Вход

Равномерная непрерывность функции

Рекомендуемая категория для самостоятельной подготовки:
Курсовая работа*
Код 291347
Дата создания 12 июля 2014
Страниц 19
Мы сможем обработать ваш заказ 26 мая в 12:00 [мск]
Файлы будут доступны для скачивания только после обработки заказа.
780руб.
КУПИТЬ

Описание

Полностью готовый курсовой проект, оформление в MS Word, практическая часть - 10 заданий с разбором. ...

Содержание

Введение 3
1 Равномерная непрерывность функции 4
1.1 Основные определения 4
1.2 Теорема Кантора 5
1.3 Теорема Бореля-Лебега 6
2 Решение задач 9
Заключение 16
Список использованных источников 17

Введение

Тема данной работы – равномерная непрерывность функции. Цель работы — доказать и изучить равномерную непрерывность функции. Для этого будут приведены различные доказательства: с помощью теоремы Кантора, леммы и теоремы Бореля – Лебега. Как известно, очень многие ценные результаты физики и техники получаются переходом к пределу из открытого интервала, где функция была первоначально задана, к его граничным точкам. Одним из неприятных моментов, который встречается при таких переходах, это отсутствие сходимости непрерывной функции при переходе к пределу в граничной точке ее области определения. Чтобы застраховаться от таких отрицательных явлений, очень важно четко выделить класс функций, у которых всегда существует предел в граничной точке. Таким классом функций является класс равномерно неп рерывных функций. Поэтому изучение свойств таких функций актуально по настоящее время и является очень важным

Фрагмент работы для ознакомления

Тогда выполняется неравенство . Отсюда следует, что и значит, , это доказывает единственность общей точки системы вложенных отрезков, в случае, если их длины стремятся к 0. Вернемся к доказательству леммы Гейне-Бореля. Предположим, отрезок покрыт бесконечной системой открытых интервалов и никакая конечная подсистема не покрывает данный отрезок. Разделим отрезок пополам и рассмотрим отрезки и . По крайней мере, один из них, скажем , нельзя покрыть конечной подсистемой интервалов из данной системы открытых интервалов . Повторив для отрезка предыдущее рассуждение, мы получим наличие вложенного в него отрезка , который не допускает выделение конечного подпокрытия интервалами из семейства и так далее, получаем последовательность вложенных отрезков , обладающих указанным свойством, причем длины этих отрезков стремятся к 0. По лемме о вложенных отрезках существует точка , принадлежащая всем этим отрезкам. Точка и накрыта некоторым интервалом . Тогда, так как и , начиная с некоторого номера будем иметь , а этот факт противоречит проведенному построению, по которому ни один из отрезков не допускает конечного подпокрытия любым конечным подсемейством интервалов из состава , а тем более одним таким интервалом. Теорема Гейне-Бореля о конечном покрытии доказана. Приведенное доказательство легко обобщается на случай -мерного пространства .Французский математик А. Лебег привел иное доказательство леммы Бореля―Лебега. Пусть е. Множество обладает следующим свойством, если . В самом деле, взяв для точки интервал из покрытия и рассмотрев конечное подпокрытие , мы можем построить конечное подпокрытие отрезка . Тогда . Также, если , то существует такое , что . Из этих двух утверждений следует, что и тем самым, теорема доказана.Применим теперь лемму Бореля-Лебега для того, чтобы получить второе доказательство теоремы Кантора-Гейне о том, что всякая непрерывная на отрезке функция является равномерно непрерывной на нем. Пусть функция непрерывна. Возьмем произвольное и для каждой точки рассмотрим - окрестность такую, что для любой точки выполняется неравенство . Тогда для любых двух точек выполняется неравенство . Из полученной системы открытых множеств можно выделить конечную подсистему также покрывающую отрезок . Пусть - минимальная длина пересечения пересекающихся интервалов из конечного множества , ясно, что . Тогда всякий отрезок с концами в , имеющий длину, меньшую , включен в одно из множеств открытого покрытия . Отсюда следует, что для любых двух точек , таких, что найдется такое множество , что , но тогда . В силу произвольности выбранного , равномерная непрерывность функции доказана.2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧРавномерно непрерывная на А функция непрерывна на А (!). Обратноеутверждение неверно (!).2. Если функция равномерно непрерывна на А, она равномерно непрерывна на любом (!)Решение. Пусть функция равномерно непрерывна. Докажем, что она является непрерывной на . В самом деле, пусть - произвольное число, нам нужно показать, что функция непрерывна в точке . Пусть - произвольное число, требуется указать такое , что если . Возьмем в качестве то число для данного , которое существует в силу условия, что данная функция будет равномерно-непрерывна. Тогда для , таких, что выполняется неравенство . В частности, пусть и , тогда при будем иметь , а это и означает доказываемую непрерывность функции в точке .3. Пусть функция равномерно непрерывна на А и на В.Функция равномерно непрерывна на (!).Если А и В — отрезки, то равномерно непрерывна на (!).Построить функцию, равномерно непрерывную на a,b и ]b,с], но не являющуюся равномерно непрерывной на a,c.Решение.Утверждение пункта 1 следует из задачи 2, так как равномерно непрерывна 11на , при этом , следовательно равномерно непрерывна на . Пусть - положительное число ;;Пусть и . Если или , то по определению, . Предположим теперь, что , . Случай рассматривается аналогично. Пусть имеет место первое. Тогда ключевой момент доказательства, . Допустим, что последнее утверждение доказано и вернем к доказательству его позже. Тогда имеем:;;Следовательно .Требуемое утверждение о равномерной непрерывности будет доказано, если будет доказана лемма, сформулированная в ходе решения задачи. Воспользуемся теоремой Кантора о том, что в множестве всякое ограниченное множество имеет конечную верхнюю грань. Пусть . Это множество не пусто, так как и ограничено сверху числом и поэтому .Но на самом деле , так как . По определению верхней грани, , так как множество замкнуто, получим . Далее, имеем и так как замкнуто, то . Итак, и , так как . Таким образом, лемма, а значит и теорема доказаны.Пусть Эта функция является равномерно непрерывной на и на , но на всем отрезке она не только не равномерно непрерывна, но и просто не является непрерывной, так как в точке имеет разрыв первого рода.4. Если функция не является равномерно непрерывной на a,b то она разрывна хотя бы в одной точке из a,b (!)Решение. Предположим противное, т.е. что функция не имеет точек разрыва на , тогда она непрерывна на . По теореме Кантора функция будет равномерно непрерывна на , получили противоречие, из которого следует утверждение задачи.5. Функции и равномерно непрерывны на .Произведение может не быть равномерно непрерывной на функцией (!).Если функции и ограничены, то равномерно непрерывнана (!).Решение.Пример отсутствия равномерной непрерывности:- равномерно непрерывны на , а их произведение равномерно-непрерывным не является. Пусть являются равномерно-непрерывными и ограниченными на , пусть выполняется неравенство . Пусть , в силу равномерной непрерывности функций существует такое, что при выполняются неравенства . Тогда при имеем также:Отсюда следует равномерная непрерывность произведения равномерно непрерывных ограниченных функций.6. Если функция f непрерывна на , то существует окрестность, U∋x0 такая, что f равномерно непрерывна на U (!).Решение. Пусть и . Тогда отрезок и поэтому функция равномерно непрерывна на данном отрезке по теореме Кантора.

Список литературы

1. Зорич В.А. Математический анализ. Часть I. – М.: МЦНМО, 2002. – 664 с.
2. Sernam.ru - Научная библиотека избранных естественно-научных изданий. – § 3.7 Равномерная непрерывность функции.
3. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Том I. – М.: 1968. – 440 с.
4. Коляда В.И., Кротов В.Г. Лекции по математическому анализу. – Минск, 2010. – 317 с.
5. Богданов Ю.С., Кастрица О.А. Начала анализа в задачах и упражнениях: Учебное пособие. – Минск: Вышэйшая школа, 1988. – 174 с.
Пожалуйста, внимательно изучайте содержание и фрагменты работы. Деньги за приобретённые готовые работы по причине несоответствия данной работы вашим требованиям или её уникальности не возвращаются.
* Категория работы носит оценочный характер в соответствии с качественными и количественными параметрами предоставляемого материала. Данный материал ни целиком, ни любая из его частей не является готовым научным трудом, выпускной квалификационной работой, научным докладом или иной работой, предусмотренной государственной системой научной аттестации или необходимой для прохождения промежуточной или итоговой аттестации. Данный материал представляет собой субъективный результат обработки, структурирования и форматирования собранной его автором информации и предназначен, прежде всего, для использования в качестве источника для самостоятельной подготовки работы указанной тематики.
© Рефератбанк, 2002 - 2022