Методы оптимальных решений

задачи по элементам высшей математики . вариант 5 ...

Содержание
Найти оптимумы функций
Задание 1………………………………………………………... 3
Задание 2 ………………………………………..……………... 5
Задание 3……… ……………………………………………….. 7
Задание 4 ……….……………………………………………….. 10
Задание 5 ………………………………………………………... 12
Задание 6………………………………………………………… 17

Вариант 5.
1. Найти оптимум функции при , .
Решение:
1). Найдём оптимум функции .
2). Находим частные производные первого порядка и приравниваем их нулю.

;

.

Подставляем в первое уравнение: .
После преобразований: .
Корень полученного уравнения: . Других действительных корней нет.
Решение системы: ; .
Стационарная точка: .
5). Находим частные производные второго порядка.
;
.
;
;
.
6). Исследуем стационарную точку с помощью определителя .
7). Стационарная точка .
; ; .
. . Оптимум есть.
. Точка – min. .
Выборочная проверка:
; ; (min);
; ; (min);
; ; (min);
; ; (min).
3. Найти оптимум функции
при , , .
Решение:
1). Найдём оптимум функции .
2). Находим частные производные первого порядка и приравниваем их нулю.
;
.
3). Образуем систему уравнений. Преобразуем её.
;
.
4). Решаем систему уравнений.
Из первого уравнения системы: .
Подставляем во второе уравнение: .
После преобразований: .
Пусть . Тогда. Отсюда: , .
Корни полученного уравнения: , , , .
Решения системы:
; ;
; ;
; ;
; .
Стационарные точки:
; ; ; .
5). Находим частные производные второго порядка.
;
.
;
;
.
6). Исследуем стационарные точки с помощью определителя .
7). Стационарная точка .
; ; .
. . Оптимум отсутствует.
.
Выборочная проверка:
; ; ;
; ; ;
; ; ;
; ; .
8). Стационарная точка .
; ; .
. . Оптимум отсутствует.
.
Выборочная проверка:
; ; ;
; ; ;
; ; ;
; ; .
9). Стационарная точка .
; ; .
. . Оптимум есть.
. Точка – max. .
Выборочная проверка:
; ; ; (max);
; ; ; (max);
; ; ; (max);
; ; ; (max).
10). Стационарная точка .
; ; .
. . Оптимум есть.
. Точка – min. .
Выборочная проверка:
; ; ; (min);
; ; ; (min);
; ; ; (min);