
Цели, гипотеза и проблема исследования определяют следующие задачи:
1. проанализировать, как строится стохастическая линия в школьном курсе математики;
2. изучить и проанализировать учебно-методическую, научную и психолого-педагогическую литературу по теме исследования;
3. сделать выводы об их правильности и целесообразности, на основе применения разработанных методических рекомендаций;
4. проанализировать, как воспринимается этот материал учащимися: степень заинтересованности при изучении этого материала, уровень доступности, трудности, возникающие при изучении этого материала, качество усвоения;
5. определить роль спецкурсов в обучении математики ;
6. для учащихся 8-9 классов, разработать программу курса «Элементы комбинаторики и теории вероятности в школьном курсе математики»
7. провести апробацию курса «Элементы комбинаторики и теории вероятности в школьном курсе математики» в 9 классе.
Для достижения целей работы, проверки гипотезы и решения поставленных задач были использованы следующие методы:
1. изучение учебных пособий и методической литературы;
2. анализ методической, педагогической литературы по данной теме.
Структура работы: определена ее объектом и предметом, целью и задачами исследования. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы, приложения.
База исследования: МКОУ «Березовская СОШ»

Выборкой называется некоторая часть генеральной совокупности, то, что непосредственно изучается. Выборки классифицируются по объему, репрезентативности, способу отбора и схеме испытаний. Репрезентативная – выборка адекватно отображающая генеральную совокупность в качественном и количественном отношениях. Репрезентативная выборка представляет собой меньшую по размеру , но точную модель той генеральной совокупности которую она должна отражать , иначе результаты не совпадут с целями исследования. Методами статистической обработки результатов эксперимента называются математические приемы, формулы, способы количественных расчетов, с помощью которых показатели, получаемые в ходе эксперимента, можно обобщать, приводить в систему, выявляя скрытые в них закономерности.Некоторые из методов математико-статистического анализа позволяют вычислять так называемые элементарные математические статистики, характеризующие выборочное распределение данных, например, выборочное среднее, выборочная дисперсия, мода, медиана и ряд других. Иные методы математической статистики, например, дисперсионный, регрессионный анализ, позволяют судить о динамике изменения отдельных статистик выборки. С помощью третьей группы факторного анализа методов корреляционного анализа, методов сравнения выборочных данных, можно говорить о статистических связях, существующих между переменными величинами, которые исследуют в данном эксперименте.Все методы математико-статистического анализа делятся на первичные и вторичные. Первичными называют методы, с помощью которых можно получить показатели, которые отражают результаты производимых в эксперименте измерений. С помощью вторичных методов статистической обработки экспериментальных данных доказываются, проверяются или опровергаются гипотезы, связанные с экспериментом. Эти методы сложнее, чем методы первичной статистической обработки, и требуют очень хорошей подготовки в области статистики и элементарной математики.К первичным методам статистической обработки относят: выборочную среднюю величину, дисперсию, моду и медиану. Выборочное среднее значение как статистический показатель представляет собой среднюю оценку изучаемого в эксперименте психологического качества. Эта оценка характеризует степень его развития в целом у той группы испытуемых, которая была подвергнута психодиагностическому обследованию. Сравнивая только средние значения двух или нескольких выборок, мы можем судить об относительной степени развития у людей, составляющих эти выборки, оцениваемого качества.Дисперсия характеризует, на сколько частные значения отклоняются от средней величины в заданной выборке. Чем больше дисперсия, тем больше отклонения или разброс данных. Иногда вместо дисперсии для выявления разброса частных данных используют производную от дисперсии величину, называемую выборочное отклонение. Оно равно квадратному корню, извлекаемому из дисперсии, и обозначается тем же самым знаком, что и дисперсия, только без квадрата.Медианой называется значение изучаемого признака, которое делит выборку, упорядоченную по величине данного признака, пополам. Справа и слева от медианы в упорядоченном ряду остается по одинаковому количеству признаков. Модой называют количественное значение исследуемого признака , наиболее часто встречающегося в выборке .Выборочное среднее (среднее арифметическое) значение как статистический показатель представляет собой среднюю оценку изучаемого в эксперименте психологического качества. Эта оценка характеризует степень его развития в целом у той группы испытуемых, которая была подвергнута психодиагностическому обследованию. Сравнивая непосредственно средние значения двух или нескольких выборок, мы можем судить об относительной степени развития у людей, составляющих эти выборки, оцениваемого качества.Выборочное среднее определяется при помощи следующей формулы:где х - выборочная средняя величина или среднее арифметическое значение по выборке; n - количество испытуемых в выборке или частных психодиагностических показателей, на основе которых вычисляется средняя величина; хk - частные значения показателей у отдельных испытуемых. Всего таких показателей n, поэтому индекс k данной переменной принимает значения от 1 до n; ∑ - принятый в математике знак суммирования величин тех переменных, которые находятся справа от этого знака. Выражение соответственно означает сумму всех х с индексом k, от 1до n. В психодиагностических обследованиях большая точность расчетов не требуется.Числовой характеристикой выборки, не требующей вычислений, является мода. Модой называют количественное значение исследуемого признака, наиболее часто встречающееся в выборке. Для симметричных распределений признаков, для нормального распределения, значение моды совпадает со значениями среднего и медианы. Для других типов распределений, несимметричных, это не характерно. Допустим в последовательности значений признаков 1, 2, 5, 2, 4, 2, 6, 7, 2 модой является значение 2, так как оно встречается чаще других значений(4 раза).Как найти моду?1) В том случае, когда все значения в выборке встречаются одинаково часто, принято считать, что этот выборочный ряд не имеет моды. Например: 5, 5, 6, 6, 7, 7 - в этой выборке моды нет.2) Когда два соседних (смежных) значения имеют одинаковую частоту и их частота больше частот любых других значений, мода вычисляется как среднее арифметическое этих двух значений. Например, в выборке 1, 3, 3 3, 5, 5, 5, 7 частоты рядом расположенных значений 3 и 5 совпадают и равняются 3. Эта частота больше, чем частота других значений 1 и 7 (у которых она равна 1). Следовательно, модой этого ряда будет величина =3,53) Если два несмежных (не соседних) значения в выборке имеют равные частоты, которые больше частот любого другого значения, то выделяют две моды. Пример 11. В ряду 10, 11, 11, 11, 12, 13, 15, 15, 15, 17 модами являются значения 11 и 15. В таком случае говорят, что выборка является бимодальной. Могут существовать и так называемые мультимодальные распределения, имеющие более двух вершин (мод). Медианой называется значение изучаемого признака, которое делит выборку, упорядоченную по величине данного признака, пополам. Справа и слева от медианы в упорядоченном ряду остается по одинаковому количеству признаков. Пример 12. Для выборки 2, 3, 4, 4, 6, 8, 7, 9,10 медианой будет значение 6, так как слева и справа от него остается по четыре показателя. Если ряд включает в себя четное число признаков, то медианой будет среднее, взятое как полу сумма величин двух центральных значений ряда. Для следующего ряда 0, 1, 1, 2, 4, 4, 5, 5, 6, 7 медиана будет равна 4. Знание медианы полезно для того, чтобы установить, является ли распределение частных значений изученного признака симметричным и приближающимся к нормальному распределению. Разброс (или размах) выборки обозначается буквой R. Это самый простой показатель, который можно получить для выборки - это разность между максимальной и минимальной величинами данного вариационного ряда, т.е. R= хmax - хminПонятно, что чем сильнее варьирует измеряемый признак, тем больше величина R, и наоборот. Однако может случиться так, что у двух выборочных рядов и средние, и размах совпадают, однако характер варьирования будет различный. Например, даны две выборки: Х = 10 15 20 25 30 35 40 45 50X = 30 R = 40Y = 10 28 28 30 30 30 32 32 50 Y=30 R = 40При равенстве средних и разбросов для этих двух выборочных рядов характер их варьирования различен. Для того чтобы более четко представлять характер варьирования выборок, следует обратиться к их распределениям. Дисперсия - это среднее арифметическое квадратов отклонений значений переменной от её среднего значения. Дисперсия как статистическая величина характеризует, насколько частные значения отклоняются от средней величины в данной выборке. Чем больше дисперсия, тем больше отклонения или разброс данных. 1.4.Основные понятия и методы теории вероятности.Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайного события (или просто события).Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Выпадение шестерки при подбрасывании игральной кости, отказ технического устройства- это примеры событий . С событиями связываются некоторые числа, характеризующие степень объективной возможности появления этих событий, называемые вероятностями событий.Существует несколько подходов к понятию «вероятность»Построение теории вероятностей основывается на аксиоматическом подходе и опирается на элементарные понятия теории множеств. Этот подход называется теоретико-множественным.Пусть производится некоторый опыт со случайным исходом. Рассмотрим множество W всех возможных исходов опыта и каждый его элемент будем называть элементарным событием, а множество Ω – пространством элементарных событий. Любое событие A в теоретико-множественной трактовке есть некоторое подмножество множества Ω: .Достоверным называется событие W, которое происходит в каждом опыте. Невозможным называется событие Æ, которое в результате опыта произойти не может.Несовместными называются события, которые не могут произойти одновременно в одном опыте.Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B, AÈB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или одновременно оба.Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается A×B, AÇB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходят оба события A и B вместе.Противоположным к событию A называется такое событие , которое заключается в том, что событие A не происходит.События Ak (k=1, 2, ..., n) образуют полную группу, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие.Зависимые и независимые события. Теоремы сложения и умножения вероятностейСобытие А называется независимым от события В, если его вероятность не зависит от появления или не появления cобытия В, в противном случае событие А называют зависимым от события В.Вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В произошло, называется условной вероятностью и вычисляется (2.1)Теорема сложения несовместных событий. Вероятность появления суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий (2.2)Следствие. Вероятность появления суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий (2.3)Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: (2.4)Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, для трех совместных событий:Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: (2.5)Следствие. Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго, при условии, что первое событие произошло (2.1.6.)Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на условные вероятности всех остальных событий, вычисленных в предположении, что все предыдущие события наступили.Теорема о вычислении вероятности появления хотя бы одного события. Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событийравна разности между единицей и вероятностью произведения всех противоположных событий (2.7)Замечание 1. При решении задач на вычисление вероятностей сложных событий, можно пользоваться следующей схемой:1) обозначить буквами все события, о которых идет речь в условии задачи;2) узнать, совместны или несовместны обозначенные события, зависимы или независимы;3) выразить сложное событие, о котором идет речь в вопросе задачи через обозначенные события;4) выбрать формулу для вычисления нужной вероятности.Пример 13. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что выбранное изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий окажется: а) только одно изделие высшего сорта; б) только два изделия высшего сорта; в) все три изделия высшего сорта. Обозначим события совместные, независимые;P(A1)=0,8; P(A2)=0,8; P(A3)=0,8.а) A = {только одно изделие из трех - высшего сорта}:б) B = {только два изделия из трех высшего сорта}:;с) С = {все три изделия высшего сорта}:; Пример 14. Студент выучил 20 вопросов из 30. Для сдачи зачета необходимо ответить хотя бы на два вопроса из трех заданных. Какова вероятность того, что студент сдаст зачетОбозначим события совместные и зависимые;А = {студент сдаст зачет}.Построим событиеСлагаемые в этом выражении совместны. Запишем это же событие иначе, чтобы слагаемые были несовместны Тогда будем иметь по теореме сложения несовместных событий и теореме умножения зависимых событий. Пример 15. На трех этапах подготовки прибора к работе вероятности появления независимых друг от друга задержек соответственно равны 0,1; 0,06; 0,05. Какова вероятность подготовки изделия к работе без задержекОбозначим события совместны и независимы;; ; ;={подготовка проведена без задержки}.Тогда и по теореме умножения независимых событий Пример 4. Производится наблюдение за группой состоящей из трех одинаковых объектов. Вероятности обнаружения первого, второго и третьего объектов соответственно равны 0,6 0,8 и 0,7. Найти вероятность того, что обнаружен хотя бы один объектОбозначим событиясовместны, независимы; = {обнаружен хотя бы один объект }. ТогдаПо формуле вычисления вероятности появления хотя бы одного события Пример 16. Над изготовлением изделия работают трое рабочих. Качество изделия при передаче следующему рабочему не проверяется. Вероятности того, что первый, второй и третий рабочий допустят брак, соответственно равны 0,2; 0,15; 0,1. Найти вероятность изготовления изделия без бракаОбозначим событиясовмест., независ.;={получено изделие без брака}. Тогда,; иФормула полной вероятности. Формулы гипотез (Бейеса).Пусть событие А может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) образующих полную группу. Вероятности гипотез предполагаются известными, причемТогда вероятность появления события А равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А, вычисленную в предположении, что произошла i – тая гипотеза, т.е.== (2.8)Это равенство называют формулой полной вероятности.Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез),которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть выражены по формулам Бейеса (2.9) где вычисляется в соответствии с формулой (2.2.1).Пример 17. В продажу поступили однотипные изделия с трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% изделий с дефектом, второго – 8% и третьего 15%. Какова вероятность приобрести изделие с дефектом, если в магазин поступило 30% изделий первого завода, 50% изделий второго завода и 20% - третьего?Обозначим={изделие произведено первым заводом}, ;={изделие произведено первым заводом}, ;={изделие произведено первым заводом}, ;А = {купленное изделие имеет дефект}.Вероятность события А можно вычислить по формуле полной вероятности: =Пример 18. В группе из 12 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 3 – посредственно и 2 – плохо. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, посредственно – на 10 и плохо подготовленный – на 5. Вычислить вероятность того, что наугад вызванный студент ответит на заданный вопрос. Обозначим событияН1={вызван отличник} Р(Н1)=1/4;Н2={вызван хорошо успевающий} Р(Н2)=1/3;Н3={вызван посредственно успевающий} Р(Н3)=1/4;Н4={вызван плохо успевающий} Р(Н4)=1/6;А = {студент ответит на заданный вопрос}.; ; ;.По формуле полной вероятности находим: Пример 19. При условии задачи 7 определить вероятность того, что студент, ответивший на заданный вопрос, был подготовлен посредственноПоскольку событие А произошло (студент ответил на заданный вопрос), то вероятность события Н3 изменится и может быть вычислена по формуле Бейеса. Пример 20. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55; а ко второму – 0,45. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,98. Изделие при проверке признано стандартным. Найти вероятность того, что его проверил второй товаровед. Обозначим событияН1={изделие проверил первый товаровед}, Н2={изделие проверил второй товаровед}, А = {изделие признано стандартным};Так как событие А произошло, вероятностьможно вычислить по формуле Байеса. 2. Методика изучения стохастической линии в школьном курсе математики.2.1. История включения стохастического материала в школьный курс математики.С 2003 года элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей были включены в базовый школьный курс математики. Это было обусловлено следующими причинами: присоединением России к болонскому процессу (за рубежом стохастический материал уже давно включен в школьные учебники); изменением социально-экономической ситуации в стране (переход на рыночную экономику);изменением социального заказа школе, она должна выпускать образованную, нравственную личность, способную устанавливать диалог с окружающим миром материальной и духовной культуры на разных языках (язык-корень любой культуры);анализ отечественной и зарубежной научно-методической литературы и экспериментальные данные многих исследователей свидетельствуют о том, что мышление ребенка, его научная картина мира строятся на вероятностной основе.Остановимся на этом подробнее. С момента рождения взаимоотношения ребенка с окружающим миром происходят в режиме диалога. Он воспринимает этот мир, как мир, в котором все может быть. Динамика изменения жизненного опыта ребенка очень велика, он вынужден непрерывно подстраиваться под будущее, поэтому его жизнь строится по законам игровой импровизации, а мышление носит вероятностный характер. Такое вероятностное отношение к миру позволяет ребенку безболезненно воспринимать окружающий мир как мир непредсказуемых событий и бесконечных возможностей. В мышлении ребенка закладываются основы иррационально-творческих структур человеческого сознания, т.к. его мышление еще не сковано требованиями жесткой формально-логической достоверности. Для ребенка важнее ответ на вопрос «Как это могло бы быть?», чем «Как на самом деле?». Теперь понятно, почему все попытки изучения основ теории вероятностей в старших классах в 60-80 годы оказались неудачными (А.Н. Колмогоров, Б. Гнеденко, Е.А. Бунимович и др.). Это связано с тем, что наработанное учащимися к этому возрасту стремление к быстрой формализации знаний, сформированное традиционным курсом математики, желание усвоить на уроке прежде всего определенный набор правил, алгоритмов, методов вычислений фактически заменяет формирование вероятностных представлений формальным заучиванием формул. Исследования зарубежных и отечественных психологов и педагогов убедительно доказали, что стохастические представления детей о реальном мире должны развиваться непрерывно, а следовательно нужно строить такую модель обучения, в которой не понятийные, а образные структуры являлись бы центром психического развития ребенка (М. Монтессори, С. Френе., А.М, Лобок, М. Холодная и др.).