Устойчивость САР

По исходным данным, указанным в задании на контрольную работу, необходимо выполнить следующие пункты:
1) по заданному критерию оценить устойчивость САР.
2) построить область устойчивости относительно коэффициента усиления САР. ...

1. Оценка устойчивости системы по частотному критерию устойчивости Михайлова
Характеристический полином:
94,5•10-5p4 +42•10-3p3 +44,2•10-2p2 +13,4•10-1p +9,42= 0.
Подставим p = jω разложим на вещественную и мнимую части, и в результате получим:
X(ω) = 9,42 – 44,2•10-2ω2+94,5•10-5ω4;
Y(ω) =13,4•10-1ω –42•10-3ω3 .
Критерий устойчивости Михайлова формулируется следующим образом: для устойчивости линейной САР необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от нуля до бесконечности, начавшись на положительной полуплоскости и не пересекая начала координат, последовательно пересек столько квадрантов комплексной плоскости, какой порядок имеет полином характеристического уравнения системы.
Построим годограф Михайлова с использованием математического пакета «MathCad».

По исходным данным, указанным в задании на контрольную работу, необходимо выполнить следующие пункты:
1) по заданному критерию оценить устойчивость САР.
2) построить область устойчивости относительно коэффициента усиления САР.
Исходные данные:
Характеристический полином:
94,5•10-5p4 +42•10-3p3 +44,2•10-2p2 +13,4•10-1p +9,42= 0.
Критерий устойчивости Михайлова.

Построенный годограф Михайлова, начинаясь на действительной положительной полуоси, огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно четыре квадранта, что соответствует порядку характеристического уравнения. Следовательно, данная система – устойчива.
2. Анализ устойчивости системы методом Д-разбиения
Характеристическое уравнение:
94,5·10-5p4 +42·10-3p3 +44,2·10-2p2 +13,4·10-1p +9,42= 0.
Для данного характеристического уравнения справедлива замена 9,42 =K + 1, следовательно, имеем:
94,5·10-5p4 +42·10-3p3 +44,2·10-2p2 +13,4·10-1p + K + 1= 0.
где K – коэффициент усиления системы. Решая полученное уравнение относительно параметра K, будем иметь следующее выражение:
K = – (94,5·10-5p4 +42·10-3p3 +44,2·10-2p2 +13,4·10-1p + 1).
Подставим в последнюю формулу значение p = jω разложим ее на вещественную и мнимую части, в итоге получим:
K = А(ω) + jВ(ω),
Вещественная и мнимая части рассчитываются по формулам:
А(ω) = –1 + 44,2·10-2ω2 – 94,5·10-5ω4
B(ω) = – 13,4·10-1ω + 42·10-3ω3.
Подставляя в последние выражения, значения частоты от минус до плюс бесконечности, построим кривую на комплексной плоскости.
Построим область устойчивости с использованием математического пакета «MathCad».
Задаем разрешение кривой диапазоном значений индекса i:
Определяем исследуемый диапазон и шаг частоты ω, используя значения индекса i:
Полученные вещественную R(ω) и мнимую S(ω) части характеристического уравнения, зададим численными значениями в виде:
при ω<0,
при ω≥0.
Область устойчивости приведена в Приложении 2.
Система будет устойчива при всех значениях коэффициента K, лежащих внутри заштрихованной области (штриховка внутрь области).
Так как К лежит внутри заштрихованной области, то система устойчива.
Заключение
В данной работе была оценена устойчивость заданной системы по критерию Михайлова и построена область устойчивости относительно коэффициента усиления. В обоих методах система оказалась устойчивой.
Список литературы
1. Доронин, С.В. Теория автоматического управления и регулирования : учеб. пособие / С.В. Доронин. – Хабаровск : Изд-во ДВГУПС, 2005. – 127 с. : ил.
2. Автоматизация электроподвижного состава : учеб. для вузов ж.-д. трансп. / Под ред. А.Н. Савоськина. – М.: Транспорт, 1990.