| Код | 290431 | ||
| Дата создания | 2016 | ||
| Страниц | 19 ( 14 шрифт, полуторный интервал ) | ||
|
Файлы
|
|||
|
Без ожидания: файлы доступны для скачивания сразу после оплаты.
Ручная проверка: файлы открываются и полностью соответствуют описанию.
|
|||
Задание 1
Фабрика по производству мороженого может выпускать пять сортов мороженого. При производстве мороженого используется два вида сырья: молоко и наполнители, запасы которых известны. Известны также удельные затраты сырья, а также цены продукции. Требуется построить план производства, который обеспечивает максимум дохода.
...
Решение
Введем обозначения ... Удельные затраты сырья обозначим ... Т.е. удельные затраты молока на изготовление мороженого 3-го типа: ...
...
Задание 2
Найти и изобразить в декартовой системе координат области выпуклости и вогнутости функции . Выпуклы ли построенные области?
Решение
Найдем вторые производные:
...
Составляем Якобиан:
...
Для того чтобы функция была вогнутой (выпуклой) необходимо, чтобы главные миноры матрицы были ...
...
Задание 3
Задачу нелинейного программирования ... привести к стандартному виду. Изобразить допустимое множество и линии уровня целевой функции; решить задачу графически. Проверить, выполняются ли условия теоремы Вейерштрасса о существовании решения.
На рисунке проверить выполнение условий Куна-Таккера в угловых точках допустимого множества (т.е. в точках, в которых число активных ограничений не меньше числа переменных) и в точках касания линии уровня целевой функции с границами допустимой области. Найти точки, в которых условия Куна-Таккера выполняются, и определить, какие из ограничений являются активными в таких точках. Выписать условия Куна-Таккера в найденных точках и рассчитать значения двойственных переменных. Сделать обоснованный вывод о наличии или отсутствии локального (глобального) максимума во всех рассмотренных точках.
Решение
Приведем задачу нелинейного программирования к виду:
...
Для этого второе ограничение умножим на ... и получим задачу нелинейного программирования в стандартной форме
...
Задание 4
Рассмотреть задачу целевого программирования, в которой множество допустимых решений задается неравенствами и , критерии заданы соотношениями , а целевая точка совпадает с идеальной точкой z*, отклонение от которой задается функцией . Найти и изобразить множество достижимых критериальных векторов Z, его паретову границу P(Z) и идеальную точку z*. Изобразить линии уровня функции .
Графически решить задачу нахождения достижимой точки (z’1, z’2), дающей минимум отклонения от идеальной точки; аналитически записать задачу минимизации отклонения от идеальной точки в виде задачи линейного программирования.
Решение
Изобразим графически множество допустимых решений задачи:
...
Множество допустимых решений представляет собой четырехугольник, вершины которого имеют следующие координаты: ...
Задание 5
Рассмотреть задачу двухкритериальной максимизации ... на множестве допустимых решений ...
Найти Парето-эффективное решение, максимизирующее линейную свертку критериев
Проверить, выполняется ли для возникающей задачи нелинейного программирования условия теоремы Вейерштрасса и является ли эта задача задачей выпуклого программирования. Проверить возможность использования условий Куна-Таккера в данной задаче. Выписать и проверить выполнение условий Куна-Таккера в градиентной форме для различных наборов активных ограничений. Найти решение рассматриваемой задачи нелинейного программирования. Выписать функцию Лагранжа и условия Куна-Таккера через функцию Лагранжа; проверить выполнение условий Куна-Таккера в найденном решении.
Решение
В данном случае множество допустимых решений определено только в одной точке ...
Следовательно, данное решение является ...
...
Задание 6
Инвестор, имеющий Р = 1000$, может вложить их в два вида ценных бумаг.
Ожидаемый годовой доход от каждого вида ценных бумаг 1 и 2 составляет R1 = 0,06 и R2 = 0,02 соответственно; верхние границы инвестиций в ценные бумаги 1 и 2 равны S1 = 0,75 и S2 = 0,9 соответственно; нижняя граница ожидаемого годового дохода от всех инвестиций равна b = 0,03.
Дисперсии годового дохода от ценных бумаг 1 и 2 равны = 0,09 и = 0,06, ковариация годового дохода от ценных бумаг 1 и 2 равна = 0,02.
Составить математическую модель задачи выбора портфеля инвестиций.
Определить сколько средств необходимо вложить в каждую ценную бумагу 1 и 2, чтобы годовой доход от их вложения был не меньше ожидаемого, а риск был бы минимальным.
Решение
Обозначим: xj – доля капитала инвестора, вкладываемая в покупку акций j-го вида (j = 1, 2).
Тогда дисперсия ... рассматривается как мера риска портфеля. При этом имеют место ограничения:
...