Вход

5 заданий по линейной алгебре

Рекомендуемая категория для самостоятельной подготовки:
Контрольная работа*
Код 289604
Дата создания 01 сентября 2014
Страниц 6
Мы сможем обработать ваш заказ 26 сентября в 12:00 [мск]
Файлы будут доступны для скачивания только после обработки заказа.
650руб.
КУПИТЬ

Описание

1. Для отношений α, β, χ, заданных на конечном множестве А={1,2,3,4,5,6} найти β*χ ,χ-1, β*α (отношения заданы)
2. Доказать, что для любых отношений α, β, заданных на множестве А выполняется (α*β)-1 =β-1*α-1
3. Выяснить является ли отношение β ={(x,y)/ x≤ y}, где x,y R, эквивалентностью, частичным или полным порядком.
4. Найти мощность множества всех cчетных последовательностей из букв данного конечного алфавита.
5. Доказать:
а) множество G-множество комплексных чисел, отличных от 0, по умножению является группой;
б) множество А-множество действительных чисел, отличных от 0, по умножению является в группе G нормальным делителем;
в) описать фактор-группу G/A указав в ней единицу, вид обратного элемента, групповую операцию;
г) доказать, что отображение φ: ...

Содержание

1. Для отношений α, β, χ, заданных на конечном множестве А={1,2,3,4,5,6} найти β*χ ,χ-1, β*α (отношения заданы)
2. Доказать, что для любых отношений α, β, заданных на множестве А выполняется (α*β)-1 =β-1*α-1
3. Выяснить является ли отношение β ={(x,y)/ x≤ y}, где x,y R, эквивалентностью, частичным или полным порядком.
4. Найти мощность множества всех cчетных последовательностей из букв данного конечного алфавита.
5. Доказать:
а) множество G-множество комплексных чисел, отличных от 0, по умножению является группой;
б) множество А-множество действительных чисел, отличных от 0, по умножению является в группе G нормальным делителем;
в) описать фактор-группу G/A указав в ней единицу, вид обратного элемента, групповую операцию;
г) доказать, что отображение φ:H→ L, где H-группа целых чисел, кратных 8, по сложению, а L-Z — группа вычетов по модулю 2 является гомоморфизмом, вычислить его ядро и образ — остаток от деления на 2;

Введение

1. Для отношений α, β, χ, заданных на конечном множестве А={1,2,3,4,5,6} найти β*χ ,χ-1, β*α (отношения заданы)
2. Доказать, что для любых отношений α, β, заданных на множестве А выполняется (α*β)-1 =β-1*α-1
3. Выяснить является ли отношение β ={(x,y)/ x≤ y}, где x,y R, эквивалентностью, частичным или полным порядком.
4. Найти мощность множества всех cчетных последовательностей из букв данного конечного алфавита.
5. Доказать:
а) множество G-множество комплексных чисел, отличных от 0, по умножению является группой;
б) множество А-множество действительных чисел, отличных от 0, по умножению является в группе G нормальным делителем;
в) описать фактор-группу G/A указав в ней единицу, вид обратного элемента, групповую операцию;
г) доказать, что отображение φ: H→ L, где H-группа целых чисел, кратных 8, по сложению, а L-Z — группа вычетов по модулю 2 является гомоморфизмом, вычислить его ядро и образ — остаток от деления на 2;

Фрагмент работы для ознакомления

Отношение называется антисимметричным, если для любых упорядоченных пар и следует равенство .
Отношение является антисимметричным, т.к. для любых чисел из одновременного выполнения неравенств и следует, что .
Т.о. отношение является порядком.
2. Порядок называется полным, если для любых двух элементов выполняется хотя бы одно из двух требований: или . В противном случае порядок называется частичным.
Т.о. отношение является полным порядком, т.к. для любых двух чисел верно хотя бы одно из двух неравенств или .
Задание № 4. Найти мощность множества всех cчетных последовательностей из букв данного конечного алфавита.
Решение.
Число элементов конечного множества называется мощностью данного множества. Для бесконечного множества мощность – это расширение понятия «число элементов».
Предположим, что задан некоторый алфавит, т.е. множество символов .
Множество всех счетных последовательностей из букв данного алфавита эквивалентно по числу элементов множеству всех последовательностей из 0 и 1 (данное множество имеет мощность континуума).
Отношение эквивалентности следующее: каждой букве алфавита поставим в соответствие 1, если ее порядковый номер нечетный и 0, если четный. Тогда каждой счетной последовательности букв алфавита будет поставлена в соответствие последовательность из 0 и 1. Следовательно, множество всех счетных последовательностей из букв данного алфавита имеет мощность континнума.
Задание №5. Доказать:
        а) множество G-множество комплексных чисел, отличных от 0, по умножению является группой;
        б) множество А-множество действительных чисел, отличных от 0, по умножению является в группе G нормальным делителем;
        в) описать фактор-группу G/A указав в ней единицу, вид обратного элемента, групповую операцию;
        г) доказать, что отображение φ: H→ L, где H-группа целых чисел, кратных 8, по сложению, а L-Z— группа вычетов по модулю 2 является гомоморфизмом, вычислить его ядро и образ — остаток от деления на 2;
Решение.
а. Множество с бинарной операцией называют группой и обозначают , если выполнены аксиомы:
1. ассоциативности: для любых трех элементов множества .
2. наличие в множестве нейтрального элемента такого, что для любого элемента выполняется
3. наличия обратного элемента: для любого элемента существует элемент, условно обозначаемый , принадлежащий такой, что .
Т.о. множество комплексных чисел, отличных от 0, по умножению является группой, т.к. согласно свойствам комплексных чисел для него выполнено условие ассоциативности, нейтральный элемент – 1, и для любого комплексного числа, отличного от 0, существует обратный элемент, для которого . Если , то .
б. 1).Подгруппой группы называется такое подмножество , которое является группой относительно той же операции , применяемой к его элементам.
Множество А - множество действительных чисел, отличных от 0, является группой относительно операции умножения, т.к. согласно свойствам действительных чисел выполняется закон ассоциативности, 1 – нейтральный элемент и . Т.о. множество А относительно операции умножения является подгруппой группы G.
2). Пусть в группе G задана подгруппа Н. Для произвольного элемента определяется левый класс смежности по подгруппе Н: . Аналогично определяется правый класс смежности. Подгруппа H называется нормальным делителем группы G или инвариантной подгруппой группы G, если для любого элемента a из G выполняется условие: .
Т.к. операция умножения комплексных чисел обладает свойством коммутативности, то из этого следует, что , т.е. группа А является нормальным делителей группы G.
в). 1)Фактор-группа G/A представляет собой множество непересекающихся классов смежности . Элементы множества G, определяющие непересекающиеся классы смежности, можно определить следующим образом: Т.е. каждый класс смежности, это луч комплексной плоскости, выходящий из 0 (не включая 0).
При этом покажем, что произведение представителей любых двух классов содержится в одном и том же классе, независимо от выбора представителей.
Действительно, рассмотрим любые два класса смежности , где и , где и возьмем два любых представителя этих классов: и . Тогда произведение данных представителей содержится в классе
Групповая операция определяется следующим образом: . Т.е. произведение двух классов смежности – это тот класс смежности, в котором содержатся произведения любых представителей двух данных классов.
2). Единица данной фактор-группы: , т.е. . Действительно, выполнено

Список литературы

1. Для отношений α, β, χ, заданных на конечном множестве А={1,2,3,4,5,6} найти β*χ ,χ-1, β*α (отношения заданы)
2. Доказать, что для любых отношений α, β, заданных на множестве А выполняется (α*β)-1 =β-1*α-1
3. Выяснить является ли отношение β ={(x,y)/ x≤ y}, где x,y R, эквивалентностью, частичным или полным порядком.
4. Найти мощность множества всех cчетных последовательностей из букв данного конечного алфавита.
5. Доказать:
а) множество G-множество комплексных чисел, отличных от 0, по умножению является группой;
б) множество А-множество действительных чисел, отличных от 0, по умножению является в группе G нормальным делителем;
в) описать фактор-группу G/A указав в ней единицу, вид обратного элемента, групповую операцию;
г) доказать, что отображение φ:H→ L, где H-группа целых чисел, кратных 8, по сложению, а L-Z — группа вычетов по модулю 2 является гомоморфизмом, вычислить его ядро и образ — остаток от деления на 2;
Пожалуйста, внимательно изучайте содержание и фрагменты работы. Деньги за приобретённые готовые работы по причине несоответствия данной работы вашим требованиям или её уникальности не возвращаются.
* Категория работы носит оценочный характер в соответствии с качественными и количественными параметрами предоставляемого материала. Данный материал ни целиком, ни любая из его частей не является готовым научным трудом, выпускной квалификационной работой, научным докладом или иной работой, предусмотренной государственной системой научной аттестации или необходимой для прохождения промежуточной или итоговой аттестации. Данный материал представляет собой субъективный результат обработки, структурирования и форматирования собранной его автором информации и предназначен, прежде всего, для использования в качестве источника для самостоятельной подготовки работы указанной тематики.
© Рефератбанк, 2002 - 2022