5 заданий по линейной алгебре

1. Для отношений α, β, χ, заданных на конечном множестве А={1,2,3,4,5,6} найти β*χ ,χ-1, β*α (отношения заданы)
2. Доказать, что для любых отношений α, β, заданных на множестве А выполняется (α*β)-1 =β-1*α-1
3. Выяснить является ли отношение β ={(x,y)/ x≤ y}, где x,y R, эквивалентностью, частичным или полным порядком.
4. Найти мощность множества всех cчетных последовательностей из букв данного конечного алфавита.
5. Доказать:
а) множество G-множество комплексных чисел, отличных от 0, по умножению является группой;
б) множество А-множество действительных чисел, отличных от 0, по умножению является в группе G нормальным делителем;
в) описать фактор-группу G/A указав в ней единицу, вид обратного элемента, групповую операцию;
г) доказать, что отображение φ: ...

1. Для отношений α, β, χ, заданных на конечном множестве А={1,2,3,4,5,6} найти β*χ ,χ-1, β*α (отношения заданы)
2. Доказать, что для любых отношений α, β, заданных на множестве А выполняется (α*β)-1 =β-1*α-1
3. Выяснить является ли отношение β ={(x,y)/ x≤ y}, где x,y R, эквивалентностью, частичным или полным порядком.
4. Найти мощность множества всех cчетных последовательностей из букв данного конечного алфавита.
5. Доказать:
а) множество G-множество комплексных чисел, отличных от 0, по умножению является группой;
б) множество А-множество действительных чисел, отличных от 0, по умножению является в группе G нормальным делителем;
в) описать фактор-группу G/A указав в ней единицу, вид обратного элемента, групповую операцию;
г) доказать, что отображение φ:H→ L, где H-группа целых чисел, кратных 8, по сложению, а L-Z — группа вычетов по модулю 2 является гомоморфизмом, вычислить его ядро и образ — остаток от деления на 2;

1. Для отношений α, β, χ, заданных на конечном множестве А={1,2,3,4,5,6} найти β*χ ,χ-1, β*α (отношения заданы)
2. Доказать, что для любых отношений α, β, заданных на множестве А выполняется (α*β)-1 =β-1*α-1
3. Выяснить является ли отношение β ={(x,y)/ x≤ y}, где x,y R, эквивалентностью, частичным или полным порядком.
4. Найти мощность множества всех cчетных последовательностей из букв данного конечного алфавита.
5. Доказать:
а) множество G-множество комплексных чисел, отличных от 0, по умножению является группой;
б) множество А-множество действительных чисел, отличных от 0, по умножению является в группе G нормальным делителем;
в) описать фактор-группу G/A указав в ней единицу, вид обратного элемента, групповую операцию;
г) доказать, что отображение φ: H→ L, где H-группа целых чисел, кратных 8, по сложению, а L-Z — группа вычетов по модулю 2 является гомоморфизмом, вычислить его ядро и образ — остаток от деления на 2;

Отношение называется антисимметричным, если для любых упорядоченных пар и следует равенство .
Отношение является антисимметричным, т.к. для любых чисел из одновременного выполнения неравенств и следует, что .
Т.о. отношение является порядком.
2. Порядок называется полным, если для любых двух элементов выполняется хотя бы одно из двух требований: или . В противном случае порядок называется частичным.
Т.о. отношение является полным порядком, т.к. для любых двух чисел верно хотя бы одно из двух неравенств или .
Задание № 4. Найти мощность множества всех cчетных последовательностей из букв данного конечного алфавита.
Решение.
Число элементов конечного множества называется мощностью данного множества. Для бесконечного множества мощность – это расширение понятия «число элементов».
Предположим, что задан некоторый алфавит, т.е. множество символов .
Множество всех счетных последовательностей из букв данного алфавита эквивалентно по числу элементов множеству всех последовательностей из 0 и 1 (данное множество имеет мощность континуума).
Отношение эквивалентности следующее: каждой букве алфавита поставим в соответствие 1, если ее порядковый номер нечетный и 0, если четный. Тогда каждой счетной последовательности букв алфавита будет поставлена в соответствие последовательность из 0 и 1. Следовательно, множество всех счетных последовательностей из букв данного алфавита имеет мощность континнума.
Задание №5. Доказать:
        а) множество G-множество комплексных чисел, отличных от 0, по умножению является группой;
        б) множество А-множество действительных чисел, отличных от 0, по умножению является в группе G нормальным делителем;
        в) описать фактор-группу G/A указав в ней единицу, вид обратного элемента, групповую операцию;
        г) доказать, что отображение φ: H→ L, где H-группа целых чисел, кратных 8, по сложению, а L-Z— группа вычетов по модулю 2 является гомоморфизмом, вычислить его ядро и образ — остаток от деления на 2;
Решение.
а. Множество с бинарной операцией называют группой и обозначают , если выполнены аксиомы:
1. ассоциативности: для любых трех элементов множества .
2. наличие в множестве нейтрального элемента такого, что для любого элемента выполняется
3. наличия обратного элемента: для любого элемента существует элемент, условно обозначаемый , принадлежащий такой, что .
Т.о. множество комплексных чисел, отличных от 0, по умножению является группой, т.к. согласно свойствам комплексных чисел для него выполнено условие ассоциативности, нейтральный элемент – 1, и для любого комплексного числа, отличного от 0, существует обратный элемент, для которого . Если , то .
б. 1).Подгруппой группы называется такое подмножество , которое является группой относительно той же операции , применяемой к его элементам.
Множество А - множество действительных чисел, отличных от 0, является группой относительно операции умножения, т.к. согласно свойствам действительных чисел выполняется закон ассоциативности, 1 – нейтральный элемент и . Т.о. множество А относительно операции умножения является подгруппой группы G.
2). Пусть в группе G задана подгруппа Н. Для произвольного элемента определяется левый класс смежности по подгруппе Н: . Аналогично определяется правый класс смежности. Подгруппа H называется нормальным делителем группы G или инвариантной подгруппой группы G, если для любого элемента a из G выполняется условие: .
Т.к. операция умножения комплексных чисел обладает свойством коммутативности, то из этого следует, что , т.е. группа А является нормальным делителей группы G.
в). 1)Фактор-группа G/A представляет собой множество непересекающихся классов смежности . Элементы множества G, определяющие непересекающиеся классы смежности, можно определить следующим образом: Т.е. каждый класс смежности, это луч комплексной плоскости, выходящий из 0 (не включая 0).
При этом покажем, что произведение представителей любых двух классов содержится в одном и том же классе, независимо от выбора представителей.
Действительно, рассмотрим любые два класса смежности , где и , где и возьмем два любых представителя этих классов: и . Тогда произведение данных представителей содержится в классе
Групповая операция определяется следующим образом: . Т.е. произведение двух классов смежности – это тот класс смежности, в котором содержатся произведения любых представителей двух данных классов.
2). Единица данной фактор-группы: , т.е. . Действительно, выполнено